🛠️

Whiz Tools

Kalkulačka Millerových indexov pre identifikáciu kryštálových rovín

Vypočítajte Millerove indexy z interceptov kryštálových rovín pomocou tohto jednoduchého nástroja. Nevyhnutné pre kryštalografiu, materiálové vedy a aplikácie v oblasti fyziky pevných látok.

Kalkulačka Millerových indexov

Priesečníky kryštálovej roviny

Zadajte priesečníky kryštálovej roviny s osami x, y a z. Použite '0' pre roviny paralelné s osou (priesečník nekonečno).

Zadajte číslo alebo 0 pre nekonečno

Zadajte číslo alebo 0 pre nekonečno

Zadajte číslo alebo 0 pre nekonečno

Millerove indexy

Millerove indexy pre túto rovinu sú:

(1,1,1)
Kopírovať do schránky

Vizualizácia

Čo sú Millerove indexy?

Millerove indexy sú systém notácie používaný v kryštalografii na špecifikáciu rovín a smerov v kryštálových mriežkach.

Na výpočet Millerových indexov (h,k,l) z priesečníkov (a,b,c):

1. Vezmite inverzné hodnoty priesečníkov: (1/a, 1/b, 1/c) 2. Preveďte na najmenšiu množinu celých čísel so rovnakým pomerom 3. Ak je rovina paralelná s osou (priesečník = nekonečno), jej zodpovedajúci Millerov index je 0

  • Negatívne indexy sú označené čiarou nad číslom, napr. (h̄,k,l)
  • Notácia (hkl) predstavuje konkrétnu rovinu, zatiaľ čo {hkl} predstavuje rodinu ekvivalentných rovín
  • Smerové indexy sú písané v hranatých zátvorkách [hkl], a rodiny smerov sú označené <hkl>
📚

Dokumentácia

Kalkulačka Millerových indexov - Prevod interceptov kryštálových rovín na hkl notáciu

Kalkulačka Millerových indexov: Základný nástroj pre kryštalografiu

Kalkulačka Millerových indexov je mocný online nástroj pre kryštalografov, vedcov v oblasti materiálov a študentov na určenie Millerových indexov kryštálových rovín. Millerove indexy sú systém notácie používaný v kryštalografii na špecifikáciu rovín a smerov v kryštálových mriežkach. Táto kalkulačka Millerových indexov vám umožňuje jednoducho previesť intercepty kryštálovej roviny s osami súradníc na zodpovedajúce Millerove indexy (hkl), čím poskytuje štandardizovaný spôsob identifikácie a komunikácie o konkrétnych kryštálových rovinách.

Millerove indexy sú základné pre pochopenie kryštálových štruktúr a ich vlastností. Predstavovaním rovín jednoduchým súborom troch celých čísel (h,k,l) umožňujú Millerove indexy vedcom analyzovať X-ray difrakčné vzory, predpovedať správanie rastu kryštálov, vypočítať medzirovinné vzdialenosti a študovať rôzne fyzikálne vlastnosti, ktoré závisia od kryštalografickej orientácie.

Čo sú Millerove indexy v kryštalografii?

Millerove indexy sú súbor troch celých čísel (h,k,l), ktoré definujú rodinu paralelných rovín v kryštálovej mriežke. Tieto indexy sú odvodené z reciprokých hodnôt zlomkových interceptov, ktoré rovina vytvára s kryštalografickými osami. Notácia Millerových indexov poskytuje štandardizovaný spôsob identifikácie konkrétnych kryštálových rovín v rámci kryštálovej štruktúry, čo je nevyhnutné pre aplikácie v kryštalografii a vede o materiáloch.

Vizualizácia Millerových indexov

x y z

O

a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Rovina

Millerove indexy (3,2,1) Kryštálová rovina

3D vizualizácia kryštálovej roviny s Millerovými indexami (3,2,1). Rovina interceptuje os x, y a z na bodoch 2, 3 a 6, čo vedie k Millerovým indexom (3,2,1) po zohľadnení reciprokých hodnôt a nájdení najmenšieho súboru celých čísel so rovnakým pomerom.

Vzorec a metóda výpočtu Millerových indexov

Na vypočítanie Millerových indexov (h,k,l) kryštálovej roviny postupujte podľa týchto matematických krokov pomocou našej kalkulačky Millerových indexov:

  1. Určte intercepty roviny s kryštalografickými osami x, y a z, pričom získate hodnoty a, b a c.
  2. Zoberte reciproké hodnoty týchto interceptov: 1/a, 1/b, 1/c.
  3. Preveďte tieto reciproké hodnoty na najmenší súbor celých čísel, ktoré udržujú rovnaký pomer.
  4. Výsledné tri celé čísla sú Millerove indexy (h,k,l).

Matematicky to možno vyjadriť ako:

h:k:l=1a:1b:1ch : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}

Kde:

  • (h,k,l) sú Millerove indexy
  • a, b, c sú intercepty roviny s osami x, y a z, resp.

Špeciálne prípady a konvencie

Niekoľko špeciálnych prípadov a konvencií je dôležitých na pochopenie:

  1. Intercepty nekonečna: Ak je rovina paralelná s osou, jej intercept sa považuje za nekonečno a zodpovedajúci Millerov index sa stáva nulovým.

  2. Negatívne indexy: Ak rovina interceptuje os na negatívnej strane pôvodu, zodpovedajúci Millerov index je negatívny, označený čiarou nad číslom v kryštalografickej notácii, napr. (h̄kl).

  3. Zlomkové intercepty: Ak sú intercepty zlomkové, prevádzajú sa na celé čísla vynásobením najmenším spoločným násobkom.

  4. Zjednodušenie: Millerove indexy sa vždy zredukujú na najmenší súbor celých čísel, ktoré udržujú rovnaký pomer.

Ako používať kalkulačku Millerových indexov: Podrobný návod

Naša kalkulačka Millerových indexov poskytuje jednoduchý spôsob, ako určiť Millerove indexy pre akúkoľvek kryštálovú rovinu. Tu je návod, ako používať kalkulačku Millerových indexov:

  1. Zadajte intercepty: Zadajte hodnoty, kde rovina interceptuje osy x, y a z.

    • Použite kladné čísla pre intercepty na kladnej strane pôvodu.
    • Použite záporné čísla pre intercepty na záporné strane.
    • Zadajte "0" pre roviny, ktoré sú paralelné s osou (intercept nekonečna).

  2. Zobrazte výsledky: Kalkulačka automaticky vypočíta a zobrazí Millerove indexy (h,k,l) pre zadanú rovinu.

  3. Vizualizujte rovinu: Kalkulačka obsahuje 3D vizualizáciu, ktorá vám pomôže pochopiť orientáciu roviny v rámci kryštálovej mriežky.

  4. Kopírujte výsledky: Použite tlačidlo "Kopírovať do schránky", aby ste jednoducho preniesli vypočítané Millerove indexy do iných aplikácií.

Príklad výpočtu Millerových indexov

Prejdime si príklad:

Predpokladajme, že rovina interceptuje osy x, y a z na bodoch 2, 3 a 6.

  1. Intercepty sú (2, 3, 6).
  2. Zoberieme reciproké hodnoty: (1/2, 1/3, 1/6).
  3. Aby sme našli najmenší súbor celých čísel so rovnakým pomerom, vynásobíme najmenším spoločným násobkom menovateľov (NSM 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
  4. Preto sú Millerove indexy (3,2,1).

Aplikácie Millerových indexov vo vede a inžinierstve

Millerove indexy majú množstvo aplikácií v rôznych vedeckých a inžinierskych oblastiach, čo robí kalkulačku Millerových indexov nevyhnutnou pre:

Kryštalografiu a X-ray difrakciu

Millerove indexy sú nevyhnutné na interpretáciu X-ray difrakčných vzorov. Vzdialenosti medzi kryštálovými rovinami, identifikovanými ich Millerovými indexami, určujú uhly, pod ktorými sú X-ray difraktované, podľa Braggovho zákona:

nλ=2dhklsin⁡θn\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta

Kde:

  • nn je celé číslo
  • λ\lambda je vlnová dĺžka X-ray
  • dhkld_{hkl} je vzdialenosť medzi rovnými s Millerovými indexami (h,k,l)
  • θ\theta je uhol dopadu

Veda o materiáloch a inžinierstvo

  1. Analýza povrchovej energie: Rôzne kryštalografické roviny majú rôznu povrchovú energiu, čo ovplyvňuje vlastnosti ako rast kryštálov, katalýzu a adhéziu.

  2. Mechanické vlastnosti: Orientácia kryštálových rovín ovplyvňuje mechanické vlastnosti ako systémy sklzu, roviny štiepenia a správanie pri zlomení.

  3. Výroba polovodičov: V polovodičovej výrobe sa vyberajú konkrétne kryštálové roviny pre epitaxný rast a výrobu zariadení kvôli ich elektronickým vlastnostiam.

  4. Analýza textúry: Millerove indexy pomáhajú charakterizovať preferované orientácie (textúru) v polykrystalických materiáloch, čo ovplyvňuje ich fyzikálne vlastnosti.

Mineralógia a geológia

Geológovia používajú Millerove indexy na opis kryštálových tvárí a rovín štiepenia v mineráloch, čo pomáha pri identifikácii a pochopení podmienok formovania.

Vzdelávacie aplikácie

Millerove indexy sú základné koncepty vyučované v kurzoch v oblasti vedy o materiáloch, kryštalografie a fyziky pevných látok, čo robí túto kalkulačku cenným vzdelávacím nástrojom.

Alternatívy k Millerovým indexom

Aj keď sú Millerove indexy najpoužívanejšou notáciou pre kryštálové roviny, existuje niekoľko alternatívnych systémov:

  1. Miller-Bravais indexy: Štvorindexová notácia (h,k,i,l) používaná pre hexagonálne kryštálové systémy, kde i = -(h+k). Táto notácia lepšie odráža symetriu hexagonálnych štruktúr.

  2. Weberove symboly: Používané predovšetkým v staršej literatúre, najmä na opis smerov v kubických kryštáloch.

  3. Priame mriežkové vektory: V niektorých prípadoch sú roviny popisované pomocou priamych mriežkových vektorov namiesto Millerových indexov.

  4. Wyckoffove pozície: Na opis atómových pozícií v kryštálových štruktúrach namiesto rovín.

Napriek týmto alternatívam zostávajú Millerove indexy štandardnou notáciou kvôli svojej jednoduchosti a univerzálnej použiteľnosti vo všetkých kryštálových systémoch.

História Millerových indexov

Systém Millerových indexov bol vyvinutý britským mineralógom a kryštalografom Williamom Hallowesom Millerom v roku 1839, publikovaný v jeho diele "A Treatise on Crystallography". Millerova notácia vychádzala z predchádzajúcej práce Augusta Bravaisa a iných, ale poskytla elegantnejší a matematicky konzistentnejší prístup.

Pred Millerovým systémom sa používali rôzne notácie na opis kryštálových tvárí, vrátane Weissových parametrov a Naumannových symbolov. Millerovou inováciou bolo použitie reciprokých hodnôt interceptov, čo zjednodušilo mnohé kryštalografické výpočty a poskytlo intuitívnejšie zobrazenie paralelných rovín.

Prijatie Millerových indexov sa urýchlilo objavom X-ray difrakcie Maxa von Laue v roku 1912 a následnou prácou Williama Lawrence Bragga a Williama Henryho Bragga. Ich výskum preukázal praktickú užitočnosť Millerových indexov pri interpretácii difrakčných vzorov a určovaní kryštálových štruktúr.

Počas 20. storočia, keď sa kryštalografia stala čoraz dôležitejšou v oblasti vedy o materiáloch, fyziky pevných látok a biochemie, sa Millerove indexy pevne etablovali ako štandardná notácia. Dnes zostávajú nevyhnutné v moderných technikách charakterizácie materiálov, výpočtovej kryštalografii a návrhu nanomateriálov.

Kódové príklady na výpočet Millerových indexov

1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5    """
6    Vypočítajte Millerove indexy z interceptov
7    
8    Args:
9        intercepts: Zoznam troch interceptov [a, b, c]
10        
11    Returns:
12        Zoznam troch Millerových indexov [h, k, l]
13    """
14    # Riešenie nekonečných interceptov (paralelne s osou)
15    reciprocals = []
16    for intercept in intercepts:
17        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18            reciprocals.append(0)
19        else:
20            reciprocals.append(1 / intercept)
21    
22    # Nájdenie nenulových hodnôt pre výpočet GCD
23    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24    
25    if not non_zero:
26        return [0, 0, 0]
27    
28    # Škálovanie na rozumné celé čísla (vyhnutie sa problémom s plávajúcou desatinnou čiarkou)
29    scale = 1000
30    scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31    
32    # Nájdenie GCD
33    gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34    
35    # Prevod späť na najmenšie celé čísla
36    miller_indices = []
37    for r in reciprocals:
38        if r == 0:
39            miller_indices.append(0)
40        else:
41            miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42    
43    return miller_indices
44
45# Príklad použitia
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Millerove indexy pre intercepty {intercepts}: {indices}")  # Výstup: [3, 2, 1]
49
function gcd(a, b) {
  a = Math.abs(a);
  b = Math.abs
🔗

Súvisiace nástroje

Objavte ďalšie nástroje, ktoré by mohli byť užitočné pre vašu pracovnú postupnosť

Kalkulačka uhla na miter pre stolárstvo a stavbu

Vyskúšajte tento nástroj

Six Sigma kalkulačka: Zmerajte kvalitu svojho procesu

Vyskúšajte tento nástroj

Kalkulačka molekulovej hmotnosti - Bezplatný nástroj na chemické vzorce

Vyskúšajte tento nástroj

Kalkulátor pravdepodobností binomickej distribúcie

Vyskúšajte tento nástroj

Gamma Distribution Calculator for Statistical Analysis

Vyskúšajte tento nástroj

Kalkulačka betónových stĺpov: objem a potrebné vrecká

Vyskúšajte tento nástroj