Kalkulačka gamma rozdelenia

Úvod

Gamma rozdelenie je spojité pravdepodobnostné rozdelenie, ktoré sa široko používa v rôznych oblastiach vedy, inžinierstva a financií. Je charakterizované dvoma parametrami: tvarovým parametrom (k alebo α) a škálovým parametrom (θ alebo β). Táto kalkulačka vám umožňuje vypočítať rôzne vlastnosti gamma rozdelenia na základe týchto vstupných parametrov.

Formula

Funkcia hustoty pravdepodobnosti (PDF) gamma rozdelenia je daná:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Kde:

• x > 0 je náhodná premenná
• k > 0 je tvarový parameter
• θ > 0 je škálový parameter
• Γ(k) je gamma funkcia

Kumulatívna distribuční funkcia (CDF) je:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Kde γ(k, x/θ) je dolná neúplná gamma funkcia.

Kľúčové vlastnosti gamma rozdelenia zahŕňajú:

1. Priemer: $E[X] = k\theta$
2. Variancia: $Var[X] = k\theta^2$
3. Šikmosť: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtóza: $3 + \frac{6}{k}$

Ako používať túto kalkulačku

1. Zadajte tvarový parameter (k alebo α)
2. Zadajte škálový parameter (θ alebo β)
3. Kliknite na "Vypočítať", aby ste vypočítali rôzne vlastnosti gamma rozdelenia
4. Výsledky zobrazia priemer, varianciu, šikmosť, kurtózu a ďalšie relevantné informácie
5. Zobrazí sa vizualizácia funkcie hustoty pravdepodobnosti

Výpočet

Kalkulačka používa vyššie uvedené vzorce na výpočet rôznych vlastností gamma rozdelenia. Tu je krok za krokom vysvetlenie:

1. Overenie vstupných parametrov (oba k a θ musia byť kladné)
2. Vypočítajte priemer: $k\theta$
3. Vypočítajte varianciu: $k\theta^2$
4. Vypočítajte šikmosť: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Vypočítajte kurtózu: $3 + \frac{6}{k}$
6. Vypočítajte mód: $(k-1)\theta$ pre k ≥ 1, inak 0
7. Generujte body pre krivku PDF pomocou vyššie uvedeného vzorca
8. Nakreslite krivku PDF

Číselné úvahy

Pri implementácii výpočtov gamma rozdelenia by sa mali zohľadniť niektoré číselné úvahy:

1. Pre veľmi malé tvarové parametre (k < 1) môže PDF pristupovať k nekonečnu, keď x pristupuje k 0, čo môže spôsobiť numerickú nestabilitu.
2. Pre veľké tvarové parametre môže gamma funkcia Γ(k) stať sa veľmi veľkou, čo môže spôsobiť pretečenie. V takýchto prípadoch je vhodné pracovať s logaritmom gamma funkcie.
3. Pri výpočte CDF je často numericky stabilnejšie použiť špecializované algoritmy pre neúplnú gamma funkciu namiesto priamej integrácie PDF.
4. Pre extrémne hodnoty parametrov môže byť potrebné použiť rozšírenú presnosť aritmetiky na zachovanie presnosti.

Prípady použitia

Gamma rozdelenie má množstvo aplikácií v rôznych oblastiach:

1. Financie: Modelovanie rozdelení príjmov, množstiev poistných nárokov a výnosov aktív
2. Meteorológia: Analyzovanie vzorcov zrážok a iných meteorologických javov
3. Inžinierstvo: Analýza spoľahlivosti a modelovanie času zlyhania
4. Fyzika: Opisovanie čakacích časov medzi udalosťami rádioaktívneho rozpadu
5. Biológia: Modelovanie hojnosť druhov a úrovní expresie génov
6. Operácie výskumu: Teória frontov a riadenie zásob

Alternatívy

Hoci je gamma rozdelenie všestranné, existujú príbuzné rozdelenia, ktoré môžu byť vhodnejšie v určitých situáciách:

1. Exponenciálne rozdelenie: Špeciálny prípad gamma rozdelenia, keď k = 1
2. Chi-kvadrát rozdelenie: Špeciálny prípad gamma rozdelenia s k = n/2 a θ = 2
3. Weibullovo rozdelenie: Často používané ako alternatíva v analýze spoľahlivosti
4. Log-normálne rozdelenie: Ďalšia bežná voľba na modelovanie šikmých, kladných údajov

Odhad parametrov

Pri práci s reálnymi údajmi je často potrebné odhadnúť parametre gamma rozdelenia. Bežné metódy zahŕňajú:

1. Metóda momentov: Zrovnávanie vzorových momentov s teoretickými momentmi
2. Odhad maximálnej pravdepodobnosti (MLE): Hľadanie parametrov, ktoré maximalizujú pravdepodobnosť pozorovania údajov
3. Bayesovský odhad: Zohľadnenie predchádzajúcej znalosti o parametroch

Testovanie hypotéz

Gamma rozdelenie môže byť použité v rôznych testoch hypotéz, vrátane:

1. Testy goodness-of-fit na určenie, či údaje nasledujú gamma rozdelenie
2. Testy na rovnosť škálových parametrov medzi dvoma gamma rozdeleniami
3. Testy na rovnosť tvarových parametrov medzi dvoma gamma rozdeleniami

História

Gamma rozdelenie má bohatú históriu v matematike a štatistike:

• 18. storočie: Leonhard Euler predstavil gamma funkciu, ktorá je úzko spojená s gamma rozdelením
• 1836: Siméon Denis Poisson použil špeciálny prípad gamma rozdelenia vo svojej práci o teórii pravdepodobnosti
• 1920. roky: Ronald Fisher popularizoval používanie gamma rozdelenia v štatistickej analýze
• Stred 20. storočia: Gamma rozdelenie sa stalo široko používaným v inžinierstve spoľahlivosti a testovaní života
• Koniec 20. storočia až súčasnosť: Pokroky v výpočtovej sile uľahčili prácu s gamma rozdeleniami v rôznych aplikáciách

Príklady

Tu sú niektoré kódové príklady na výpočet vlastností gamma rozdelenia:

1' Excel VBA funkcia pre PDF gamma rozdelenia
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Použitie:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma rozdelenie (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Hustota pravdepodobnosti')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Príklad použitia:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Vypočítajte vlastnosti
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Priemer: {mean}")
29print(f"Variancia: {variance}")
30print(f"Šikmosť: {skewness}")
31print(f"Kurtóza: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Priemer: ${mean}`);
19    console.log(`Variancia: ${variance}`);
20    console.log(`Šikmosť: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtóza: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Príklad použitia:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Nakreslite PDF (použitím hypotetickej knižnice na kreslenie)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Tieto príklady demonštrujú, ako vypočítať vlastnosti gamma rozdelenia a vizualizovať jeho funkciu hustoty pravdepodobnosti pomocou rôznych programovacích jazykov. Môžete prispôsobiť tieto funkcie svojim konkrétnym potrebám alebo ich integrovať do väčších systémov štatistickej analýzy.

Odkazy

1. "Gamma rozdelenie." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Prístup 2. augusta 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Kontinuálne univariatné rozdelenia, zväzok 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Štatistické rozdelenia. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). Poznámka o gamma rozdelení. Mesiacná správa o počasí, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). Generalizácia gamma rozdelenia. Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.