Kalkulačka kvadratickej rovnice - Výpočet koreňov ax² + bx + c = 0

Čo je kvadratická rovnica?

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare $ax^2 + bx + c = 0$, kde $a$, $b$ a $c$ sú čísla a $a$ sa nerovná nule. Riešiteľ kvadratických rovníc na tejto stránke nájde hodnotu alebo hodnoty $x$, pri ktorých je rovnica pravdivá, pomocou koeficientov $a$, $b$ a $c$, ktoré zadá používateľ.

Ak by $a$ bolo nulové, člen $x^2$ by zmizol a rovnica by sa namiesto kvadratickej stala lineárnou. Preto kalkulačka vyžaduje $a \neq 0$ a pri $a = 0$ zobrazí chybu.

Kvadratický vzorec

Každú kvadratickú rovnicu v tvare $ax^2 + bx + c = 0$ možno vyriešiť pomocou kvadratického vzorca:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Znamienko $\pm$ označuje dva samostatné výpočty: jeden s plusovým znamienkom a druhý s mínusovým znamienkom. Preto môže mať kvadratická rovnica dve rôzne riešenia.

Výraz pod odmocninou, $b^2 - 4ac$, sa nazýva diskriminant. Zvyčajne sa zapisuje ako $\Delta$ (grécke písmeno delta). Už samotný diskriminant určuje, koľko má rovnica reálnych riešení, ešte pred vykonaním zvyšku výpočtu.

Ako vypočítať korene

1. Zapíšte rovnicu v základnom tvare $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Určte koeficienty $a$, $b$ a $c$.
3. Vypočítajte diskriminant: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Ak je $\Delta$ kladný, vypočítajte oba korene pomocou $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Ak je $\Delta$ nulový, vypočítajte jediný koreň pomocou $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Ak je $\Delta$ záporný, rovnica nemá reálne korene, pretože záporné číslo nemá reálnu druhú odmocninu.

Kalkulačka na tejto stránke vykonáva tieto kroky automaticky. Prijíma koeficienty od $-10^{10}$ do $10^{10}$ a výsledky zaokrúhľuje na zvolený počet desatinných miest, od 0 do 10.

Čo znamená diskriminant

Táto kalkulačka zobrazí „žiadne reálne korene“, keď je $\Delta$ záporný. Nevypočítava komplexné korene (čísla, ktoré obsahujú $i = \sqrt{-1}$).

Vyriešený príklad

Vyriešte $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Tu platí $a = 1$, $b = 5$ a $c = 6$.

Najprv nájdite diskriminant:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Keďže $\Delta$ je kladný, rovnica má dva reálne korene:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Dá sa to overiť rozkladom na súčin: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, ktorý je nulový, keď $x = -2$ alebo $x = -3$.

Druhý príklad ukazuje záporný diskriminant. Pre $x^2 + x + 1 = 0$ platí $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, takže $\Delta = 1 - 4 = -3$. Keďže $\Delta$ je záporný, rovnica nemá reálne korene.

Parabola, vrchol a os súmernosti

Graf funkcie $f(x) = ax^2 + bx + c$ je krivka nazývaná parabola. Ak je $a$ kladné, parabola je otvorená smerom nahor a má najnižší bod. Ak je $a$ záporné, otvára sa smerom nadol a má najvyšší bod. Tento najnižší alebo najvyšší bod je vrchol.

Vrchol sa nachádza v bode:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Zvislá priamka prechádzajúca vrcholom, $x = -\dfrac{b}{2a}$, sa nazýva os súmernosti, pretože dve polovice paraboly sú podľa nej navzájom zrkadlovo súmerné. Reálne korene rovnice sú body, v ktorých parabola pretína os x, takže ležia po oboch stranách osi súmernosti v rovnakej vzdialenosti od nej.

Kalkulačka nakreslí túto parabolu vedľa výsledku. Na krivke vyznačí vrchol a všetky reálne korene a v prípade potreby rozšíri zobrazený rozsah tak, aby každý koreň zostal viditeľný.

Kde sa používajú kvadratické rovnice

Kvadratické rovnice opisujú mnohé situácie z reálneho sveta. Vo fyzike sa výška vrhnutého predmetu v závislosti od času riadi rovnicou $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$ a jej vyriešením vzhľadom na $t$ získame čas, keď predmet dopadne. V inžinierstve sa parabolické tvary objavujú v satelitných anténach a lanách mostov vďaka tomu, ako sústreďujú alebo rozkladajú silu. V počítačovej grafike programy na sledovanie lúčov riešia kvadratické rovnice, aby našli miesto, kde priamka pretína guľovú plochu.

Krátka história

Babylonskí matematici riešili konkrétne kvadratické úlohy približne od 2000 pred n. l. pomocou geometrických metód, nie algebry. Aj grécki matematici, napríklad Euklides, sa zaoberali kvadratickými rovnicami geometricky. Približne v 600 n. l. indický matematik Brahmagupta uviedol explicitný vzorec pre korene vrátane záporných riešení. Približne v 800 n. l. perzský matematik al-Chvárizmí opísal systematické metódy riešenia kvadratických rovníc v knihe, ktorej názov dal vzniknúť slovu „algebra“. Moderný symbolický tvar kvadratického vzorca sa stal štandardom neskôr, keď sa počas renesancie rozvíjal algebraický zápis.

Najčastejšie otázky

Čo sa stane, ak pre koeficient a zadám 0? Kalkulačka zobrazí chybu, pretože $a = 0$ zmení rovnicu na lineárnu rovnicu $bx + c = 0$, ktorá sa rieši inak.

Prečo rovnica niekedy nemá reálne korene? Stane sa to vtedy, keď je diskriminant $b^2 - 4ac$ záporný. Záporné číslo nemá reálnu druhú odmocninu, takže vzorec nemôže poskytnúť reálnu hodnotu $x$. Rovnica má stále dva komplexné korene, ale táto kalkulačka ich nevypočítava.

Aký je rozdiel medzi koreňom a riešením? Žiadny. Obe slová označujú hodnotu $x$, pri ktorej sa rovnica rovná nule. „Koreň“ označuje miesto, kde sa graf stretáva s osou x; „riešenie“ sa vzťahuje na algebru.

Koľko desatinných miest si môžem zvoliť? Od 0 do 10. Na bežné úlohy zvyčajne postačujú dve alebo tri desatinné miesta.

Môžem zadať veľmi veľké koeficienty? Koeficienty musia byť v rozmedzí od $-10^{10}$ do $10^{10}$. Hodnoty mimo tohto rozsahu môžu spôsobiť chyby zaokrúhľovania a kalkulačka ich odmietne.

Dokáže táto kalkulačka nájsť komplexné korene? Nie. Keď je diskriminant záporný, zobrazí „žiadne reálne korene“ namiesto výpočtu komplexných čísel.

Referencie

1. Kvadratická rovnica – MathWorld
2. Digitálna knižnica matematických funkcií NIST, §1.11, Algebra: Kvadratická rovnica