Reševalnik Young-Laplacove enačbe | Tlak na medfazi

Kaj je Young-Laplaceova enačba?

Young-Laplaceova enačba je formula v mehaniki tekočin, ki podaja razliko tlakov prek ukrivljenega vmesnika med dvema tekočinama, na primer na površini vodne kapljice ali milnega mehurčka. Kaže, da je ta razlika tlakov odvisna od površinske napetosti tekočine in od tega, kako močno je vmesnik ukrivljen. Enačba pojasnjuje, zakaj se v kapljicah in mehurčkih tlak povečuje ter zakaj imajo manjši višji notranji tlak kot večji.

Poimenovana je po Thomasu Youngu in Pierru-Simonu Laplaceu, ki sta to povezavo vsak zase opisala v začetku 1800. stoletja.

Formula Young-Laplaceove enačbe

Splošna oblika enačbe je:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ je razlika tlakov prek vmesnika, izražena v paskalih (Pa)
• $\gamma$ (gama) je površinska napetost tekočine, izražena v newtonih na meter (N/m)
• $R_1$ in $R_2$ sta glavna polmera ukrivljenosti površine, izražena v metrih (m)

Površina je v različnih smereh različno ukrivljena. $R_1$ in $R_2$ opisujeta ukrivljenost vzdolž dveh medsebojno pravokotnih smeri. Pri krogli, na primer pri kapljici ali mehurčku, je $R_1$ enak $R_2$, zato se formula poenostavi v:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Predznakovna konvencija

Tlak je vedno višji na konkavni strani ukrivljenega vmesnika, torej na strani, od katere se površina izbočuje. Pri kapljici ali mehurčku to pomeni, da je tlak v notranjosti višji od zunanjega tlaka. Polmer štejemo za pozitivnega, kadar je njegovo središče ukrivljenosti na strani z višjim tlakom. Če je površina v eni smeri ukrivljena v nasprotno smer, je ta polmer negativen. Sedlasto oblikovan vmesnik, na primer tekočinski vrat med dvema dotikajočima se zrncema, ima en pozitiven in en negativen polmer, zato se člena deloma izničita.

Ta kalkulator uporablja samo pozitivne polmere.

Posebni primeri

• Ravna površina: ko polmer narašča proti neskončnosti, se njegov člen v formuli zmanjšuje proti nič. Popolnoma raven vmesnik nima nikakršne razlike tlakov.
• Valj: dolga valjasta površina, na primer tekočinski curek, ki izhaja iz šobe, je ukrivljena samo v eni smeri. Eden od polmerov je polmer valja, drugi pa je vzdolž njegove dolžine neskončen, zato se formula poenostavi v $\Delta P = \gamma / R$. To je polovica razlike tlakov pri krogli z enakim polmerom.
• Zelo majhne razsežnosti: pod približno 10 do 20 nanometrov postanejo pomembni dodatni učinki, na primer linijska napetost, zato preprosta enačba ni več dovolj natančna.

Kako izračunati razliko tlakov z Young-Laplaceovo enačbo

1. Poiščite površinsko napetost tekočine v N/m pri temperaturi, ki vas zanima. Površinska napetost se z naraščanjem temperature zmanjšuje.
2. Izmerite ali ocenite prvi glavni polmer ukrivljenosti, $R_1$, v metrih.
3. Izmerite ali ocenite drugi glavni polmer ukrivljenosti, $R_2$, v metrih. Pri krogli uporabite isto vrednost kot za $R_1$. Pri valju uporabite zelo veliko število kot približek za neskončnost.
4. Pomnožite površinsko napetost z vsoto $1/R_1$ in $1/R_2$. Rezultat je razlika tlakov v paskalih.

Vse vrednosti naj bodo v enotah SI. Če na primer mešate milimetre z metri, bo rezultat odstopal za faktor tisoč.

Rešen primer

Vzemimo sferično vodno kapljico s polmerom 1 milimetra (0,001 m) in površinsko napetostjo 0,072 N/m, kar je običajna vrednost za vodo pri temperaturi blizu sobne.

Ker je kapljica krogla, velja $R_1 = R_2 = R$, zato:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Tlak v kapljici je za 144 Pa višji od tlaka okoliškega zraka. To je malo v primerjavi z običajnim atmosferskim tlakom, ki znaša približno 101.325 Pa, vendar učinek hitro narašča, ko se kapljica krči. Kapljica s polmerom, ki je desetkrat manjši, 0,1 mm, ima desetkrat večjo razliko tlakov: 1.440 Pa. Kapljica s polmerom 0,01 mm doseže 14.400 Pa, kar je več kot 14 % atmosferskega tlaka.

Kje se enačba uporablja

• Kapljice in mehurčki: višji tlak v majhnih kapljicah poganja Ostwaldovo zorenje, proces, pri katerem se majhne kapljice v emulziji krčijo, večje pa rastejo, ker njihova vsebina difundira z območij visokega tlaka na območja nizkega tlaka.
• Kapilarni pojav: ukrivljena površina v ozki cevi vleče tekočino navzgor. Zato se voda dviga po papirnatih brisačah in v ozkih steklenih ceveh.
• Dihanje: drobni zračni mešički v pljučih, imenovani alveoli, se obnašajo kot majhni mehurčki. Obloga, imenovana pljučni surfaktant, zmanjšuje površinsko napetost, zato se majhni alveoli ne sesedejo pod tlakom, ki ga napoveduje enačba. Nedonošenčki, ki nimajo dovolj surfaktanta, lahko zaradi tega razvijejo težave z dihanjem.
• Brizgalno tiskanje: šobe tiskalnikov tvorijo kapljice s premerom nekaj deset mikrometrov, pri katerih je tlak zaradi ukrivljenosti dovolj velik, da vpliva na obliko iztoka črnila iz šobe.
• Ved o materialih: naprave, ki merijo omočenje površine s tekočinami in obnašanje tankih prevlek, uporabljajo enačbo za povezavo med obliko kapljice in njeno površinsko energijo.

Zgodovina

Ljudje so opazili dvigovanje tekočin po ozkih ceveh, dolgo preden je kdo pojasnil, zakaj do tega pride. V začetku 1700. stoletja je Francis Hauksbee eksperimentalno pokazal, da ožje cevi povzročijo večji kapilarni dvig, leta 1718 pa je James Jurin opisal dvig kot obratno sorazmeren s premerom cevi.

Thomas Young je osnovno fiziko pojasnil v članku iz leta 1805, v katerem je površinsko napetost opredelil kot lastnost tekočine in jo povezal s tlačnimi razlikami na ukrivljenih površinah, čeprav je bila njegova obravnava večinoma opisna. Leta 1806 je Pierre-Simon Laplace z uporabo infinitezimalnega računa izpeljal matematično obliko in neodvisno prišel do iste povezave. Njuno skupno delo je postalo Young-Laplaceova enačba. Poznejši znanstveniki, med njimi Carl Friedrich Gauss in Joseph Plateau, so teorijo preizkušali in razširjali v 1800. letih.

Pogosta vprašanja

Kaj izračuna Young-Laplaceova enačba? Izračuna razliko tlakov prek ukrivljenega vmesnika med dvema tekočinama na podlagi površinske napetosti tekočine in ukrivljenosti vmesnika.

Zakaj je tlak v manjši kapljici višji? Površinska napetost vleče vzdolž roba kapljice, ta vlečna sila pa narašča sorazmerno s polmerom. Površina, na katero mora delovati tlak, narašča s kvadratom polmera. Izenačitev obeh vplivov da $\Delta P = 2\gamma/R$, zato je razlika tlakov obratno sorazmerna s polmerom: če polmer prepolovimo, se razlika tlakov podvoji.

Kako temperatura vpliva na enačbo? Temperatura spreminja vrednost površinske napetosti, ta pa se z naraščanjem temperature zmanjšuje. Pri vodi se površinska napetost zmanjša s približno 0,073 N/m pri 20 °C na približno 0,063 N/m pri 80 °C, kar pomeni zmanjšanje za približno 0,17 mN/m za vsako stopinjo Celzija. Površinska napetost pri sobni temperaturi je večja od površinske napetosti vroče vode, zato uporaba vrednosti pri sobni temperaturi za vroč sistem preceni razliko tlakov.

Ali enačba velja tudi za oblike, ki niso krogle? Da. Splošna oblika z ločenima polmeroma $R_1$ in $R_2$ velja za vsako ukrivljeno površino, vključno z elipsoidi in sedlasto oblikovanimi vmesniki. Samo poenostavljena različica $2\gamma/R$ je omejena na krogle.

Kako se Young-Laplaceova enačba razlikuje od Youngove enačbe? Young-Laplaceova enačba podaja razliko tlakov, ki jo povzroča ukrivljen vmesnik. Youngova enačba, ločena povezava, ki prav tako izvira od Thomasa Younga, podaja kontaktni kot kapljice na mestu, kjer se stika s trdno površino, in sicer na podlagi površinskih energij treh vključenih materialov. Opisujeta različne pojave in se včasih uporabljata skupaj za analizo kapljice na površini.

Kako majhna je lahko kapljica, preden enačba preneha veljati? Enačba ostane natančna do približno 1 mikrometra. Pod približno 10 do 20 nanometrov postanejo dodatne sile, ki jih enačba ne upošteva, vključno z linijsko napetostjo in silami med površinami na molekularni ravni, dovolj velike, da vplivajo na rezultat, zato so potrebni podrobnejši modeli.

Viri

1. Young, T. (1805). »An Essay on the Cohesion of Fluids.« Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P. S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, dodatek k knjigi 10.
3. de Gennes, P. G., Brochard-Wyart, F. in Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A. W. in Gast, A. P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6. izdaja). Wiley-Interscience.