Fisherov exaktný test - Bezplatný štatistický nástroj

Čo je Fisherov exaktný test?

Fisherov exaktný test je štatistická metóda, ktorá pomocou údajov usporiadaných v tabuľke 2×2 overuje, či spolu súvisia dve kategorizované premenné. Vypočítava exaktnú pravdepodobnosť nazývanú p-hodnota, nie aproximáciu. Vďaka tomu je užitočný pri malej vzorke.

Test porovnáva počty v dvoch riadkoch a dvoch stĺpcoch, napríklad pacientov, ktorí dostali liečbu, s neliečenými pacientmi podľa toho, či sa zotavili alebo nie. Tabuľka 2×2 má štyri bunky, zvyčajne označené A, B, C a D, ako aj súčty riadkov a stĺpcov.

Fisherov exaktný test verzus chí-kvadrátový test

Chí-kvadrátový test tiež overuje vzťah medzi dvoma kategorizovanými premennými, ale opiera sa o aproximáciu, ktorá funguje dobre iba vtedy, keď sú počty v bunkách dostatočne veľké. Bežné orientačné pravidlo hovorí: ak je očakávaný počet v niektorej bunke tabuľky menší ako 5, chí-kvadrátová aproximácia je nespoľahlivá a lepšou voľbou je Fisherov exaktný test. Fisherov exaktný test funguje pri ľubovoľnej veľkosti vzorky, ale je matematicky exaktný, nie aproximatívny, čo je jeho hlavná výhoda pri malých vzorkách.

Ako vypočítať Fisherov exaktný test

Test používa hypergeometrické rozdelenie, ktoré opisuje pravdepodobnosť vytiahnutia určitého počtu položiek zo skupiny bez ich vrátenia späť. Pri daných súčtoch riadkov a stĺpcov tabuľky poskytuje hypergeometrické rozdelenie pravdepodobnosť každého konkrétneho usporiadania štyroch počtov v bunkách.

Vzorec pravdepodobnosti

Pre tabuľku s bunkami A, B, C, D, súčtami riadkov r₁ = A + B a r₂ = C + D, súčtami stĺpcov c₁ = A + C a c₂ = B + D a celkovou veľkosťou vzorky n = A + B + C + D je pravdepodobnosť tejto presnej tabuľky:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

„!“ znamená faktoriál: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Jednostranná p-hodnota

Jednostranná p-hodnota je súčtom pravdepodobnosti pozorovanej tabuľky a všetkých ostatných tabuliek s rovnakými súčtami riadkov a stĺpcov, ktoré ukazujú rovnako silný alebo silnejší vzťah rovnakým smerom. „Smer“ sa určuje porovnaním bunky A s hodnotou, ktorú by mala pri nesúvislosti oboch premenných, nazývanou očakávaná hodnota: E(A) = r₁c₁ / n.

• Ak je A rovné E(A) alebo väčšie, súvislosť je pozitívna a súčet zahŕňa všetky možné hodnoty bunky A od pozorovanej hodnoty po jej najvyššiu možnú hodnotu.
• Ak je A menšie ako E(A), súvislosť je negatívna a súčet siaha od najnižšej možnej hodnoty bunky A po pozorovanú hodnotu.

Obojstranná p-hodnota

Obojstranná p-hodnota je súčtom pravdepodobností všetkých možných tabuliek s rovnakými súčtami riadkov a stĺpcov, ktorých pravdepodobnosť je rovná pravdepodobnosti pozorovanej tabuľky alebo menšia. Zahŕňa extrémne výsledky v oboch smeroch, takže obojstranná p-hodnota je zvyčajne väčšia než jednostranná p-hodnota vypočítaná z tej istej tabuľky.

Vyriešený príklad

V malej klinickej skúške dostalo nový liek 10 pacientov a placebo ďalších 10 pacientov. Výsledky:

Tu A = 8, B = 2, C = 3, D = 7 a n = 20. Očakávaná hodnota A pri nezávislosti je E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Keďže 8 je väčšie ako 5,5, súvislosť je pozitívna, takže jednostranný súčet siaha od A = 8 po najvyššiu možnú hodnotu A, ktorou je 10.

Výpočtom hypergeometrických pravdepodobností pre A = 8, 9 a 10 získame jednostrannú p-hodnotu približne 0,0349. Po pripočítaní pravdepodobností všetkých tabuliek (v oboch smeroch) s pravdepodobnosťou rovnakou alebo menšou než pravdepodobnosť pozorovanej tabuľky získame obojstrannú p-hodnotu približne 0,0698.

Pri bežnej hladine 0,05 sa jednostranný výsledok považuje za štatisticky významný, zatiaľ čo obojstranný výsledok nie. To ukazuje, prečo je dôležitá voľba typu testu: jednostranný test je vhodný iba vtedy, keď bol smer účinku (v tomto prípade zlepšenie výsledkov v dôsledku lieku) predpovedaný ešte pred preskúmaním údajov.

Kedy použiť Fisherov exaktný test

Fisherov exaktný test sa bežne používa pri:

• klinických skúškach s malým počtom pacientov.
• kontrolách kvality porovnávajúcich počty chýb medzi dvoma výrobnými dávkami.
• genetickom výskume porovnávajúcom počty výskytov určitého znaku v dvoch malých skupinách.
• každej tabuľke 2×2, v ktorej je očakávaný počet v niektorej bunke menší ako 5.

Najčastejšie otázky

Na čo sa používa Fisherov exaktný test? Overuje, či spolu súvisia dve kategorizované premenné, pričom využíva počty z tabuľky 2×2. Pri malej vzorke sa často volí namiesto chí-kvadrátového testu.

Kedy sa má Fisherov exaktný test použiť namiesto chí-kvadrátového testu? Keď je očakávaný počet v niektorej bunke tabuľky menší ako 5 alebo keď je potrebná väčšia istota o presnej pravdepodobnosti bez ohľadu na veľkosť vzorky.

Aký je rozdiel medzi jednostrannými a obojstrannými výsledkami? Jednostranná p-hodnota testuje predpokladaný smer účinku určený ešte pred oboznámením sa s údajmi. Obojstranná p-hodnota testuje, či existuje akákoľvek súvislosť v ktoromkoľvek smere. Obojstranná p-hodnota z tej istej tabuľky je zvyčajne väčšia.

Uvádza táto kalkulačka pomer šancí? Nie. Uvádza iba exaktnú p-hodnotu. Pomer šancí pre tú istú tabuľku možno vypočítať osobitne vydelením A × D hodnotou B × C.

Dá sa Fisherov exaktný test použiť pre tabuľky väčšie než 2×2? Verzia opísaná tu je určená pre tabuľky 2×2. Väčšie tabuľky vyžadujú súvisiacu metódu nazývanú Freemanovo-Haltonovo rozšírenie, ktorá je dostupná vo väčšine štatistického softvéru.

Dá sa Fisherov exaktný test použiť na párové údaje, napríklad na merania pred liečbou a po nej u tých istých ľudí? Nie. Predpokladá dve nezávislé skupiny. Na párové kategorizované údaje sa namiesto toho používa McNemarov test.

Referencie

1. Fisher, R. A. (1922). „On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P.“ Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G. H. a Halton, J. H. (1951). „Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance.“ Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3. vydanie). Wiley.