Kalkulačka pre všetky druhy t-testov a analýzu údajov

Kalkulačka T-Test

Úvod

t-test je základný štatistický nástroj používaný na určenie, či existuje významný rozdiel medzi priemermi skupín. Je široko aplikovaný v rôznych oblastiach, ako je psychológia, medicína a obchod, na testovanie hypotéz. Táto kalkulačka vám umožňuje vykonávať všetky druhy t-testov:

T-Test s jedným vzorkom: Testuje, či sa priemer jednej skupiny líši od známej hodnoty.
T-Test s dvoma vzorkami (nezávislé vzorky): Porovnáva priemery dvoch nezávislých skupín.
Párovaný T-Test: Porovnáva priemery z tej istej skupiny v rôznych časoch (napr. pred a po liečbe).

Typy T-Testov

Ako používať túto kalkulačku

Vyberte typ T-Testu:
- T-Test s jedným vzorkom
- T-Test s dvoma vzorkami
- Párovaný T-Test
Zadajte požadované vstupy:
- Pre T-Test s jedným vzorkom:
  - Priemer vzorky ( $\bar{x}$ )
  - Štandardná odchýlka vzorky ( $s$ )
  - Veľkosť vzorky ( $n$ )
  - Priemer populácie ( $\mu_0$ )
- Pre T-Test s dvoma vzorkami:
  - Priemer vzorky 1 ( $\bar{x}_1$ )
  - Štandardná odchýlka vzorky 1 ( $s_1$ )
  - Veľkosť vzorky 1 ( $n_1$ )
  - Priemer vzorky 2 ( $\bar{x}_2$ )
  - Štandardná odchýlka vzorky 2 ( $s_2$ )
  - Veľkosť vzorky 2 ( $n_2$ )
  - Predpoklad variancie: Vyberte, či sú variancie predpokladané ako rovnaké alebo rôzne.
- Pre Párovaný T-Test:
  - Dáta rozdielov: Zadajte párové rozdiely.
  - Alternatívne, zadajte Priemer rozdielov ( $\bar{d}$ ), Štandardná odchýlka rozdielov ( $s_d$ ) a Veľkosť vzorky ( $n$ ).
Nastavte hladinu významnosti ( $\alpha$ ):
- Bežné voľby sú 0.05 pre 95% hladinu dôvery alebo 0.01 pre 99% hladinu dôvery.
Vyberte smer testu:
- Dvojstranný test: Testuje akýkoľvek rozdiel.
- Jednostranný test: Testuje smerový rozdiel (určte, či testujete na väčšie alebo menšie).
Kliknite na tlačidlo "Vypočítať":
- Kalkulačka zobrazí:
  - T-štatistika
  - Stupeň voľnosti
  - P-hodnota
  - Záver: Či zamietnúť alebo nezamietnúť nulovú hypotézu.

Predpoklady

Pred použitím t-testu sa uistite, že sú splnené nasledujúce predpoklady:

Normalita: Dáta by mali byť približne normálne rozdelené.
Nezávislosť: Pozorovania musia byť nezávislé od seba.
- Pre T-Test s dvoma vzorkami by mali byť dve skupiny nezávislé.
- Pre Párovaný T-Test by mali byť rozdiely nezávislé.
Rovnosť variancií:
- Pre T-Test s dvoma vzorkami s rovnakými varianciami by mali byť variancie dvoch populácií rovnaké (homoskedasticita).
- Ak tento predpoklad nie je splnený, použite Welchov T-Test (nerovnaké variancie).

Formuly

T-Test s jedným vzorkom

T-štatistika sa vypočíta ako:

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}

$\bar{x}$ : Priemer vzorky
$\mu_0$ : Priemer populácie pod nulovou hypotézou
$s$ : Štandardná odchýlka vzorky
$n$ : Veľkosť vzorky

T-Test s dvoma vzorkami (nezávislé vzorky)

Predpokladané rovnaké variancie

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

Zjednotená štandardná odchýlka ( $s_p$ ):

s_p = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}

Nerovnaké variancie (Welchov T-Test)

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}

Párovaný T-Test

t = \frac{\bar{d}}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}}

$\bar{d}$ : Priemer rozdielov
$s_d$ : Štandardná odchýlka rozdielov
$n$ : Počet párov

Stupeň voľnosti

T-Test s jedným vzorkom a Párovaný T-Test:

df = n - 1

T-Test s dvoma vzorkami s rovnakými varianciami:

df = n_1 + n_2 - 2

Welchov T-Test:

df = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right)^2}{n_1 -1} + \frac{\left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{n_2 -1}}

Výpočet

Kalkulačka vykonáva nasledujúce kroky:

Vypočíta T-štatistiku pomocou príslušnej formuly na základe vybraného testu.
Určí Stupeň voľnosti (df).
Vypočíta P-hodnotu zodpovedajúcu t-štatistike a df:
- Používa t-rozdelenie na nájdenie pravdepodobnosti.
Porovná P-hodnotu s hladinou významnosti ( $\alpha$ ):
- Ak $p \leq \alpha$ , zamietnite nulovú hypotézu.
- Ak $p > \alpha$ , nezamietnite nulovú hypotézu.
Interpretácia výsledkov:
- Poskytnite záver v kontexte testu.

Príklady použitia

T-Test s jedným vzorkom

Testovanie účinnosti nového lieku:
- Určte, či sa priemerný čas zotavenia s novým liekom líši od známeho priemerného času zotavenia.
Kontrola kvality:
- Skontrolujte, či sa priemerná dĺžka vyrobených dielov odchýli od stanoveného štandardu.

T-Test s dvoma vzorkami

A/B testovanie v marketingu:
- Porovnajte konverzné pomery medzi dvoma rôznymi dizajnmi webových stránok.
Vzdelávací výskum:
- Posúďte, či existuje rozdiel v testovacích výsledkoch medzi dvoma metódami vyučovania.

Párovaný T-Test

Pred a po štúdie:
- Vyhodnoťte úbytok hmotnosti pred a po diétnom programe.
Zodpovedajúce subjekty:
- Porovnajte merania krvného tlaku pred a po podaní lieku tým istým subjektom.

Alternatívy

Aj keď sú t-testy silné, majú predpoklady, ktoré nemusia byť vždy splnené. Alternatívy zahŕňajú:

Mann-Whitney U Test:
- Neparametrická alternatíva k t-testu s dvoma vzorkami, keď dáta nesledujú normálne rozdelenie.
Wilcoxon Signed-Rank Test:
- Neparametrická ekvivalentná verzia párovaného t-testu.
ANOVA (Analýza rozptylu):
- Používa sa na porovnanie priemerov vo viac ako dvoch skupinách.

História

T-test bol vyvinutý Williamom Sealy Gossetom v roku 1908, ktorý publikoval pod pseudonymom "Student" počas práce v pivovare Guinness v Dubline. Test bol navrhnutý na monitorovanie kvality stoutu určením, či sú vzorky konzistentné so štandardmi pivovaru. Kvôli dohodám o dôvernosti použil Gosset pseudonym "Student", čo viedlo k termínu "Studentov t-test."

V priebehu času sa t-test stal základným kameňom v štatistickej analýze, široko vyučovaným a aplikovaným v rôznych vedeckých disciplínach. Otvoril cestu pre rozvoj komplexnejších štatistických metód a je základom v oblasti inferenciálnej štatistiky.

Príklady

Tu sú kódové príklady na vykonanie T-Testu s jedným vzorkom v rôznych programovacích jazykoch:

Excel

1' T-Test s jedným vzorkom v Excel VBA
2Sub OneSampleTTest()
3    Dim sampleData As Range
4    Set sampleData = Range("A1:A9") ' Nahraďte svojím rozsahom dát
5    Dim hypothesizedMean As Double
6    hypothesizedMean = 50 ' Nahraďte svojím hypotetickým priemerom
7
8    Dim sampleMean As Double
9    Dim sampleStdDev As Double
10    Dim sampleSize As Integer
11    Dim tStat As Double
12
13    sampleMean = Application.WorksheetFunction.Average(sampleData)
14    sampleStdDev = Application.WorksheetFunction.StDev_S(sampleData)
15    sampleSize = sampleData.Count
16
17    tStat = (sampleMean - hypothesizedMean) / (sampleStdDev / Sqr(sampleSize))
18
19    MsgBox "T-štatistika: " & Format(tStat, "0.00")
20End Sub
21

R

1## T-Test s jedným vzorkom v R
2sample_data <- c(51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51)
3t_test_result <- t.test(sample_data, mu = 50)
4print(t_test_result)
5

Python

1import numpy as np
2from scipy import stats
3
4## T-Test s jedným vzorkom v Pythone
5sample_data = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
6t_statistic, p_value = stats.ttest_1samp(sample_data, 50)
7print(f"T-štatistika: {t_statistic:.2f}, P-hodnota: {p_value:.4f}")
8

JavaScript

1// T-Test s jedným vzorkom v JavaScripte
2function oneSampleTTest(sample, mu0) {
3  const n = sample.length;
4  const mean = sample.reduce((a, b) => a + b) / n;
5  const sd = Math.sqrt(sample.map(x => (x - mean) ** 2).reduce((a, b) => a + b) / (n - 1));
6  const t = (mean - mu0) / (sd / Math.sqrt(n));
7  return t;
8}
9
10// Príklad použitia:
11const sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
12const tStatistic = oneSampleTTest(sampleData, 50);
13console.log(`T-štatistika: ${tStatistic.toFixed(2)}`);
14

MATLAB

1% T-Test s jedným vzorkom v MATLABe
2sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
3[h, p, ci, stats] = ttest(sampleData, 50);
4disp(['T-štatistika: ', num2str(stats.tstat)]);
5disp(['P-hodnota: ', num2str(p)]);
6

Java

1import org.apache.commons.math3.stat.inference.TTest;
2
3public class OneSampleTTest {
4    public static void main(String[] args) {
5        double[] sampleData = {51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51};
6        TTest tTest = new TTest();
7        double mu = 50;
8        double tStatistic = tTest.t(mu, sampleData);
9        double pValue = tTest.tTest(mu, sampleData);
10        System.out.printf("T-štatistika: %.2f%n", tStatistic);
11        System.out.printf("P-hodnota: %.4f%n", pValue);
12    }
13}
14

C#

1using System;
2using MathNet.Numerics.Statistics;
3
4class OneSampleTTest
5{
6    static void Main()
7    {
8        double[] sampleData = {51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51};
9        double mu0 = 50;
10        int n = sampleData.Length;
11        double mean = Statistics.Mean(sampleData);
12        double stdDev = Statistics.StandardDeviation(sampleData);
13        double tStatistic = (mean - mu0) / (stdDev / Math.Sqrt(n));
14        Console.WriteLine($"T-štatistika: {tStatistic:F2}");
15    }
16}
17

Go

1package main
2
3import (
4    "fmt"
5    "math"
6)
7
8func oneSampleTTest(sample []float64, mu0 float64) float64 {
9    n := float64(len(sample))
10    var sum, mean, sd float64
11
12    for _, v := range sample {
13        sum += v
14    }
15    mean = sum / n
16
17    for _, v := range sample {
18        sd += math.Pow(v - mean, 2)
19    }
20    sd = math.Sqrt(sd / (n - 1))
21
22    t := (mean - mu0) / (sd / math.Sqrt(n))
23    return t
24}
25
26func main() {
27    sample_data := []float64{51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51}
28    t_statistic := oneSampleTTest(sample_data, 50.0)
29    fmt.Printf("T-štatistika: %.2f\n", t_statistic)
30}
31

Swift

1import Foundation
2
3func oneSampleTTest(sample: [Double], mu0: Double) -> Double {
4    let n = Double(sample.count)
5    let mean = sample.reduce(0, +) / n
6    let sd = sqrt(sample.map { pow($0 - mean, 2) }.reduce(0, +) / (n - 1))
7    let t = (mean - mu0) / (sd / sqrt(n))
8    return t
9}
10
11let sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
12let tStatistic = oneSampleTTest(sample: sampleData, mu0: 50)
13print(String(format: "T-štatistika: %.2f", tStatistic))
14

PHP

1<?php
2function oneSampleTTest($sample, $mu0) {
3    $n = count($sample);
4    $mean = array_sum($sample) / $n;
5    $sd = sqrt(array_sum(array_map(function($x) use ($mean) {
6        return pow($x - $mean, 2);
7    }, $sample)) / ($n - 1));
8    $t = ($mean - $mu0) / ($sd / sqrt($n));
9    return $t;
10}
11
12$sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
13$tStatistic = oneSampleTTest($sampleData, 50);
14echo "T-štatistika: " . number_format($tStatistic, 2);
15?>
16

Ruby

1## T-Test s jedným vzorkom v Ruby
2def one_sample_t_test(sample, mu0)
3  n = sample.size
4  mean = sample.sum(0.0) / n
5  sd = Math.sqrt(sample.map { |x| (x - mean)**2 }.sum / (n - 1))
6  t = (mean - mu0) / (sd / Math.sqrt(n))
7  t
8end
9
10sample_data = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
11t_statistic = one_sample_t_test(sample_data, 50)
12puts format("T-štatistika: %.2f", t_statistic)
13

Rust

1// T-Test s jedným vzorkom v Rust
2fn one_sample_t_test(sample: &Vec<f64>, mu0: f64) -> f64 {
3    let n = sample.len() as f64;
4    let mean: f64 = sample.iter().sum::<f64>() / n;
5    let sd = (sample.iter().map(|x| (x - mean).powi(2)).sum::<f64>() / (n - 1.0)).sqrt();
6    let t = (mean - mu0) / (sd / n.sqrt());
7    t
8}
9
10fn main() {
11    let sample_data = vec![51.0, 49.0, 52.0, 48.0, 50.0, 47.0, 53.0, 49.0, 51.0];
12    let t_statistic = one_sample_t_test(&sample_data, 50.0);
13    println!("T-štatistika: {:.2}", t_statistic);
14}
15

Číselný príklad

Problém: Výrobca tvrdí, že priemerná životnosť batérie je 50 hodín. Skupina spotrebiteľov testuje 9 batérií a zaznamenáva nasledujúce životnosti (v hodinách):

51,\ 49,\ 52,\ 48,\ 50,\ 47,\ 53,\ 49,\ 51

Existuje dôkaz na hladine významnosti 0.05, že priemerná životnosť batérie sa líši od 50 hodín?

Riešenie:

Uveďte hypotézy:
- Nulová hypotéza ( $H_0$ ): $\mu = 50$
- Alternatívna hypotéza ( $H_a$ ): $\mu \neq 50$
Vypočítajte priemer vzorky ( $\bar{x}$ ):
$\bar{x} = \frac{51 + 49 + 52 + 48 + 50 + 47 + 53 + 49 + 51}{9} = 50.00$
Vypočítajte štandardnú odchýlku vzorky ( $s$ ):
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} = 2.0$
Vypočítajte T-štatistiku:
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{50.00 - 50}{\frac{2.0}{\sqrt{9}}} = 0.00$
Stupeň voľnosti:
$df = n - 1 = 8$
Určte P-hodnotu:
- Pre $t = 0.00$ a $df = 8$ je p-hodnota 1.00.
Záver:
- Keďže p-hodnota (1.00) > $\alpha$ (0.05), nezamietnite nulovú hypotézu.
- Interpretácia: Nie je dostatok dôkazov na to, aby sa naznačilo, že priemerná životnosť batérie sa líši od 50 hodín.

Odkazy

Gosset, W. S. (1908). "The Probable Error of a Mean". Biometrika, 6(1), 1–25. JSTOR.
Student's t-test. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test
GraphPad Statistics Guide: Pochopenie t-testov. Link
Laerd Statistics: Nezávislý t-test. Link

Ďalšie zdroje

Kontroly predpokladov:
- Použite Shapiro-Wilk test na normalitu.
- Použite Leveneho test na rovnosť variancií.
Nástroje softvéru:
- SPSS, SAS, Stata a R na pokročilú štatistickú analýzu.
Ďalšie čítanie:
- "Úvod do štatistického učenia" od Gareth James, Daniela Witten, Trevora Hastieho a Roberta Tibshiraniho.
- "Štatistické metódy" od Georgea W. Snedecora a Williama G. Cochrana.

Kalkulačka pre všetky druhy t-testov a analýzu údajov

Kalkulačka T-Testu

Dokumentácia

Kalkulačka T-Test

Úvod

Typy T-Testov

Ako používať túto kalkulačku

Predpoklady

Formuly

T-Test s jedným vzorkom

T-Test s dvoma vzorkami (nezávislé vzorky)

Predpokladané rovnaké variancie

Nerovnaké variancie (Welchov T-Test)

Párovaný T-Test

Stupeň voľnosti

T-Test s jedným vzorkom a Párovaný T-Test:

T-Test s dvoma vzorkami s rovnakými varianciami:

Welchov T-Test:

Výpočet

Príklady použitia

T-Test s jedným vzorkom

T-Test s dvoma vzorkami

Párovaný T-Test

Alternatívy

História

Príklady

Excel

R

Python

JavaScript

MATLAB

Java

C#

Go

Swift

PHP

Ruby

Rust

Číselný príklad

Odkazy

Ďalšie zdroje

Súvisiace nástroje

Z-Test Kalkulačka pre študentov a profesionálov v štatistike

Kalkulačka štatistickej významnosti pre A/B testy

Z-Score Calculator for Statistical Analysis and Standardization

Kalkulačka mokrého obvodu pre rôzne tvary kanálov

Box Plot Calculator for Visual Data Analysis and Insights

Altman Z-Score Kalkulačka na hodnotenie kreditného rizika

Ľahko vypočítajte surové skóre z priemeru, smerodajnej odchýlky a z-skóre