Fisherjev eksaktni test - Brezplačno statistično orodje

Kaj je Fisherjev eksaktni test?

Fisherjev eksaktni test je statistična metoda, ki preverja, ali sta dve kategorični spremenljivki povezani, pri čemer so podatki razporejeni v tabelo 2×2. Izračuna eksaktno verjetnost, imenovano p-vrednost, namesto približka. Zato je uporaben pri majhnem vzorcu.

Test primerja frekvence v dveh vrsticah in dveh stolpcih, na primer bolnike, ki so se zdravili, z nezdravljenimi bolniki glede na to, ali so ozdraveli ali ne. Tabela 2×2 ima štiri celice, običajno označene z A, B, C in D, ter vsote po vrsticah in stolpcih.

Fisherjev eksaktni test v primerjavi s testom hi-kvadrat

Tudi test hi-kvadrat preverja povezavo med dvema kategoričnima spremenljivkama, vendar temelji na približku, ki dobro deluje le, ko so frekvence v celicah dovolj velike. Pogosto uporabljeno pravilo pravi: če je katera koli pričakovana frekvenca v celici tabele manjša od 5, postane približek hi-kvadrat nezanesljiv, zato je primernejša izbira Fisherjev eksaktni test. Fisherjev eksaktni test deluje pri poljubni velikosti vzorca, vendar je matematično eksakten in ne približen, kar je njegova glavna prednost pri majhnih vzorcih.

Kako izračunati Fisherjev eksaktni test

Test uporablja hipergeometrično porazdelitev, ki opisuje verjetnost, da iz skupine izvlečemo določeno število elementov, ne da bi jih vrnili vanjo. Glede na vsote po vrsticah in stolpcih tabele hipergeometrična porazdelitev določa verjetnost vsake posamezne razporeditve štirih frekvenc v celicah.

Formula za verjetnost

Za tabelo s celicami A, B, C in D, vsotama po vrsticah r₁ = A + B in r₂ = C + D, vsotama po stolpcih c₁ = A + C in c₂ = B + D ter skupno velikostjo vzorca n = A + B + C + D je verjetnost te natančne tabele:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Tukaj »!« pomeni faktorial: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Enostranska p-vrednost

Enostranska p-vrednost sešteje verjetnost opazovane tabele in vsake druge tabele z enakimi vsotami po vrsticah in stolpcih, ki kaže enako močno ali močnejšo povezavo v isti smeri. »Smer« se določi s primerjavo celice A z vrednostjo, ki bi jo imela, če spremenljivki ne bi bili povezani; ta vrednost se imenuje pričakovana vrednost: E(A) = r₁c₁ / n.

• Če je A enak E(A) ali večji od njega, je povezava pozitivna, vsota pa zajema vse možne vrednosti celice A od opazovane vrednosti do njene najvišje možne vrednosti.
• Če je A manjši od E(A), je povezava negativna, vsota pa poteka od najnižje možne vrednosti celice A do opazovane vrednosti.

Dvostranska p-vrednost

Dvostranska p-vrednost sešteje verjetnosti vseh možnih tabel z enakimi vsotami po vrsticah in stolpcih, katerih verjetnost je enaka verjetnosti opazovane tabele ali manjša od nje. To zajame skrajne rezultate v obeh smereh, zato je dvostranska p-vrednost običajno večja od enostranske p-vrednosti, izračunane iz iste tabele.

Primer izračuna

V majhnem preskušanju so novo zdravilo prejeli 10 bolnikov, placebo pa 10 drugih bolnikov. Rezultati:

Tukaj je A = 8, B = 2, C = 3, D = 7 in n = 20. Pričakovana vrednost A pri neodvisnosti je E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Ker je 8 večje od 5,5, je povezava pozitivna, zato enostranska vsota poteka od A = 8 do najvišje možne vrednosti A, ki je 10.

Izračun hipergeometričnih verjetnosti za A = 8, 9 in 10 da enostransko p-vrednost približno 0,0349. Če prištejemo verjetnosti vseh tabel (v obeh smereh) z verjetnostjo, ki je enaka verjetnosti opazovane tabele ali manjša od nje, dobimo dvostransko p-vrednost približno 0,0698.

Pri običajnem pragu 0,05 se enostranski rezultat šteje za statistično značilen, dvostranski rezultat pa ne. To kaže, zakaj je izbira vrste testa pomembna: enostranski test je primeren le, kadar je bila smer učinka (v tem primeru izboljšanje izidov zaradi zdravila) napovedana, preden so bili podatki pregledani.

Kdaj uporabiti Fisherjev eksaktni test

Fisherjev eksaktni test se pogosto uporablja pri:

• Kliničnih preskušanjih z majhnim številom bolnikov.
• Preverjanju kakovosti, pri katerem se primerja število napak med dvema proizvodnima serijama.
• Genetskih raziskavah, v katerih se primerja pogostnost neke lastnosti med dvema majhnima skupinama.
• Kateri koli tabeli 2×2, pri kateri je pričakovana frekvenca v celici manjša od 5.

Pogosta vprašanja

Za kaj se uporablja Fisherjev eksaktni test? Preverja, ali sta dve kategorični spremenljivki povezani, pri čemer uporablja frekvence iz tabele 2×2. Pri majhnem vzorcu je pogosto izbran namesto testa hi-kvadrat.

Kdaj je treba uporabiti Fisherjev eksaktni test namesto testa hi-kvadrat? Ko je katera koli pričakovana frekvenca v celici tabele manjša od 5 ali ko je ne glede na velikost vzorca potrebna dodatna gotovost glede eksaktne verjetnosti.

Kakšna je razlika med enostranskimi in dvostranskimi rezultati? Enostranska p-vrednost preverja vnaprej napovedano smer učinka, določeno, preden so bili podatki pregledani. Dvostranska p-vrednost preverja, ali obstaja kakršna koli povezava v katero koli smer. Dvostranska p-vrednost iz iste tabele je običajno večja.

Ali ta kalkulator izračuna razmerje obetov? Ne. Poroča le o eksaktni p-vrednosti. Razmerje obetov za isto tabelo lahko izračunamo ločeno tako, da A × D delimo z B × C.

Ali se lahko Fisherjev eksaktni test uporablja za tabele, večje od 2×2? Tukaj opisana različica je namenjena tabelam 2×2. Za večje tabele je potrebna sorodna metoda, imenovana razširitev Freeman-Halton, ki je na voljo v večini statističnih programov.

Ali se lahko Fisherjev eksaktni test uporablja za parne podatke, na primer meritve istih oseb pred zdravljenjem in po njem? Ne. Predpostavlja dve neodvisni skupini. Za parne kategorične podatke je treba uporabiti McNemarjev test.

Viri

1. Fisher, R. A. (1922). »On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P.« Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G. H. in Halton, J. H. (1951). »Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance.« Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3. izd.). Wiley.