Решење квадратне једначине

Увод

Квадратна једначина је полином другог степена у једној променљивој. У свом стандардном облику, квадратна једначина се пише као:

$ax^2 + bx + c = 0$

где су $a$, $b$ и $c$ реални бројеви, а $a \neq 0$. Члан $ax^2$ се назива квадратни члан, $bx$ је линерни члан, а $c$ је константни члан.

Овај калкулатор вам омогућава да решите квадратне једначине уношењем коефицијената $a$, $b$ и $c$. Користи квадратну формулу за проналажење корена (решења) једначине и пружа јасан, форматиран излаз резултата.

Како користити овај калкулатор

1. Унесите коефицијент $a$ (мора бити различит од нуле)
2. Унесите коефицијент $b$
3. Унесите коефицијент $c$
4. Изаберите жељену прецизност за резултате (број децимала)
5. Кликните на дугме "Решење"
6. Калкулатор ће приказати корене (ако постоје) и додатне информације о природи решења

Формула

Квадратна формула се користи за решавање квадратних једначина. За једначину у облику $ax^2 + bx + c = 0$, решења су дата са:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Члан испод квадратног корена, $b^2 - 4ac$, се назива дискриминанта. Она одређује природу корена:

• Ако је $b^2 - 4ac > 0$, постоје два различита реална корена
• Ако је $b^2 - 4ac = 0$, постоји један реалан корен (поновљени корен)
• Ако је $b^2 - 4ac < 0$, нема реалних корена (два комплексно конјугована корена)

Израчунавање

Калкулатор изводи следеће кораке за решавање квадратне једначине:

1. Валидација уноса:

   • Осигурајте да $a$ није нула
   • Провера да ли су коефицијенти у валидном опсегу (нпр. између -1e10 и 1e10)

2. Израчунати дискриминанту: $\Delta = b^2 - 4ac$

3. Одредити природу корена на основу дискриминанте

4. Ако постоје реални корени, израчунати их користећи квадратну формулу: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

5. Заокружити резултате на одређену прецизност

6. Приказати резултате, укључујући:

   • Природа корена
   • Вредности корена (ако су реални)
   • Једначина у стандардном облику

Валидација уноса и обрада грешака

Калкулатор имплементира следеће провере:

• Коефицијент $a$ мора бити различит од нуле. Ако је $a = 0$, приказује се порука о грешци.
• Сви коефицијенти морају бити валидни бројеви. Ненумерички уноси се одбацују.
• Коефицијенти морају бити у разумном опсегу (нпр. између -1e10 и 1e10) како би се избегле грешке преливања.

Случајеви употребе

Квадратне једначине имају бројне примене у различитим областима:

1. Физика: Описивање пројектилног кретања, израчунавање времена пада објеката и анализа простог хармонијског кретања.

2. Инжењерство: Дизајнирање параболичних рефлектора за осветљење или телекомуникације, оптимизација површине или запремине у грађевинским пројектима.

3. Економија: Моделирање кривих понуде и потражње, оптимизација функција профита.

4. Компјутерска графика: Рендеровање параболичних кривих и површина, израчунавање пресека између геометријских облика.

5. Финансије: Израчунавање сложеног камата, модели за цену опција.

6. Биологија: Моделирање раста популације са ограниченим факторима.

Алтернативе

Док је квадратна формула моћан алат за решавање квадратних једначина, постоје алтернативне методе које могу бити прикладније у одређеним ситуацијама:

1. Факторисање: За једначине са целим коефицијентима и једноставним рационалним коренима, факторисање може бити брже и пружити више увида у структуру једначине.

2. Завршавање квадрата: Ова метода је корисна за извођење квадратне формуле и за трансформацију квадратних функција у облик врха.

3. Графичке методе: Планирање квадратне функције и проналажење њених x-осека може пружити визуелно разумевање корена без експлицитног израчунавања.

4. Нумеричке методе: За веома велике коефицијенте или када је потребна висока прецизност, нумеричке методе као што је Нјутнов-Рафсонова метода могу бити стабилније.

Историја

Историја квадратних једначина датира из древних цивилизација:

• Вавилонци (ок. 2000. п. н. е.): Решавали су специфне квадратне једначине користећи технике које су еквивалентне завршавању квадрата.
• Древни Грци (ок. 400. п. н. е.): Геометријски решавали квадратне једначине.
• Индијски математичари (ок. 600. н. е.): Брахмагупта је дао прву експлицитну формулу за решавање квадратних једначина.
• Исламско златно доба (ок. 800. н. е.): Ал-Хваризми је систематски решавао квадратне једначине користећи алгебарске методе.
• Ренесанса у Европи: Генерално алгебарско решење (квадратна формула) постало је широко познато и коришћено.

Модерна форма квадратне формуле окончана је у 16. веку, иако су њене компоненте биле познате много раније.

Примери

Ево примера кода за решавање квадратних једначина у различитим програмским језицима:

1' Excel VBA функција за решавање квадратне једначине
2Function SolveQuadratic(a As Double, b As Double, c As Double) As String
3    Dim discriminant As Double
4    Dim x1 As Double, x2 As Double
5    
6    discriminant = b ^ 2 - 4 * a * c
7    
8    If discriminant > 0 Then
9        x1 = (-b + Sqr(discriminant)) / (2 * a)
10        x2 = (-b - Sqr(discriminant)) / (2 * a)
11        SolveQuadratic = "Два реална корена: x1 = " & x1 & ", x2 = " & x2
12    ElseIf discriminant = 0 Then
13        x1 = -b / (2 * a)
14        SolveQuadratic = "Један реалан корен: x = " & x1
15    Else
16        SolveQuadratic = "Нема реалних корена"
17    End If
18End Function
19' Употреба:
20' =SolveQuadratic(1, 5, 6)
21

1import math
2
3def solve_quadratic(a, b, c):
4    discriminant = b**2 - 4*a*c
5    if discriminant > 0:
6        x1 = (-b + math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
7        x2 = (-b - math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
8        return f"Два реална корена: x₁ = {x1:.2f}, x₂ = {x2:.2f}"
9    elif discriminant == 0:
10        x = -b / (2*a)
11        return f"Један реалан корен: x = {x:.2f}"
12    else:
13        return "Нема реалних корена"
14
15# Пример употребе:
16print(solve_quadratic(1, 5, 6))
17

1function solveQuadratic(a, b, c) {
2  const discriminant = b * b - 4 * a * c;
3  if (discriminant > 0) {
4    const x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
5    const x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
6    return `Два реална корена: x₁ = ${x1.toFixed(2)}, x₂ = ${x2.toFixed(2)}`;
7  } else if (discriminant === 0) {
8    const x = -b / (2 * a);
9    return `Један реалан корен: x = ${x.toFixed(2)}`;
10  } else {
11    return "Нема реалних корена";
12  }
13}
14
15// Пример употребе:
16console.log(solveQuadratic(1, 5, 6));
17

1public class QuadraticSolver {
2    public static String solveQuadratic(double a, double b, double c) {
3        double discriminant = b * b - 4 * a * c;
4        if (discriminant > 0) {
5            double x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
6            double x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
7            return String.format("Два реална корена: x₁ = %.2f, x₂ = %.2f", x1, x2);
8        } else if (discriminant == 0) {
9            double x = -b / (2 * a);
10            return String.format("Један реалан корен: x = %.2f", x);
11        } else {
12            return "Нема реалних корена";
13        }
14    }
15
16    public static void main(String[] args) {
17        System.out.println(solveQuadratic(1, 5, 6));
18    }
19}
20

Нумерички примери

1. Два реална корена:

   • Једначина: $x^2 + 5x + 6 = 0$
   • Коефицијенти: $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$
   • Резултат: Два реална корена: $x_1 = -2.00$, $x_2 = -3.00$

2. Један реалан корен (поновљени):

   • Једначина: $x^2 + 4x + 4 = 0$
   • Коефицијенти: $a = 1$, $b = 4$, $c = 4$
   • Резултат: Један реалан корен: $x = -2.00$

3. Нема реалних корена:

   • Једначина: $x^2 + x + 1 = 0$
   • Коефицијенти: $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$
   • Резултат: Нема реалних корена

4. Велики коефицијенти:

   • Једначина: $1000000x^2 + 5000000x + 6000000 = 0$
   • Коефицијенти: $a = 1000000$, $b = 5000000$, $c = 6000000$
   • Резултат: Два реална корена: $x_1 = -1.00$, $x_2 = -4.00$

Графикон квадратних функција

Графикон квадратне функције $f(x) = ax^2 + bx + c$ је парабола. Корени квадратне једначине одговарају x-осекама ове параболе. Кључне тачке на графику укључују:

• Врх: Највиша или најнижа тачка параболе, дата са $(-b/(2a), f(-b/(2a)))$
• Оса симетрије: Вертикална линија која пролази кроз врх, дата са $x = -b/(2a)$
• y-осека: Тачка у којој парабола прелази y-осеку, дата са $(0, c)$

Смер и ширина параболе одређени су коефицијентом $a$:

• Ако је $a > 0$, парабола се отвара нагоре
• Ако је $a < 0$, парабола се отвара надоле
• Веће апсолутне вредности $a$ резултирају у ужим параболама

Разумевање графика може пружити увид у природу и вредности корена без експлицитног израчунавања.

Референце

1. Веисштајн, Ерик В. "Квадратна једначина." Из MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html
2. "Квадратна једначина." Википедија, Фондација Викимедија, https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation
3. Ларсон, Рон, и Брус Едвардс. Калацулус. 10. издање, Cengage Learning, 2014.
4. Стјуарт, Џејмс. Калацулус: Рани трансцендентали. 8. издање, Cengage Learning, 2015.
5. "Историја квадратне једначине." ThoughtCo, https://www.thoughtco.com/history-of-the-quadratic-equation-3126340