Kalkulačka Povrchu

Q: Aký je vzorec pre povrch gule?

$SA = 4\pi r²$, kde r je polomer. Guľa s polomerom 5 m má povrch približne 314,16 m².

Povrch trojrozmerného telesa je celkový obsah všetkých stien a zakrivených plôch, ktoré tvoria jeho vonkajšiu hranicu, vyjadrený v štvorcových jednotkách, napríklad v metroch štvorcových alebo stopách štvorcových. Táto kalkulačka vypočíta povrch siedmich bežných telies: gule, kocky, valca, ihlana, kužeľa, kvádra a trojbokého hranola.

Čo znamená povrch

Povrch je súčet plôch všetkých vonkajších povrchov telesa. Povrch kocky je súhrnná plocha jej šiestich rovných štvorcových stien. Povrch gule je plocha jej jediného zakriveného vonkajšieho povrchu. Povrch sa líši od objemu, ktorý meria priestor vo vnútri telesa, nie plochu jeho hranice. Obe veličiny sa vyjadrujú odlišnými jednotkami: povrch v štvorcových jednotkách (m²), objem v kubických jednotkách (m³).

Ako vypočítať povrch

Vyberte teleso zo zoznamu siedmich možností.
Zadajte rozmery potrebné pre dané teleso:
- Guľa: polomer
- Kocka: dĺžka hrany
- Valec: polomer a výška
- Ihlan: dĺžka základne, šírka základne a šikmá výška
- Kužeľ: polomer a výška
- Kváder: dĺžka, šírka a výška
- Trojuholníkový hranol: dĺžka základne, výška trojuholníkovej steny a dĺžka hranola
Výsledok sa zobrazí automaticky po vyplnení všetkých povinných polí.
Odčítajte povrch v štvorcových jednotkách. Tlačidlo kopírovania vedľa výsledku skopíruje výsledok do schránky.

Kým je povinné pole prázdne, kalkulačka namiesto výsledku zobrazuje krátku výzvu. Po vyplnení všetkých polí vedie číslo rovné nule alebo záporné číslo k chybovému hláseniu.

Pri ihlane platí pre každú základňu, štvorcovú aj obdĺžnikovú, ešte jedno pravidlo: zadaná šikmá výška musí byť väčšia než polovica šírky základne. Polovica šírky základne je vzdialenosť od stredu základne k stredu hrany základne s dĺžkou. Šikmá výška rovná tejto hodnote alebo menšia než ona neposkytuje priestor na žiadnu kolmú výšku, takže taký ihlan neexistuje a kalkulačka zobrazí chybu.

Vzorce pre povrch

Vo vzorcoch nižšie je r polomer, h výška, l dĺžka, w šírka, b dĺžka základne a s šikmá výška.

Guľa: $SA = 4\pi r²$
Kocka: $SA = 6a²$ , kde a je dĺžka hrany
Valec: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$ , teda obsah dvoch kruhových podstav a zakriveného plášťa
Kužeľ: $SA = \pi r² + \pi rs$ , kde šikmá výška je $s = \sqrt{r² + h²}$
Ihlan so štvorcovou podstavou: $SA = l² + 2ls$ , kde l je dĺžka strany podstavy a s je šikmá výška trojuholníkovej steny
Kváder: $SA = 2(lw + lh + wh)$
Trojboký hranol (trojuholníkový priečny prierez so základňou b, výškou h a dvoma rovnakými šikmými stranami $a = c$ ): $SA = bh + (a + b + c)L$ , kde L je dĺžka hranola a $a = c = \sqrt{h² + (b/2)²}$ pre súmerný (rovnoramenný) trojuholník

Ihlan s obdĺžnikovou podstavou má dve rôzne šikmé výšky, po jednej pre každú dvojicu trojuholníkových stien. Do poľa Šikmá výška sa zadáva šikmá výška s dvoch stien, ktoré stoja na hranách podstavy s dĺžkou. Z nej kalkulačka vypočíta zvislú výšku h pomocou $h = \sqrt{s² - (w/2)²}$ a potom určí druhú dvojicu stien:

Ihlan s obdĺnikovou podstavou: $SA = lw + ls + w\sqrt{h² + (l/2)²}$ , kde l je dĺžka podstavy, w je šírka podstavy a h je zvislá výška odvodená od s.

Vyššie uvedený vzorec pre štvorcovú základňu je špeciálnym prípadom tohto vzorca, ktorý nastane, keď sú dĺžka a šírka základne rovnaké (s odchýlkou najviac 0,001 zadaných jednotiek).

Vyriešený príklad

Guľa, polomer 5 m: P = 4π(5)² = 100π ≈ 314,16 m²

Kocka, dĺžka hrany 3 m: P = 6(3)² = 54 m²

Valec, polomer 2 m, výška 5 m: P = 2π(2)(2 + 5) = 28π ≈ 87,96 m²

Kužeľ, polomer 3 m, výška 4 m: výška bočnej steny = √(3² + 4²) = 5 m, takže P = π(3)(3 + 5) = 24π ≈ 75,40 m²

Ihlan so štvorcovou základňou, dĺžka základne 4 m, výška bočnej steny 5 m: P = 4² + 2(4)(5) = 16 + 40 = 56 m²

Ihlan s obdĺžnikovou základňou, dĺžka základne 6 m, šírka základne 8 m, výška bočnej steny 5 m: polovica šírky základne je 4 m, takže kolmá výška je √(5² − 4²) = 3 m. Druhá dvojica stien má výšku bočnej steny √(3² + 3²) = √18 ≈ 4,2426 m. P = (6 × 8) + (6 × 5) + (8 × 4,2426) = 48 + 30 + 33,94 ≈ 111,94 m²

Kváder, dĺžka 4 m, šírka 3 m, výška 5 m: P = 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 2(12 + 20 + 15) = 94 m²

Trojboký hranol, základňa 3 m, výška trojuholníka 4 m, dĺžka hranola 5 m: dve rovnaké šikmé strany sú √(4² + 1,5²) = √18,25 ≈ 4,272 m. P = (3 × 4) + (4,272 + 3 + 4,272) × 5 = 12 + 57,72 ≈ 69,72 m²

Jednotky a presnosť

Všetky zadané rozmery by mali používať rovnakú jednotku, napríklad metre, stopy alebo centimetre. Výsledok sa uvádza v štvorcových jednotkách. Kalkulačka interne počíta s plnou presnosťou čísiel s pohyblivou rádovou čiarkou a výsledok zobrazuje zaokrúhlený na dve desatinné miesta.

Prečo je povrch dôležitý

Povrch sa používa na odhad množstva farby alebo náteru potrebného na stenu či predmet, materiálu potrebného na balenie a plechu alebo tkaniny potrebnej na zhotovenie nádoby. V biológii a chémii ovplyvňuje povrch bunky alebo častice katalyzátora rýchlosť výmeny látok s okolím, pretože výmena prebieha cez povrch. V strojárstve ovplyvňuje povrch radiátora alebo výmenníka tepla rýchlosť prenosu tepla.

Najčastejšie otázky

Čo je povrch? Povrch je celková plocha všetkých vonkajších stien alebo zakrivených povrchov trojrozmerného objektu, vyjadrená v štvorcových jednotkách.

Aký je vzorec pre povrch gule? $SA = 4\pi r²$ , kde r je polomer. Guľa s polomerom 5 m má povrch približne 314,16 m².

Ako vypočítate povrch valca? Pripočítajte k obsahu dvoch kruhových podstav obsah zakriveného plášťa: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$ , kde r je polomer a h je výška.

Aký je rozdiel medzi povrchom a objemom? Povrch meria vonkajšiu hranicu telesa v štvorcových jednotkách. Objem meria priestor ohraničený touto hranicou v kubických jednotkách. Povrch a objem telesa s rastúcou veľkosťou zvyčajne nerastú rovnakým tempom.

Dokáže táto kalkulačka pracovať s ihlanom s obdĺžnikovou základňou? Áno. Zadajte dĺžku a šírku základne, ktoré sa líšia, a tiež výšku bočnej steny dvoch stien stojacich na hranách základne s dĺžkou. Kalkulačka z týchto troch čísel odvodí kolmú výšku a druhú výšku bočnej steny.

Prečo ihlan niekedy zobrazí chybu? Výška bočnej steny musí byť väčšia než polovica šírky základne. Pri tejto hodnote alebo pod ňou by mal ihlan nulovú alebo imaginárnu výšku, takže také teleso neexistuje a jeho povrch nemožno uviesť.

S ktorými telesami táto kalkulačka pracuje? Guľa, kocka, valec, ihlan, kužeľ, kváder a trojboký hranol.

Referencie

"Surface Area." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_area
Weisstein, Eric W. "Surface Area." MathWorld — webový zdroj spoločnosti Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html
"Surface Area Formulas." Math Is Fun. https://www.mathsisfun.com/geometry/surface-area.html

Kalkulačka Povrchu - Zadarmo Nástroj pre Všetky 3D Tvary