Kalkulačka Millerových indexov - Konverzia interceptov kryštálovej roviny na (hkl)

Čo sú Millerove indexy?

Millerove indexy sú trojica celých čísel zapísaná ako (h,k,l), ktorá určuje rovinu v kryštálovej mriežke. Kryštálová mriežka je pravidelné opakujúce sa usporiadanie atómov v pevnej látke. Millerove indexy vedcom presne hovoria, ktorý rez touto mriežkou daná rovina predstavuje, bez potreby opisovať jej geometriu slovami. Zaviedol ich britský mineralóg William Hallowes Miller v roku 1839 a v kryštalografii zostávajú štandardným zápisom dodnes.

Táto kalkulačka prevádza priesečníky roviny s kryštalografickými osami x, y a z na jej Millerove indexy (h,k,l).

Vzorec pre Millerove indexy

Millerove indexy vychádzajú z prevrátených hodnôt priesečníkov roviny s osami. Ak rovina pretína osi x, y a z vo vzdialenostiach a, b a c od počiatku, indexy spĺňajú:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Ako vypočítať Millerove indexy z priesečníkov

1. Určte, kde rovina pretína jednotlivé osi, pričom vzdialenosť merajte v jednotkách dĺžky hrany elementárnej bunky. Tieto priesečníky označte a, b a c.
2. Vypočítajte prevrátenú hodnotu každého priesečníka: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Vynásobte všetky tri prevrátené hodnoty tým istým číslom tak, aby sa každá z nich stala celým číslom.
4. Vydeľte tri celé čísla ich najväčším spoločným deliteľom, aby sa už nedali ďalej krátiť.

Tri výsledné celé čísla sú h, k a l. Rovina, ktorá nepretína určitú os, sa považuje za rovinu s priesečníkom v nekonečne a 1 delené nekonečnom je 0, takže tejto osi patrí Millerov index 0.

Vzorový príklad

Rovina pretína os x v bode 2, os y v bode 3 a os z v bode 6.

1. Priesečníky: (2, 3, 6)
2. Prevrátené hodnoty: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Vynásobenie najmenším spoločným násobkom menovateľov, 6: (3, 2, 1)
4. Najväčší spoločný deliteľ čísel 3, 2 a 1 je 1, takže čísla sa už nedajú ďalej krátiť.

Millerove indexy sú (321).

Ďalšie príklady

• Rovina prechádzajúca bodmi (1, ∞, 2) — rovnobežná s osou y — má prevrátené hodnoty (1, 0, 1/2). Po vynásobení číslom 2 dostaneme (2, 0, 1). Hodnota 0 ukazuje, že rovina nikdy nepretína os y.
• Rovina prechádzajúca bodmi (-1, 2, 3) má prevrátené hodnoty (-1, 1/2, 1/3). Po vynásobení číslom 6 dostaneme (-6, 3, 2), čo sa zvyčajne zapisuje ako (6̄32) s vodorovnou čiarou nad záporným indexom.
• Rovina prechádzajúca bodmi (1, ∞, ∞) má prevrátené hodnoty (1, 0, 0), takže výsledkom je (100). Ide o jednu zo šiestich stien kocky.

Osobitné prípady

Rovina rovnobežná s osou ju nikdy nepretína, preto sa príslušný priesečník považuje za nekonečný a jej Millerov index je 0. Rovina, ktorá pretína os na zápornej strane od počiatku, má záporný index, ktorý sa vo formálnom zápise označuje vodorovnou čiarou nad číslom alebo v bežnom texte znamienkom mínus. Rovina prechádzajúca samotným počiatkom nemá definované Millerove indexy, pretože každá sústava rovnobežných rovín v mriežke musí byť pri indexovaní posunutá od počiatku; pred opísaním takejto roviny treba počiatok posunúť. Zlomkové priesečníky sa spracúvajú rovnako ako celočíselné: vypočíta sa prevrátená hodnota každého z nich a potom sa odstránia zlomky.

Indexy sa vždy redukujú na najmenšie možné celé čísla. (622) a (311) opisujú tú istú sústavu rovín, ale kryštalografi vždy zapisujú (311).

Používanie tejto kalkulačky

Zadajte priesečníky roviny s osami x, y a z.

• Pre priesečník na kladnej strane počiatku použite kladné číslo a pre stranu zápornú od počiatku záporné číslo.
• Pre rovinu rovnobežnú s osou zadajte „infinity“, „inf“ alebo „∞“.
• Priesečník s hodnotou nula nie je akceptovaný, pretože rovine prechádzajúcej počiatkom nemožno touto metódou priradiť Millerove indexy.

Kalkulačka vypočíta indexy okamžite a zobrazí diagram roviny v elementárnej bunke.

Použitie Millerových indexov

Röntgenová difrakcia. Každá škvrna alebo pík na difrakčnom obrazci röntgenového žiarenia zodpovedá sústave kryštálových rovín s konkrétnym (hkl). Braggov zákon spája vzdialenosť medzi týmito rovinami s difrakčným uhlom:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

V tomto vzťahu je d_hkl vzdialenosť medzi rovinami (h,k,l), λ je vlnová dĺžka röntgenového žiarenia a θ je difrakčný uhol. Priraďovanie pozorovaných píkov k hodnotám (hkl), označované ako indexovanie, je základným krokom pri určovaní neznámej kryštálovej štruktúry.

Náuka o materiáloch. Rôzne kryštálové roviny odhaľujú rôzne usporiadanie atómov, takže majú odlišné povrchové energie, odlišné rýchlosti chemických reakcií a odlišnú úlohu pri deformácii kovu. V kovoch s plošne centrovanou kubickou mriežkou, ako je hliník, sa atómové roviny najľahšie posúvajú po rovinách {111}. Kremíkové doštičky pre počítačové čipy sa zvyčajne režú pozdĺž roviny (100) alebo (111), pretože táto voľba ovplyvňuje priebeh neskorších výrobných krokov.

Mineralógia. Ploché steny pozorované na prírodnom kryštáli aj smery, pozdĺž ktorých sa minerál ľahko štiepi (jeho štiepnosť), zodpovedajú konkrétnym rovinám s nízkymi indexmi. Halit (kuchynská soľ) sa štiepi pozdĺž rovín {100} a fluorit pozdĺž rovín {111}.

Millerove-Bravaisove indexy pre hexagonálne kryštály

Hexagonálne kryštály, ako horčík, zinok a titán, sa zvyčajne opisujú štvorindexovým systémom (hkil) namiesto trojindexového systému. Dodatočný index i nie je nezávislý; vždy platí i = -(h+k). Tento zápis uľahčuje rozpoznanie, že dve roviny patria do tej istej symetricky ekvivalentnej sústavy, čo pri samotnom trojindexovom Millerovom zápise v hexagonálnej mriežke nie je vždy zrejmé.

História

Millerove indexy zaviedol William Hallowes Miller vo svojej knihe A Treatise on Crystallography z roku 1839. Staršie systémy označovania kryštálových stien už existovali, ale Millerova metóda používania prevrátených hodnôt priesečníkov uľahčila prácu s rovinami rovnobežnými s osou, pretože ich priesečník je nekonečný a jeho prevrátená hodnota je jednoducho 0. Po objave röntgenovej difrakcie na kryštáloch Maxom von Lauem v roku 1912 William Henry Bragg a William Lawrence Bragg ukázali, že Millerove indexy presne opisujú roviny zodpovedné za difrakčné píky. Za túto prácu sa v roku 1915 spoločne podelili o Nobelovu cenu za fyziku.

Často kladené otázky

Na čo sa používajú Millerove indexy? Určujú konkrétne roviny v kryštálovej mriežke. Používajú sa na indexovanie píkov röntgenovej a elektrónovej difrakcie, na opis klzných rovín v kovoch, na určenie orientácie polovodičových doštičiek a na označovanie stien a štiepnosti minerálov.

Čo znamená nula v Millerovom indexe? Znamená, že rovina je rovnobežná s danou osou a nikdy ju nepretína. Napríklad (201) je rovnobežná s osou y.

Čo znamenajú záporné Millerove indexy? Znamenajú, že rovina pretína danú os na zápornej strane od počiatku. Záporný index sa zapisuje s vodorovnou čiarou nad číslom, napríklad (2̄11), alebo so znamienkom mínus, napríklad (-2,1,1).

Prečo rovina prechádzajúca počiatkom nemôže mať Millerove indexy? Millerove indexy vychádzajú z prevrátenej hodnoty priesečníka. Rovina prechádzajúca počiatkom pretína každú os v bode 0 a 1/0 nie je definované, takže metóda nemôže priradiť indexy, kým sa rovina neposunie.

Aký je rozdiel medzi Millerovými a Millerovými-Bravaisovými indexmi? Millerove indexy (hkl) používajú tri čísla a fungujú pre každú kryštálovú sústavu. Millerove-Bravaisove indexy (hkil) pridávajú štvrtý, závislý index a používajú sa najmä pre hexagonálne kryštály, v ktorých uľahčujú rozpoznanie symetricky ekvivalentných rovín.

Ako súvisí vzdialenosť medzi rovinami s Millerovými indexmi? V kubickom kryštáli s dĺžkou hrany a je vzdialenosť medzi susednými rovinami (hkl) d = a / √(h² + k² + l²). Roviny s vyššími indexmi sú bližšie pri sebe. Iné kryštálové sústavy používajú podobný, ale zložitejší vzorec, ktorý zohľadňuje nerovnaké dĺžky osí a uhly odlišné od 90°.

Zdroje

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W. a Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. vydanie). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D. a Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. vydanie). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.