Калкулатор квадратних једначина - Израчунавање корена ax² + bx + c = 0

Шта је квадратна једначина?

Квадратна једначина је једначина облика $ax^2 + bx + c = 0$, где су $a$, $b$ и $c$ бројеви, а $a$ није једнако нули. Решавач квадратних једначина на овој страници проналази вредност или вредности $x$ које чине једначину тачном, користећи коефицијенте $a$, $b$ и $c$ које корисник унесе.

Ако би $a$ било једнако нули, члан $x^2$ би нестао и једначина би постала линеарна уместо квадратна. Зато калкулатор захтева $a \neq 0$ и приказује грешку ако је $a = 0$.

Квадратна формула

Свака квадратна једначина у облику $ax^2 + bx + c = 0$ може се решити квадратном формулом:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Знак $\pm$ означава два одвојена израчунавања: једно са знаком плус и једно са знаком минус. Зато квадратна једначина може имати два различита решења.

Израз испод квадратног корена, $b^2 - 4ac$, назива се дискриминанта. Обично се записује као $\Delta$ (грчко слово делта). Сама дискриминанта показује колико једначина има реалних решења, пре него што се обави остатак израчунавања.

Како израчунати корене

1. Запишите једначину у стандардном облику, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Одредите коефицијенте $a$, $b$ и $c$.
3. Израчунајте дискриминанту: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Ако је $\Delta$ позитивна, израчунајте оба корена помоћу $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Ако је $\Delta$ једнака нули, израчунајте једини корен помоћу $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Ако је $\Delta$ негативна, једначина нема реалне корене, јер негативан број нема реалан квадратни корен.

Калкулатор на овој страници аутоматски обавља ове кораке. Прихвата коефицијенте између $-10^{10}$ и $10^{10}$ и заокружује резултате на изабрани број децималних места, од 0 до 10.

Шта дискриминанта значи

Овај калкулатор приказује „нема реалних корена“ када је $\Delta$ негативна. Не израчунава комплексне корене (бројеве који садрже $i = \sqrt{-1}$).

Решени пример

Решите $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Овде је $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Најпре израчунајте дискриминанту:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Пошто је $\Delta$ позитивна, једначина има два реална корена:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

То се може проверити факторизацијом: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, што је једнако нули када је $x = -2$ или $x = -3$.

Други пример показује негативну дискриминанту. За $x^2 + x + 1 = 0$ важи $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, па је $\Delta = 1 - 4 = -3$. Пошто је $\Delta$ негативна, једначина нема реалне корене.

Парабола, теме и оса симетрије

График функције $f(x) = ax^2 + bx + c$ је крива која се назива парабола. Ако је $a$ позитивно, парабола је отворена нагоре и има најнижу тачку. Ако је $a$ негативно, отворена је надоле и има највишу тачку. Та најнижа или највиша тачка је теме.

Теме се налази у:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Вертикална права кроз теме, $x = -\dfrac{b}{2a}$, назива се оса симетрије, јер се две половине параболе огледају једна у односу на другу преко ње. Реални корени једначине су тачке у којима парабола пресеца x-осу, па се налазе са обе стране осе симетрије, на једнаком растојању од ње.

Калкулатор црта ову параболу поред резултата. На кривој означава теме и све реалне корене, а по потреби проширује приказани опсег тако да сваки корен остане видљив.

Где се користе квадратне једначине

Квадратне једначине описују многе појаве у стварном свету. У физици, висина бачена тела током времена прати једначину $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, а њеним решавањем по $t$ добија се време када тело пада на тло. У инжењерству се параболични облици појављују код сателитских антена и каблова мостова због начина на који усмеравају или расподељују силу. У рачунарској графици, програми за трасирање зрака решавају квадратне једначине да би одредили где права пресеца сферу.

Кратка историја

Вавилонски математичари су решавали специфичне квадратне проблеме око 2000. године пре нове ере, користећи геометријске методе уместо алгебре. Грчки математичари, попут Еуклида, такође су геометријски обрађивали квадратне једначине. Око 600. године нове ере, индијски математичар Брамагупта дао је експлицитну формулу за корене, укључујући негативна решења. Око 800. године нове ере, персијски математичар ел Хорезми описао је систематске методе за решавање квадратних једначина у књизи чији је наслов довео до речи „алгебра“. Савремени симболички облик квадратне формуле постао је стандард касније, са развојем алгебарске нотације током ренесансе.

Најчешће постављана питања

Шта се дешава ако за коефицијент a унесем 0? Калкулатор приказује грешку, јер $a = 0$ претвара једначину у линеарну, $bx + c = 0$, која се решава другачије.

Зашто једначина понекад нема реалне корене? То се дешава када је дискриминанта, $b^2 - 4ac$, негативна. Негативан број нема реалан квадратни корен, па формула не може да да реалну вредност за $x$. Једначина и даље има два комплексна корена, али овај калкулатор их не израчунава.

Која је разлика између корена и решења? Никаква. Обе речи се односе на вредност $x$ која чини да једначина буде једнака нули. „Корен“ се односи на место где график пресеца x-осу, а „решење“ на алгебарски приступ.

Колико децималних места могу да изаберем? Између 0 и 10. Два или три децимална места обично су довољна за свакодневне проблеме.

Могу ли да унесем веома велике коефицијенте? Коефицијенти морају бити између $-10^{10}$ и $10^{10}$. Вредности изван тог опсега могу изазвати грешке заокруживања и биће одбијене.

Може ли овај калкулатор да пронађе комплексне корене? Не. Када је дискриминанта негативна, приказује „нема реалних корена“ уместо да израчунава комплексне бројеве.

Литература

1. Квадратна једначина – MathWorld
2. Дигитална библиотека математичких функција NIST, §1.11, Алгебра: квадратна једначина