Hypotenuseräknare - Pythagoreisk teorem-verktyg

Hypotenusberäknare

En hypotenusberäknare räknar ut längden på den längsta sidan i en rätvinklig triangel, som kallas hypotenusan. Den använder Pythagoras sats, en regel som knyter samman de tre sidorna i en rätvinklig triangel.

Vad är hypotenusan?

En rätvinklig triangel har en vinkel på 90 grader, som bildas där två sidor möts i ett hörn med räta vinklar. Dessa två sidor kallas kateter. Den tredje sidan, mittemot den räta vinkeln, är hypotenusan. Den är alltid triangelns längsta sida.

Formeln för Pythagoras sats

Pythagoras sats säger att kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på de två kateterna.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

• c är hypotenusan
• a och b är de två kateterna

Om man vill hitta en okänd katet i stället för hypotenusan kan formeln omformas:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Satsen är uppkallad efter den grekiske matematikern Pythagoras, som levde omkring 570 till 495 f.Kr. Sambandet var känt redan tidigare. Babyloniska lertavlor från omkring 1800 f.Kr. visar att babyloniska matematiker redan använde det, mer än tusen år före Pythagoras.

Så beräknas hypotenusan

Följ fyra steg för att hitta hypotenusan för hand.

1. Kvadrera längden på sida A (multiplicera den med sig själv).
2. Kvadrera längden på sida B.
3. Addera de två kvadrerade värdena.
4. Beräkna kvadratroten ur summan.

Beräknaren på den här sidan utför samma fyra steg. Välj ”Hitta hypotenusan”, ”Hitta sida A” eller ”Hitta sida B” i menyn och ange sedan de två kända längderna. Resultatet uppdateras så snart giltiga tal har angetts och avrundas till två decimaler.

Båda sidorna måste anges i samma måttenhet, till exempel tum eller meter. Beräknaren omvandlar inte mellan enheter, så ett värde i fot och ett värde i tum ger inget meningsfullt resultat tillsammans.

Räkneexempel

En rätvinklig triangel har en sida A på 3 fot (0,91 m) och en sida B på 4 fot (1,2 m).

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5,00 fot (1,52 m)

Mönstret 3-4-5 är en genväg som snickare använder för att kontrollera att ett hörn är rätvinkligt. Mät 3 fot längs den ena kanten och 4 fot längs den vinkelräta kanten. Det diagonala avståndet mellan dessa två punkter ska vara exakt 5 fot. Alla multipler av mönstret fungerar på samma sätt, till exempel 6-8-10 eller 30-40-50.

Ett annat exempel använder decimalvärden. En rätvinklig triangel har en sida A på 2,5 tum (6,35 cm) och en sida B på 6,8 tum (17,3 cm).

c = √(2,5² + 6,8²) = √(6,25 + 46,24) = √52,49 ≈ 7,24 tum (18,4 cm)

Storleken på tv-apparater och bildskärmar mäts på det här sättet. Den angivna skärmstorleken är diagonalen, som är hypotenusan i den rektangel som bildas av skärmens bredd och höjd.

Hitta en okänd sida

Om hypotenusan och en katet redan är kända kan beräknaren hitta den andra kateten. Välj ”Hitta sida A” eller ”Hitta sida B” och ange sedan hypotenusan och den kända kateten.

Exempelvis har en rätvinklig triangel en hypotenusa på 10 meter och en sida B på 6 meter.

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8,00 meter

Hypotenusan måste alltid vara längre än endera kateten, eftersom den är triangelns längsta sida. Om ett värde som anges för hypotenusan inte är större än den kända kateten visar beräknaren ett fel i stället för ett resultat, eftersom en sådan rätvinklig triangel inte existerar.

Vanliga användningsområden

Pythagoras sats används när ett rakt diagonalt avstånd behöver beräknas utifrån två vinkelräta mätningar.

• Byggnad och snickeri: kontroll av att ett hörn i en stomme eller vägg är rätvinkligt samt beräkning av längden på takstolar eller vangstycken i trappor.
• Mätning: omvandling av horisontella och vertikala avstånd till ett direkt avstånd i siktlinjen.
• Navigation och datorgrafik: avståndsformeln för två punkter i ett koordinatsystem, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], är samma sats tillämpad på koordinater.
• Utbildning: det är ett av de första geometriska bevisen som de flesta elever möter och kan kontrolleras med enkla heltalsexempel som 3-4-5 eller 5-12-13.

Satsen gäller endast för rätvinkliga trianglar. För en triangel utan en vinkel på 90 grader används i stället cosinussatsen.

Vanliga frågor och svar

Vilken är formeln för hypotenusan? c = √(a² + b²), där a och b är de två kateterna i en rätvinklig triangel och c är hypotenusan.

Kan detta användas för trianglar utan en rät vinkel? Nej. Pythagoras sats gäller endast för rätvinkliga trianglar. För en triangel utan en vinkel på 90 grader krävs i stället cosinussatsen.

Vad är regeln 3-4-5? Det är en genväg för att kontrollera ett rätvinkligt hörn. Om den ena sidan mäter 3 enheter, den intilliggande vinkelräta sidan mäter 4 enheter och diagonalen mellan deras ändpunkter mäter 5 enheter, är hörnet rätvinkligt. Alla multipler av 3-4-5, till exempel 6-8-10 eller 30-40-50, fungerar på samma sätt.

Måste båda sidorna anges i samma måttenhet? Ja. Båda kateterna måste anges i samma enhet, till exempel båda i fot eller båda i meter. Om enheter blandas, till exempel fot och tum, blir resultatet matematiskt korrekt men saknar fysisk betydelse.

Varför visar beräknaren ett fel för vissa kombinationer av hypotenusa och katet? Hypotenusan är alltid den längsta sidan i en rätvinklig triangel. Om värdet som anges för hypotenusan inte är större än den kända kateten finns ingen giltig rätvinklig triangel, så beräknaren visar ett fel i stället för ett resultat.

Hur många decimaler visar resultatet? Två. Beräknaren behåller full precision internt under beräkningen och avrundar endast det tal som visas.

Är detta samma sak som avståndsformeln? Ja. Avståndsformeln i koordinatgeometri, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], är Pythagoras sats tillämpad på två punkter i ett koordinatsystem. Det horisontella och vertikala avståndet mellan punkterna bildar de två kateterna i en rätvinklig triangel.