Riešiteľ Young-Laplacovej rovnice | Tlak rozhrania

Čo je Youngova-Laplaceova rovnica?

Youngova-Laplaceova rovnica je vzorec z mechaniky tekutín, ktorý určuje rozdiel tlakov na oboch stranách zakriveného rozhrania medzi dvoma tekutinami, napríklad na povrchu kvapky vody alebo mydlovej bubliny. Ukazuje, že tento rozdiel tlakov závisí od povrchového napätia tekutiny a od toho, ako výrazne sa rozhranie zakrivuje. Rovnica vysvetľuje, prečo sa vo vnútri kvapiek a bublín vytvára vyšší tlak a prečo majú menšie kvapky a bubliny vyšší vnútorný tlak než väčšie.

Je pomenovaná po Thomasovi Youngovi a Pierrovi-Simonovi Laplaceovi, ktorí tento vzťah opísali každý samostatne na začiatku 1800. rokov.

Vzorec Youngovej-Laplaceovej rovnice

Všeobecný tvar rovnice je:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ je rozdiel tlakov na oboch stranách rozhrania, vyjadrený v pascaloch (Pa)
• $\gamma$ (gama) je povrchové napätie tekutiny, vyjadrené v newtonoch na meter (N/m)
• $R_1$ a $R_2$ sú dva hlavné polomery zakrivenia povrchu, vyjadrené v metroch (m)

Povrch sa v rôznych smeroch zakrivuje odlišne. $R_1$ a $R_2$ opisujú zakrivenie v dvoch navzájom kolmých smeroch. Pri guli, napríklad pri kvapke alebo bubline, sa $R_1$ rovná $R_2$, takže vzorec sa zjednoduší na:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Znamienková konvencia

Tlak je vždy vyšší na konkávnej strane zakriveného rozhrania, teda na strane, od ktorej sa povrch vydúva. Pri kvapke alebo bubline to znamená, že tlak vo vnútri je vyšší než tlak vonku. Polomer sa považuje za kladný, keď jeho stred zakrivenia leží na strane s vyšším tlakom. Ak sa povrch v jednom smere zakrivuje opačne, tento polomer sa považuje za záporný. Rozhranie v tvare sedla, napríklad kvapalný krčok medzi dvoma dotýkajúcimi sa zrnami, má jeden kladný a jeden záporný polomer, takže oba členy sa čiastočne vyrušia.

Táto kalkulačka používa iba kladné polomery.

Osobitné prípady

• Rovinný povrch: keď polomer rastie smerom k nekonečnu, príslušný člen vo vzorci klesá smerom k nule. Dokonale rovinné rozhranie nemá žiadny rozdiel tlakov.
• Valec: dlhý valcový povrch, napríklad prúd kvapaliny vytekajúci z dýzy, sa zakrivuje iba v jednom smere. Jeden polomer je polomer valca a druhý je pozdĺž jeho dĺžky nekonečný, takže vzorec sa zjednoduší na $\Delta P = \gamma / R$. To je polovica rozdielu tlakov gule s rovnakým polomerom.
• Veľmi malé rozmery: pod približne 10 až 20 nanometrami sa stávajú významnými ďalšie účinky, napríklad čiarové napätie, a jednoduchá rovnica stráca presnosť.

Ako vypočítať rozdiel tlakov pomocou Youngovej-Laplaceovej rovnice

1. Zistite povrchové napätie tekutiny v N/m pri teplote, ktorá vás zaujíma. Povrchové napätie s rastúcou teplotou klesá.
2. Zmerajte alebo odhadnite prvý hlavný polomer zakrivenia $R_1$ v metroch.
3. Zmerajte alebo odhadnite druhý hlavný polomer zakrivenia $R_2$ v metroch. Pri guli použite rovnakú hodnotu ako pre $R_1$. Pri valci použite veľmi veľké číslo ako náhradu za nekonečno.
4. Vynásobte povrchové napätie súčtom $1/R_1$ a $1/R_2$. Výsledkom je rozdiel tlakov v pascaloch.

Všetky hodnoty uvádzajte v jednotkách SI. Ak napríklad zmiešate milimetre s metrami, výsledok sa zmení tisícnásobne.

Vyriešený príklad

Uvažujme guľovú kvapku vody s polomerom 1 milimeter (0,001 m) a povrchovým napätím 0,072 N/m, čo je typická hodnota pre vodu pri teplote blízkej izbovej teplote.

Keďže kvapka je guľová, platí $R_1 = R_2 = R$, takže:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Tlak vo vnútri kvapky je o 144 Pa vyšší než tlak okolitého vzduchu. V porovnaní s normálnym atmosférickým tlakom, približne 101 325 Pa, je to málo, ale pri zmenšovaní kvapky tento účinok rýchlo rastie. Kvapka s polomerom rovnakým ako desatina pôvodného, teda 0,1 mm, má desaťnásobný rozdiel tlakov: 1 440 Pa. Kvapka s polomerom 0,01 mm dosahuje 14 400 Pa, čo je viac než 14 % atmosférického tlaku.

Kde sa rovnica používa

• Kvapky a bubliny: vyšší tlak vo vnútri malých kvapiek spôsobuje Ostwaldovo zrenie, pri ktorom sa malé kvapky v emulzii zmenšujú a väčšie rastú, pretože ich obsah difunduje z oblasti s vysokým tlakom do oblasti s nízkym tlakom.
• Kapilárny vzlínavý jav: zakrivený povrch v úzkej trubici priťahuje kvapalinu nahor. Preto voda stúpa v papierových utierkach a úzkych sklenených trubiciach.
• Dýchanie: drobné vzduchové vačky v pľúcach, nazývané alveoly, sa správajú ako malé bubliny. Povrchovo aktívna látka nazývaná pľúcny surfaktant znižuje povrchové napätie, takže malé alveoly sa nezrútia pod tlakom predpovedaným touto rovnicou. Predčasne narodené deti, ktoré nemajú dostatok surfaktantu, môžu z tohto dôvodu trpieť problémami s dýchaním.
• Atramentová tlač: trysky tlačiarní vytvárajú kvapky s priemerom desiatok mikrometrov, pričom tlak spôsobený zakrivením je dostatočne veľký na ovplyvnenie spôsobu, akým atrament opúšťa trysku.
• Náuka o materiáloch: prístroje, ktoré merajú zmáčanie povrchu kvapalinami a vlastnosti tenkých povlakov, používajú túto rovnicu na vzájomné prepojenie tvaru kvapky a jej povrchovej energie.

História

Ľudia pozorovali stúpanie kvapalín v úzkych trubiciach dávno predtým, než niekto vysvetlil jeho príčinu. Na začiatku 1700. rokov Francis Hauksbee experimentálne ukázal, že v užších trubiciach kvapalina stúpa vyššie, a v roku 1718 James Jurin opísal výšku vzostupu ako nepriamo úmernú priemeru trubice.

Thomas Young vysvetlil základnú fyziku v práci z roku 1805, v ktorej zaviedol povrchové napätie ako vlastnosť tekutiny a spojil ho s tlakom na zakrivených povrchoch, hoci jeho spracovanie bolo prevažne opisné. V roku 1806 Pierre-Simon Laplace pomocou diferenciálneho počtu odvodil matematický tvar a nezávisle dospel k rovnakému vzťahu. Ich spoločná práca sa stala Youngovou-Laplaceovou rovnicou. Neskorší vedci vrátane Carla Friedricha Gaussa a Josepha Plateaua teóriu overovali a rozšírili počas 1800. rokov.

Najčastejšie otázky

Čo vypočítava Youngova-Laplaceova rovnica? Vypočítava rozdiel tlakov na oboch stranách zakriveného rozhrania medzi dvoma tekutinami na základe povrchového napätia tekutiny a zakrivenia rozhrania.

Prečo je tlak vo vnútri menšej kvapky vyšší? Povrchové napätie pôsobí pozdĺž okraja kvapky a táto ťažná sila rastie úmerne s polomerom. Plocha, na ktorú musí tlak pôsobiť, rastie s druhou mocninou polomeru. Z rovnováhy týchto dvoch účinkov vyplýva $\Delta P = 2\gamma/R$, takže rozdiel tlakov je nepriamo úmerný polomeru: ak sa polomer zmenší na polovicu, rozdiel tlakov sa zdvojnásobí.

Ako teplota ovplyvňuje túto rovnicu? Teplota mení hodnotu povrchového napätia, ktoré s rastúcou teplotou klesá. Pri vode klesá povrchové napätie približne z 0,073 N/m pri 20 °C na približne 0,063 N/m pri 80 °C, teda približne o 0,17 mN/m na každý stupeň Celzia. Povrchové napätie pri izbovej teplote je vyššie než pri horúcej vode, takže použitie hodnoty pre izbovú teplotu pri horúcom systéme nadhodnotí rozdiel tlakov.

Funguje táto rovnica aj pre iné tvary než gule? Áno. Všeobecný tvar s dvoma samostatnými polomermi $R_1$ a $R_2$ platí pre každý zakrivený povrch vrátane elipsoidov a rozhraní v tvare sedla. Iba zjednodušený tvar $2\gamma/R$ je obmedzený na gule.

Ako sa Youngova-Laplaceova rovnica líši od Youngovej rovnice? Youngova-Laplaceova rovnica určuje rozdiel tlakov spôsobený zakriveným rozhraním. Youngova rovnica, samostatný vzťah tiež pochádzajúci od Thomasa Younga, určuje kontaktný uhol kvapky v mieste, kde sa dotýka pevného povrchu, na základe povrchových energií troch zúčastnených materiálov. Opisujú rôzne javy a niekedy sa používajú spolu pri analýze kvapky spočívajúcej na povrchu.

Aká malá môže byť kvapka, kým rovnica prestane fungovať? Rovnica zostáva presná približne do veľkosti 1 mikrometra. Pod približne 10 až 20 nanometrami sa stávajú významnými ďalšie sily, ktoré rovnica nezohľadňuje, vrátane čiarového napätia a síl medzi povrchmi na molekulovej úrovni, preto sú potrebné podrobnejšie modely.

Referencie

1. Young, T. (1805). „An Essay on the Cohesion of Fluids.“ Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P. S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, dodatok ku knihe 10.
3. de Gennes, P. G., Brochard-Wyart, F. a Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A. W. a Gast, A. P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6. vydanie). Wiley-Interscience.