Z-Test Kalkulačka - Bezplatný Štatistický Nástroj Významnosti

Čo je z-test?

Z-test je štatistický test, ktorý zisťuje, či sa výberový priemer významne líši od známeho priemeru populácie, keď je smerodajná odchýlka populácie už známa. Výsledkom je jedno číslo, z-skóre, ktoré ukazuje, o koľko smerodajných odchýlok sa výberový priemer nachádza od priemeru populácie. Výskumníci, kontrolóri kvality a analytici ho používajú na posúdenie, či je pozorovaný rozdiel pravdepodobne skutočný, alebo je iba výsledkom náhody.

Vzorec z-testu

Z-test vypočíta z-skóre podľa tohto vzorca:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• $\bar{x}$ je výberový priemer
• $\mu$ je priemer populácie
• $\sigma$ je smerodajná odchýlka populácie
• $n$ je veľkosť výberu

Spodná časť vzorca, $\sigma / \sqrt{n}$, sa nazýva štandardná chyba. Vyjadruje, do akej miery sa očakáva, že sa výberové priemery budú líšiť iba v dôsledku náhodného výberu.

Ako vypočítať z-test krok za krokom

1. Z vypočítaných údajov určte výberový priemer ($\bar{x}$).
2. Určte známy priemer populácie ($\mu$).
3. Určte známu smerodajnú odchýlku populácie ($\sigma$).
4. Spočítajte veľkosť výberu ($n$).
5. Odčítajte $\mu$ od $\bar{x}$.
6. Vydeľte $\sigma$ druhou odmocninou z $n$, čím získate štandardnú chybu.
7. Vydeľte výsledok kroku 5 výsledkom kroku 6. Výsledkom je z-skóre.

Vyriešený príklad

Továreň uvádza, že jej skrutky majú priemernú dĺžku 10 cm a smerodajnú odchýlku populácie 0,2 cm. Kontrolór zmeria 100 skrutiek a zistí výberový priemer 10,05 cm.

• $\bar{x} = 10.05$
• $\mu = 10$
• $\sigma = 0.2$
• $n = 100$

Štandardná chyba: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Z-skóre: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

Z-skóre je 2,5. Výberový priemer sa nachádza 2,5 štandardnej chyby nad priemerom populácie.

Ako interpretovať z-skóre

Z-skóre blízke hodnote 0 znamená, že výberový priemer je blízko priemeru populácie. Veľké kladné alebo záporné z-skóre znamená, že výberový priemer je ďaleko od priemeru populácie, čo poukazuje na skutočný rozdiel, a nie na náhodu.

Bežné kritické hodnoty pre obojstranný test:

• α = 0,10 (90 % interval spoľahlivosti): z = ±1,645
• α = 0,05 (95 % interval spoľahlivosti): z = ±1,96
• α = 0,01 (99 % interval spoľahlivosti): z = ±2,58

Ak vypočítané z-skóre prekračuje kritickú hodnotu pre zvolenú hladinu významnosti, výsledok sa označuje za štatisticky významný a nulová hypotéza (že neexistuje rozdiel) sa zamieta.

V uvedenom príklade z = 2,5 prekračuje hodnotu ±1,96, takže rozdiel je štatisticky významný na hladine 0,05. Obojstranná p-hodnota pre z = 2,5 je približne 1,24 %, čo znamená, že ak by skutočná priemerná dĺžka skrutiek naozaj bola 10 cm, pravdepodobnosť pozorovania takto veľkého rozdielu by bola približne 1 ku 80.

Kedy použiť z-test

Z-test je vhodný, keď:

• Smerodajná odchýlka populácie je známa.
• Veľkosť výberu je dostatočne veľká, zvyčajne väčšia než 30.
• Údaje pochádzajú z náhodného výberu.
• Populácia má normálne rozdelenie alebo je výber dostatočne veľký na uplatnenie centrálnej limitnej vety.

Ak smerodajná odchýlka populácie nie je známa alebo je výber malý, používa sa namiesto toho t-test. T-test odhaduje variabilitu zo samotného výberu a zohľadňuje dodatočnú neistotu, ktorú to spôsobuje.

Z-test verzus t-test

Oba testy merajú, ako ďaleko je výberový priemer od očakávanej hodnoty, v jednotkách štandardnej chyby. Z-test predpokladá, že smerodajná odchýlka populácie je známa. T-test túto hodnotu odhaduje z výberu a používa širšie rozdelenie závislé od veľkosti výberu, aby zohľadnil dodatočnú neistotu. V praxi sa t-test používa oveľa častejšie, pretože skutočná smerodajná odchýlka populácie je len zriedka známa.

Použitie z-testu v praxi

• Kontrola kvality: overovanie, či séria vyrobených súčiastok zodpovedá cieľovej špecifikácii.
• Lekársky výskum: porovnávanie priemerného výsledku skupiny liečenej danou metódou so známou hodnotou populácie.
• Vzdelávanie: porovnávanie výsledkov testov triedy s celoštátnym priemerom.
• Financie: overovanie, či sa výnosy fondu líšia od priemerného výnosu referenčnej hodnoty.

História

Normálne rozdelenie, na ktorom je z-test založený, opísal Abraham de Moivre v roku 1733 ako aproximáciu binomického rozdelenia. Carl Friedrich Gauss a Pierre-Simon Laplace túto teóriu ďalej rozvíjali na začiatku 1800-tych rokov. Formálne metódy testovania hypotéz vrátane používania z-skóre a kritických hodnôt na posudzovanie štatistickej významnosti vytvorili na začiatku 20. storočia štatistici vrátane Ronalda Fishera, Jerzyho Neymana a Egona Pearsona.

Čo zobrazuje táto kalkulačka

Kalkulačka vyžaduje štyri čísla: výberový priemer, priemer populácie, smerodajnú odchýlku populácie a veľkosť výberu. Zobrazí z-skóre zaokrúhlené na štyri desatinné miesta. Pod výsledkom vykreslí krivku štandardného normálneho rozdelenia a z-skóre označí zvislou čiarou, takže poloha výsledku v rozdelení je viditeľná. Krivka predstavuje hustotu štandardného normálneho rozdelenia, $\varphi(x) = e^{-x^{2}/2} / \sqrt{2\pi}$.

Na vstupy sa vzťahujú dve obmedzenia. Veľkosť výberu musí byť väčšia než 0. Smerodajná odchýlka populácie musí byť aspoň 0,0001; menší rozptyl posúva z-skóre k obrovskej hodnote, ktorá nemá užitočný význam. Kalkulačka nezobrazuje p-hodnotu, preto na určenie významnosti výsledku použite vyššie uvedené kritické hodnoty alebo tabuľku štandardného normálneho rozdelenia.

Najčastejšie otázky

Aký je rozdiel medzi z-testom a t-testom?

Z-test vyžaduje známu smerodajnú odchýlku populácie a najlepšie funguje pri veľkých výberoch. T-test sa používa, keď smerodajná odchýlka populácie nie je známa a musí sa odhadnúť z výberu; funguje pri malých aj veľkých výberoch.

Akú veľkosť výberu potrebuje z-test?

Bežným orientačným pravidlom je veľkosť výberu väčšia než 30. Pri menšej veľkosti sú výsledky z-testu nespoľahlivé a t-test je zvyčajne vhodnejšou voľbou.

Čo znamená z-skóre 2,5?

Z-skóre 2,5 znamená, že výberový priemer je 2,5 štandardnej chyby nad priemerom populácie. To prekračuje obojstrannú kritickú hodnotu ±1,96 pri 95 % intervale spoľahlivosti, takže rozdiel je na tejto hladine štatisticky významný. Obojstranná p-hodnota pre z = 2,5 je približne 1,24 %.

Čo je p-hodnota v z-teste?

P-hodnota je pravdepodobnosť získania výsledku, ktorý je aspoň taký extrémny ako pozorovaný výsledok, ak by skutočne neexistoval rozdiel oproti priemeru populácie. Menšia p-hodnota je silnejším dôkazom proti nulovej hypotéze. P-hodnota menšia než 0,05 sa bežne považuje za štatisticky významnú.

Čo je nulová hypotéza v z-teste?

Nulová hypotéza tvrdí, že medzi výberovým priemerom a priemerom populácie neexistuje rozdiel. Z-test meria, do akej miery výber poskytuje dôkazy proti tomuto tvrdeniu.

Dá sa z-test použiť pri malých výberoch?

Neodporúča sa to. Pri malom výbere alebo neznámej smerodajnej odchýlke populácie poskytuje t-test presnejšie výsledky, pretože zohľadňuje dodatočnú neistotu spojenú s odhadom variability z obmedzeného množstva údajov.