மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசை உருவாக்கி

மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசை என்றால் என்ன?

மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசை 4 இன் வெவ்வேறு அளவுகளின் கூட்டுத் தொகையாக வெளிப்படுத்தக்கூடிய எண்களைக் கொண்டது. கணிதவியலாளர்கள் லியோ மோசர் மற்றும் நிகோலாஸ் கோவெர்ட் டி பிரூஜின் பெயரில் அழைக்கப்படும் இந்த வரிசை தொடங்குகிறது: 0, 1, 4, 5, 16, 17, 20, 21, 64, 65, 68, 69, 80, 81, 84, 85...

இந்த வரிசையில் என்ன சுவாரஸ்யமானது? நீங்கள் எந்தவொரு பதத்தையும் அடிப்பகை 4 இல் எழுதினால், நீங்கள் மட்டுமே 0 மற்றும் 1 இலக்கங்களைப் பார்ப்பீர்கள் - 2 அல்லது 3 இல்லை. இதன் பொருள் ஒவ்வொரு எண்ணும் 4 இன் அளவுகளைக் கூட்டி உருவாக்கப்பட்டுள்ளது (4⁰, 4¹, 4², 4³ போன்ற), அங்கு ஒவ்வொரு அளவும் ஒரு முறை மட்டுமே அல்லது எதுவுமில்லை.

ஒரு நடைமுறை உதாரணம்: 21 எண் வரிசையில் தோன்றுகிறது ஏனெனில் அது 16 + 4 + 1 ஆகும், இது 4² + 4¹ + 4⁰. அடிப்பகை 4 இல் இது "111" என்று எழுதப்படுகிறது - 0 மற்றும் 1 மட்டுமே. இதை 22 உடன் ஒப்பிடுங்கள், அது அதன் அடிப்பகை-4 பிரதிநிதித்துவத்தில் "2" தேவைப்படும் (122), எனவே அது தேர்வு செய்யப்படவில்லை.

வரிசை கூட்டுத் தொகை எண் தத்துவம், கலப்பு எண் தத்துவம் மற்றும் கூட்டு-இலவச தொகுப்புகள் பற்றிய ஆராய்ச்சியில் தோன்றுகிறது. இதை இருமித் தொகுதியின் ஒரு 4 அடிப்பகை உறவாக நினைத்துக் கொள்ளுங்கள் - 2 இன் அளவுகளுக்கு பதிலாக, நீங்கள் 4 இன் அளவுகளுடன் வேலை செய்கிறீர்கள். இது பெரும்பாலான முழு எண்கள் தவிர்க்கப்பட்ட மிகக் குறைந்த வரிசையை உருவாக்குகிறது.

மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசை உருவாக்கி பயன்படுத்தும் முறை

இந்த உருவாக்கியைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் எளிது:

நீங்கள் வேண்டிய தொடர் எண்ணிக்கையை உள்ளிடவும் (வெற்றாக விட்டால் இயல்புநிலையாக 20 வரங்கள்)
வரிசையை கணக்கிட "உருவாக்கு" பொத்தானை சொடுக்கவும்
உங்கள் முடிவுகள் உடனடியாக கீழே பட்டியலில் தோன்றும்
வேறு எண்கள் வேண்டுமா? மாற்றத்தக்க உள்ளீட்டை மாற்றி மீண்டும் உருவாக்கவும்

கணக்கீடுகள் முற்றிலும் உங்கள் உலாவியில் JavaScript பயன்படுத்தி நடைபெறுகின்றன, எனவே சேவையக தாமதமோ இணைய சார்பின்மையோ இல்லை - இது வேகமாகவும் இணைய இல்லாமலும் வேலை செய்கிறது.

உள்ளீட்டு சரிபார்ப்பு மற்றும் வரம்புகள்

உருவாக்கி பிழைகளைத் தடுக்க உள்ளீட்டைச் சரிபார்க்கிறது:

நேர்மறை முழு எண் இருக்க வேண்டும் (தசம்ச அல்லது எதிர்மறை மதிப்புகள் கூடாது)
உலாவி மெதுவடைவதைத் தடுக்க அதிகபட்சம் 1000 வரங்கள்
எண் அல்லாத உள்ளீடுகள் பிழை செய்தியைத் தூண்டும்
வெற்றாக விட்டால் இயல்புநிலையாக 20 வரங்கள் கிடைக்கும்

ஏன் 1000 வரங்கள் வரம்பு? கணித்தல் முறை திறமையாக இருந்தாலும், ஆயிரக்கணக்கான வரங்கள் உலாவி நினைவகத்தைக் கட்டுப்படுத்தலாம், குறிப்பாக மொபைல் சாதனங்களில். நடைமுறையில், பெரும்பாலான கணித பகுப்பாய்வு அல்லது கல்வி நோக்கங்களுக்கு 100-200 வரங்கள் மட்டுமே தேவைப்படும்.

மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசை வாய்ப்பாட்டைப் புரிந்துகொள்ளல்

மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசையை மூன்று சமதுல்ய வழிகளில் வரையறுக்கலாம், ஒவ்வொன்றும் வெவ்வேறு அறிவுக்கூர்மைகளைக் கொடுக்கிறது:

வரிசையை வரையறுக்கும் மூன்று வழிகள்

கூட்டல் வடிவம் (4-இன் அடுக்குகள்): ஒரு எண் n வரிசையில் இருக்கும் போது நீங்கள் அதை இவ்வாறு எழுதலாம்: $n = \sum_{i \in S} 4^i$ இங்கு S எதிர்மறையற்ற முழு எண்களின் தொகுப்பு. ஒவ்வொரு 4-இன் அடுக்கும் ஒரு முறை மட்டுமே தோன்றலாம் - மீண்டும் தோன்றக்கூடாது.

வடிவம்-4 பிரதிநிதித்துவம் (மிகச் சுலப தேர்வு): ஒரு எண்ணை வடிவம்-4 ஆக மாற்றவும். நீங்கள் 0 மற்றும் 1 மட்டுமே பார்த்தால் (2 அல்லது 3 இல்லை), அது வரிசையில் உள்ளது. இது கைமுறையாக உறுப்பினர் தன்மையைச் சரிபார்க்கும் மிகத் துரிதமான வழி.

பைனரி தொடர்பு (கணக்கிடுவதற்கு மிகப் பயனுள்ளது): n-வது பதத்தைக் கண்டறிய (n=0 இலிருந்து): $M(n) = \sum_{i=0}^{k} b_i \cdot 4^i$ இங்கு $b_i$ n-இன் பைனரி இலக்கங்கள். விளக்கம்: உங்கள் குறியீட்டின் பைனரி வடிவத்தை எடுத்து, ஒவ்வொரு "1" பிட்டையும் பொருந்தும் 4-இன் அடுக்குகளால் மாற்றவும்.

வேலை செய்யும் எடுத்துக்காட்டுகள்

இந்த வரையறைகள் எவ்வாறு வேலை செய்கின்றன என்பதைப் பார்ப்போம்:

n = 0 (பைனரி: 0) → M(0) = 0
n = 1 (பைனரி: 1) → M(1) = 4⁰ = 1
n = 2 (பைனரி: 10) → M(2) = 4¹ = 4
n = 3 (பைனரி: 11) → M(3) = 4¹ + 4⁰ = 5
n = 5 (பைனரி: 101) → M(5) = 4² + 4⁰ = 17

பைனரி தொடர்பு முறை இந்த உருவாக்கியின் அடிப்படையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது - பிட்-வழி செயல்பாடுகள் வேகமாக இருப்பதால் இது கணக்கீட்டு ரீதியாக திறமையானது.

மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசையை கணக்கிடுதல்

ஜெனரேட்டரின் பின்னணி அல்கரிதம்

ஜெனரேட்டர் மிகவும் வேகமாகவும் தெளிவாகவும் இருப்பதால் பைனரி தொடர்பைப் பயன்படுத்துகிறது:

படிப்படியான செயல்முறை:

0 முதல் n-1 வரை ஒவ்வொரு குறியீட்டிலும் சுழற்சி (n என்பது நீங்கள் கோரிய தொடர் எண்ணிக்கை)
குறியீட்டிற்கு, அதன் பைனரி பிரதிநிதித்துவத்தைப் பார்க்கவும்
ஒவ்வொரு "1" பிட் நிலையிலும் j, 4^j ஐ தொடர்ந்து மொத்தத்தில் சேர்க்கவும்
அந்த கூடுதல் i-வது தொடரின் மதிப்பாகும்

நடைமுறை எடுத்துக்காட்டு: 6வது தொடரைக் கண்டறிதல் (குறியீடு 5)

M(5) ஐ படிப்படியாகக் கணக்கிடுவோம்:

பைனரியில் குறியீடு 5: 101
பிட் 0 (வலது மிக்க) = 1 → 4⁰ = 1 சேர்
பிட் 1 (நடுவில்) = 0 → எதுவும் சேர்க்காதே
பிட் 2 (இடது மிக்க) = 1 → 4² = 16 சேர்
இறுதி முடிவு: 1 + 16 = 17

இந்த முறை நன்கு அளவிடக்கூடியது. பெரிய குறியீடுகளுக்கு, நீங்கள் அடிப்படையில் பிட் மாற்றம் மற்றும் கூட்டலைச் செய்கிறீர்கள் - நவீன பிரொசெசர்கள் மிகவும் வேகமாக நிகழ்த்தும் செயல்பாடுகள்.

வரிசையில் ஒரு எண் இருக்கிறதா என்பதைச் சோதிக்கும் முறை

ஒரு குறிப்பிட்ட எண் மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசையில் உள்ளதா என்பதைச் சோதிக்க, அடிப்பது 4 சோதனையைப் பயன்படுத்தவும்:

உங்கள் எண்ணை அடிப்பது 4 ஆக மாற்றவும்
இலக்கங்களைப் பார்க்கவும் - 0 மற்றும் 1 மட்டுமே தெரிகிறதா?
ஆம் என்றால், அது வரிசையில் உள்ளது. 2 அல்லது 3 தெரிந்தால், அது இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு: 85 வரிசையில் உள்ளதா?

85 அடிப்பது 4: 1111 (அதாவது 64 + 16 + 4 + 1)
1 மட்டுமே உள்ளது → ஆம், 85 வரிசையில் உள்ளது

மாற்று எடுத்துக்காட்டு: 90 வரிசையில் உள்ளதா?

90 அடிப்பது 4: 1122
2 இலக்கம் உள்ளது → இல்லை, 90 வரிசையில் இல்லை

ஜெனரேட்டர் இதை JavaScript இன் பிட்வைஸ் ஆப்பரேட்டர்கள் பயன்படுத்தி நிறைவேற்றுகிறது, இவை மொழிக்கு மூல மற்றும் நவீன வலைத்தளங்களில் மிகவும் மேம்படுத்தப்பட்டவை.

அலகுகள் மற்றும் துல்லியம் பற்றி என்ன?

மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசை சுத்த முழு எண்களைக் கையாளுகிறது:

அனைத்து தொடர்கள் எதிர்மறையற்ற முழு எண்கள் (0, 1, 4, 5, 16 முதலியன)
அலகுகள் இல்லை, தசமங்கள் அல்லது வட்டமில்லை
முடிவுகள் கணிதப்பூர்வமாக துல்லியமானவை - ஒவ்வொரு முறையும் துல்லிய முழு எண்கள்
வளர்ச்சி அதிவேக வளர்ச்சி: n-வது தொடர் தோராயமாக 4^(⌊log₂(n)⌋+1) - 1 வரை அடையலாம்

இந்த அதிவேக வளர்ச்சி வரிசை வேகமாக பெரிதாகிறது. 20வது தொடர் ஏற்கனவே 340 ஆகும், மேலும் 100வது தொடரில் நீங்கள் மில்லியன் கணக்கிலான எண்களைக் கையாளுகிறீர்கள்.

உண்மை உலக பயன்பாடுகள் மற்றும் பயன்முறைகள்

கல்வி மற்றும் கற்றல்

எண் அமைப்புகளைக் கற்றல்: நான் வகுப்பறைகளில் இதைப் பயன்படுத்தியிருக்கும்போது, மாணவர்கள் மோசர்-டி பிரூயின் வரிசையைக் கையாள முடிந்ததும் அடிப்படை மாற்றங்களைப் பற்றி வேகமாகப் புரிந்துகொள்கிறார்கள். இது இருமை (அடிப்படை 2) மற்றும் மிகக் கடினமான எண் அமைப்புகளுக்கு இடையே பாலமாக செயல்படுகிறது. மாணவர்கள் உடனடியாக அடிப்படையை மாற்றுவது வரிசையின் அடர்த்தியை எவ்வாறு மாற்றுகிறது என்பதைப் பார்க்கிறார்கள்.

பிட் தொடர்பான செயல்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்ளல்: கணினி அறிவியல் மாணவர்கள் இருமை பிரதிநிதித்துவம் மற்றும் கணித வரிசைகளுக்கு இடையேயான நேரடி இணைப்பைப் பார்க்கிறார்கள். இந்த வழிமுறை பிட் கையாளுதல் எவ்வாறு உண்மையான கணித பொருட்களுக்கு மொழிபெயர்க்கப்படுகிறது - வெறும் சுருக்கமான செயல்பாடுகள் மட்டுமல்ல.

ஆராய்ச்சி மற்றும் பகுப்பாய்வு

கூட்டுப்பெருக்கம் மற்றும் கூட்டு-இலவச தொகுப்புகள்: கூட்டுப் அடிப்படைகளை ஆராய்ந்த ஆய்வாளர்கள் தனித்தன்மையான பிரதிநிதித்துவங்கள் கொண்ட தொகுப்புகளை ஆய்கிறார்கள். மோசர்-டி பிரூயின் வரிசை ஒவ்வொரு பிரதிநிதித்துவமுடைய எண்ணுக்கும் ஒரே பிரதிநிதித்துவம் உள்ள தொகுப்பின் எடுத்துக்காட்டாகும்.

கூட்டுப் எண் கோட்பாடு: வரிசை தொகைகளை சேர்க்கைகளாக எவ்வாறு பிரிக்க முடியும் என்பதைப் பற்றிய கேள்விகளை ஆராய்கிறது. ஆன்லைன் முழு எண் வரிசைகள் கொளஞ்சியம் (OEIS) இல் A000695 என்ற வகையில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளது.

நடைமுறை நிரலாக்கம்

வழிமுறை வடிவமைப்பு: தொகுப்பு உருவாக்கும் வழிமுறை திறமையான தொகுப்பு கட்டமைப்பைக் காட்டுகிறது. மிகக் குறைந்த கணக்கீட்டு மேலோட்டத்துடன் பல்லாயிரக்கணக்கான பதங்களை நீங்கள் உருவாக்க முடியும், இது வழிமுறை மதிப்பீடு அல்லது திறமையான கோட் மாதிரிகளைக் கற்பிக்கப் பயன்படுகிறது.

மாதிரி அடையாளம் கண்டறிதல் பணிகள்: தனித்தன்மை வாய்ந்த முழு எண் தொகுப்புகள் அல்லது தரவு சுருக்கீட்டு திட்டங்களுடன் வேலை செய்யும்போது, மோசர்-டி பிரூயின் வரிசைகள் எவ்வாறு நடந்துகொள்கின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்வது குறியீட்டு தந்திரங்கள் பற்றிய வடிவமைப்பு முடிவுகளை அறிய உதவுகிறது.

தொடர்புடைய கணிதப் தொடர்கள்

மோசர்-டி பிரூஜின் தொடர் உங்களுக்கு ஆர்வமாக இருந்தால், இந்தத் தொடர்புடைய தொடர்கள் வேறு அடிப்படைகள் அல்லது கட்டுப்பாடுகளுடன் ஒத்த மாதிரிகளைக் கொடுக்கின்றன:

நேரடி உறவினர்கள்

2 இன் அடுக்குகள் (OEIS A000079): 1, 2, 4, 8, 16, 32... மிகச் சுலபமான கூட்டல் அடிப்படை. ஒவ்வொரு 2 இன் அடுக்கும் சரியாக ஒரு முறை தோன்றி, இருமப் பிரிவின் அடிப்படை கட்டமைப்புகளை உருவாக்குகிறது.

அனைத்து நேர்மறை முழு எண்கள் (இருமச் சேர்க்கை): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... நீங்கள் வெவ்வேறு 2 இன் அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகையை அனுமதிக்கும்போது, நீங்கள் ஒவ்வொரு சாத்திய முழு எண்ணையும் பெறுகிறீர்கள்—அதுதான் இருமப் பிரிவு செய்வது.

3 இன் வெவ்வேறு அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை (OEIS A005836): 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13... மோசர்-டி பிரூஜின் தொடருக்கு ஒத்த கருத்து, ஆனால் 4 இன் பதிலாக 3 இன் அடுக்குகளைப் பயன்படுத்தி. இவை அந்தத் தரத்தில் வெறும் 0 மற்றும் 1 மட்டுமே கொண்ட எண்கள்.

சுவாரஸ்யமான மாற்றங்கள்

பிப்பைனரி எண்கள் (OEIS A003714): 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10... அவற்றின் இருமப் பிரிவில் தொடர்ச்சியான 1 இல்லாத எண்கள். பிபோனாச்சி எண் அமைப்புகள் மற்றும் செக்கெண்டோர்ஃப் தேற்றத்துடன் தொடர்புடையது.

ஸ்டான்லி தொடர்: மோசர்-டி பிரூஜின் தொடருக்கு 3 ஆம் அடிப்படையில் ஒத்த—அவற்றின் 3 ஆம் அடிப்படைப் பிரிவில் 1 இல்லாத எண்கள் (வெறும் 0 மற்றும் 2 மட்டுமே அனுமதிக்கப்பட்டன).

மேலும் அறிய

ஆன்லைன் முழு எண் தொடர்கள் கொட்டகம் (OEIS) பல லட்சம் தொடர்களைக் கொட்டகப்படுத்துகிறது. "கூட்டல் அடிப்படை", "கூட்டல் இல்லாத தொகுப்பு" அல்லது "வெவ்வேறு அடுக்குகள்" போன்ற சொற்களைத் தேடி தொடர்புடைய தொடர்களைக் கண்டறியவும். மோசர்-டி பிரூஜின் தொடர் தானே OEIS தரவுத்தளத்தில் A000695 ஆகும்.

வரலாற்று பின்னணி

வரிசையின் பின்னிலை கணிதவியலாளர்கள்

லியோ மோசர் (1921-1970) மற்றும் நிகோலாஸ் கோவெர்ட் டி பிரூய்ன் (1918-2012) இருவரும் வெவ்வேறு பின்னணிகளிலிருந்து வந்தாலும் கணிதத்திற்கு நிலையான பங்களிப்பைச் செய்தனர். மோசர், ஆஸ்திரிய-கனடிய கணிதவியலாளர், எண் சித்தாந்தம், கூட்டமைப்பியல் மற்றும் வடிவியலில் விரிவாக பணிபுரிந்தார் - எர்டோஸ்-மோசர் சமன்பாட்டிலிருந்து அவரது பெயரை நீங்கள் அறிந்திருக்கலாம். டி பிரூய்ன், ஒரு டச் கணிதவியலாளர், கூட்டமைப்பியல், வரைப்பட சித்தாந்தம் மற்றும் கணினி அறிவியலில் தனது அடையாளத்தை விட்டுச் சென்றார். அவரது டி பிரூய்ன் வரிசைகள் (இதிலிருந்து வேறுபட்டவை) குறியீட்டு சித்தாந்தத்தில் அடிப்படையானவை மற்றும் இன்றும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

அவர்கள் பெயரிடப்பட்ட வரிசை 1960 கள் இல் கூட்டுப் பெயர்வெண் சித்தாந்தத்தின் ஆய்வின் போது தோன்றியது. கணிதவியலாளர்கள் கேட்டனர்: எந்த முழு எண் தொகுப்பு மற்ற முழு எண்களை தனித்தன்மையாக கூட்டுப் பிரதிநிதித்துவம் செய்கிறது? 4 இன் அடுக்குகள் அப்படிப்பட்ட ஒரு தொகுப்பாக அமைந்தன, மற்றும் மோசர்-டி பிரூய்ன் வரிசை நீங்கள் செய்ய முடிந்த அனைத்து சாத்திய கூட்டுகளையும் பிடிக்கிறது.

இதன் முக்கியத்துவம்

வரிசை கூட்டுப் அடிப்படைகள் பற்றிய பரந்த ஆய்வில் அமைந்துள்ளது - கூட்டலின் மூலம் மற்ற முழு எண்களை உருவாக்கக்கூடிய முழு எண் தொகுப்புகள். சில அடிப்படைகள் தனித்தன்மையான பிரதிநிதித்துவங்களை அனுமதிக்கின்றன (4 இன் அடுக்குகளைப் போல), மற்றவை அல்ல. எந்த அடிப்படைகளுக்கு எந்த பண்புகள் உள்ளன என்பதை அறிவது கூட்டுப் பெயர்வெண் சித்தாந்தத்தில் தற்போதைய ஆராய்ச்சி பகுதியாக உள்ளது.

நீங்கள் இந்த வரிசையை OEIS இல் A000695 ஆக கண்டறிவீர்கள், அங்கு கணிதவியலாளர்கள் இதன் இருமை பிரதிநிதித்துவம், சதுர (அடிப்பகுதி-4) அமைப்புகள் மற்றும் கூட்டமைப்பு பண்புகளுடன் தொடர்பைப் பதிவு செய்துள்ளனர். நவீன கணினி அறிவியல் பிட் மாற்றம் மற்றும் மெலிதான தரவு கட்டமைப்புகளின் திறமையான குறியீட்டில் தனிப்பட்ட பயன்பாடுகளைக் கண்டுள்ளது.

கோட் நிறைவேற்ற எடுத்துக்காட்டுகள்

மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசை உருவாக்கியை நீங்களே செய்ய விரும்புகிறீர்களா? இங்கே பிரபலமான நscheduling மொழிகளில் திறமையான நிறைவேற்றங்கள் உள்ளன. ஒவ்வொரு எடுத்துக்காட்டும் ஒரு வரிசை உருவாக்கி மற்றும் உறுப்பினர் சோதனை செய்யும் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது.

1def moser_de_bruijn(n):
2    """மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசையின் முதல் n பதங்களை உருவாக்கு."""
3    sequence = []
4    for i in range(n):
5        term = 0
6        power = 1
7        temp = i
8        while temp > 0:
9            if temp & 1:  # மிகக் குறைந்த சிக்னிஃபிகண்ட் பிட் 1 என்பதைச் சரிபார்க்கவும்
10                term += power
11            power *= 4
12            temp >>= 1  # அடுத்த பிட்டைச் சரிபார்க்க வலப்பக்கமாக நகர்த்தவும்
13        sequence.append(term)
14    return sequence
15
16# பயன்பாட்டு எடுத்துக்காட்டு:
17terms = moser_de_bruijn(20)
18print("மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசையின் முதல் 20 பதங்கள்:")
19print(terms)
20# வெளியீடு: [0, 1, 4, 5, 16, 17, 20, 21, 64, 65, 68, 69, 80, 81, 84, 85, 256, 257, 260, 261]
21
22def is_moser_de_bruijn(num):
23    """ஒரு எண் வரிசையில் உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்."""
24    while num > 0:
25        digit = num % 4
26        if digit > 1:
27            return False
28        num //= 4
29    return True
30
31# 21 வரிசையில் உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்
32print(f"21 வரிசையில் உள்ளதா? {is_moser_de_bruijn(21)}")  # True
33print(f"22 வரிசையில் உள்ளதா? {is_moser_de_bruijn(22)}")  # False
34

[மற்ற கோட் பகுதிகளும் அதே முறையில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளன]

முக்கிய நிறைவேற்ற அறிவுறுத்தல்கள்

இந்த அனைத்து நிறைவேற்றங்களும் ஒரே மாதிரியான வடிவத்தைப் பின்பற்றுகின்றன: பைட்வைஸ் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி சூசக இலக்கத்தின் பைனரி பிரதிநிதித்துவத்தைப் படிக்கவும், பின்னர் 4 இன் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகையை உருவாக்கவும். உறுப்பினர் சோதனை செயல்பாடுகள் அடிப்படை-4 அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்துகின்றன - இலக்கங்கள் 0 மற்றும் 1 வரையறுக்கப்பட்டுள்ளனவா என்பதைச் சரிபார்க்கின்றன.

செயல்திறன் வகையில், இந்த நிறைவேற்றங்கள் மிகவும் திறமையானவை. n பதங்களை உருவாக்குவதற்கான நேர நிக்கழ்ச்சி O(n × log n), ஏனெனில் ஒவ்வொரு பதமும் O(log i) பிட்களை ஆய்வு செய்ய வேண்டும். ஒரு தனிப்பட்ட எண்ணுக்கான உறுப்பினர் சோதனை O(log N) ஆகும், N சோதிக்கப்படும் எண் ஆகும்.

விரிவான எண் உதாரணங்கள்

கீழே உள்ள அட்டவணை முதல் 32 பதங்களை முழு விளக்கத்துடன் காட்டுகிறது. அடிப்படை-4 பிரதிநிதித்துவம் வெறும் 0 மற்றும் 1 மட்டுமே கொண்டிருப்பதையும், மேலும் பிரிப்பு எவ்வாறு பைனரி குறியீடுகளுடன் நேரடியாக பொருந்துகிறது என்பதையும் கவனியுங்கள்:

குறியீடு	பதம்	பிரிப்பு	அடிப்படை-4
0	0	0	0
1	1	4⁰	1
2	4	4¹	10
3	5	4¹ + 4⁰	11
4	16	4²	100
5	17	4² + 4⁰	101
6	20	4² + 4¹	110
7	21	4² + 4¹ + 4⁰	111
8	64	4³	1000
9	65	4³ + 4⁰	1001
10	68	4³ + 4¹	1010
11	69	4³ + 4¹ + 4⁰	1011
12	80	4³ + 4²	1100
13	81	4³ + 4² + 4⁰	1101
14	84	4³ + 4² + 4¹	1110
15	85	4³ + 4² + 4¹ + 4⁰	1111
16	256	4⁴	10000
17	257	4⁴ + 4⁰	10001
18	260	4⁴ + 4¹	10010
19	261	4⁴ + 4¹ + 4⁰	10011
20	272	4⁴ + 4²	10100
21	273	4⁴ + 4² + 4⁰	10101
22	276	4⁴ + 4² + 4¹	10110
23	277	4⁴ + 4² + 4¹ + 4⁰	10111
24	320	4⁴ + 4³	11000
25	321	4⁴ + 4³ + 4⁰	11001
26	324	4⁴ + 4³ + 4¹	11010
27	325	4⁴ + 4³ + 4¹ + 4⁰	11011
28	336	4⁴ + 4³ + 4²	11100
29	337	4⁴ + 4³ + 4² + 4⁰	11101
30	340	4⁴ + 4³ + 4² + 4¹	11110
31	341	4⁴ + 4³ + 4² + 4¹ + 4⁰	11111

பதம் 21 ஐ விரிவாக பார்த்தல்

பதம் 21 ஐ முழுமையாக பிரிப்போம்:

தசமப மதிப்பு: 21
அடிப்படை-4 பிரதிநிதித்துவம்: 111 (வெறும் 0 மற்றும் 1 மட்டுமே பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது ✓)
வரிசையில் குறியீடு: 7
பைனரி குறியீடு: 111 (7 இன் பைனரி)
பிரிப்பு: 21 = 16 + 4 + 1 = 4² + 4¹ + 4⁰

பாலத்தைப் பார்க்கிறீர்களா? பைனரி குறியீடு (111) நேரடியாக 4 இன் சக்திகளை சேர்ப்பதைக் காட்டுகிறது. ஒவ்வொரு "1" பிட்டும் அந்தச் சக்தியைச் சேர்க்க வேண்டும் என்பதைக் கூறுகிறது.

வளர்ச்சி மாதிரியைக் கவனித்தல்

வரிசை அதிவேகமாக வளர்கிறது—n வது பதம் சுமார் 4^(log₂(n)) க்கு சமம். இதன் நடைமுறைப் பொருள் என்ன?

10 வது பதத்தில் 68 இல் இருக்கிறீர்கள்
20 வது பதத்தில் 272 வரை வந்துள்ளீர்கள்
100 வது பதத்தில் மில்லியன்கள் பரிமாணத்தில் இருக்கிறீர்கள்

எண்கள் பெரிதாகும்போது, வரிசை அதிக அளவில் தவிர்க்கப்பட்ட நிலையில் இருக்கிறது. நீங்கள் அதிக மற்றும் அதிக முழு எண்களைத் தவிர்க்கிறீர்கள். இந்த தவிர்ப்பு இருந்தாலும், வரிசையில் அளவற்ற பதங்கள் உள்ளன—இது வளர்வதை நிறுத்தாது.

துணைநூல்கள் மற்றும் மேலும் வாசிப்பு

முதன்மை மூலங்கள்

OEIS A000695 - மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசை. இணைய தொடர்வரிசை கட்டுப்பாட்டின் இணைய தளம். வரிசையின் முழு தகவல்கள் மற்றும் பண்புகள்.
டி பிரூஜின், என் ஜி. "தற்சார்பு எண்கள் அமைப்பின் அடிப்படைகள் பற்றி." பப்ளிகேஷன்ஸ் மாதெமாடிகா டெப்ரெசன், தொகுதி 1, 1950, பக்கங்கள் 232-242. கூட்டுப் பாதுகாப்பு அடிப்படைகளின் அடிப்படை ஆய்வுக் கட்டுரை.
மோசர், லியோ. "தொகுப்பு வரிசைகளின் பயன்பாடு." கணிதப் பத்திரிகை, தொகுதி 35, இல. 1, 1962, பக்கங்கள் 37-38. வரிசையின் தொகுப்பு செயல்பாடுகளை ஆராய்ந்த ஆரம்ப ஆய்வு.

கூடுதல் கணிதப் பின்னணி

ஸ்டோலார்ஸ்கி, கென்னெத் பி. "பைனோமியல் சமன்பாட்டு சமச்சீர்மை தொடர்பான டிஜிட்டல் தொகுப்பு மற்றும் அடிப்படை தொகுப்பு." SIAM கணிதப் பத்திரிகை, தொகுதி 32, இல. 4, 1977, பக்கங்கள் 717-730. மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசைக்கு தொடர்புடைய டிஜிட்டல் தொகுப்பு பண்புகளை ஆராய்கிறது.
அலுச்சி, ஜீன்-பால், மற்றும் ஜெப்ரி ஷல்லிட். தானியக்க வரிசைகள்: கோட்பாடு, பயன்பாடுகள், பரப்பளவுகள். கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழக வெளியீடு, 2003. மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசையுடன் தொடர்புடைய தானியக்க வரிசைகளின் அத்தியாய வளர்ச்சி.

தொடர்புடைய கருத்துகள்

கூட்டுத் தொகை இல்லாத தொகுப்புகள் - விக்கிப்பீடியா. கூட்டுப் பண்பியல் எண் கோட்பாட்டின் பரந்த கணிதப் பின்னணி.
கூட்டுப் பாதுகாப்பு - விக்கிப்பீடியா. கூட்டுத் தொகைகளாக எண்களைக் குறிக்கும் தொகுப்புகளின் மேற்பார்வை.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

மோசர்-டி பிருஜின் வரிசை எதற்கு பயன்படுகிறது?

வரிசையின் பல பயன்பாடுகள் உள்ளன: கூட்டல் அடிப்படைகளை ஆராய்ந்த எண் தத்துவம், கூட்டல் இலவச சமுதாயங்கள் பற்றிய கலப்பு இயல் பணி, கணினி அறிவியல் கல்வி (குறிப்பாக பிட்வைஸ் செயல்பாடுகள் மற்றும் திறமையான அல்கரிதங்கள் கற்பிக்க), மற்றும் கணிதப் பாங்கு பகுப்பாய்வு. இது வெவ்வேறு எண் அடிப்படைகள் ஒன்றுக்கொன்று எவ்வாறு தொடர்பு கொள்கின்றன என்பதை புரிந்துகொள்ள சிறந்த கற்பித்தல் கருவி.

மோசர்-டி பிருஜின் வரிசையை எப்படி உருவாக்குவது?

ஒவ்வொரு குறியீடு n ஐயும் 0 முதல் எடுத்துக்கொண்டு, அதை இருமப்பில் மாற்றி, ஒவ்வொரு "1" பிட்டையும் அதன் தகுந்த 4 இன் அடுக்கினால் மாற்றவும். உதாரணமாக, குறியீடு 5 இன் இருமப் பிரதிநிதித்துவம் 101, எனவே நீங்கள் 4² + 4⁰ = 16 + 1 = 17 ஐ கணக்கிடுவீர்கள். அது 5 வது பதம் (0 முதல் கணக்கிடுகையில்).

மோசர்-டி பிருஜின் வரிசையில் சிறப்பு என்ன?

வரிசையில் ஒவ்வொரு எண்ணிலும் ஒரு தனிப்பட்ட பண்பு உள்ளது: அதன் 4 அடிப்படை பிரதிநிதித்துவம் 0 மற்றும் 1 மட்டுமே கொண்டிருக்கும் - 2 அல்லது 3 கிடையாது. இதன் அர்த்தம் நீங்கள் ஒவ்வொரு பதத்தையும் 4 இன் அடுக்குகளை கூட்டுவதன் மூலம் கட்ட முடியும் - ஒவ்வொரு அடுக்கும் அதிகம் ஒரு முறை மட்டுமே தோன்ற முடியும். இது இருமப் பிரதிநிதித்துவம் போன்றது, ஆனால் 2 இன் அடுக்குகளுக்கு பதிலாக 4 இன் அடுக்குகளைப் பயன்படுத்துகிறது.

ஒரு குறிப்பிட்ட எண் வரிசையில் உள்ளதா என்பதை எப்படி சரிபார்ப்பது?

உங்கள் எண்ணை 4 அடிப்படையில் மாற்றி இலக்கங்களைப் பார்க்கவும். நீங்கள் 0 மற்றும் 1 மட்டுமே பார்த்தால், அது வரிசையில் உள்ளது. ஏதேனும் இலக்கம் 2 அல்லது 3 ஆக இருந்தால், அது இல்லை. உதாரணமாக, 4 அடிப்படையில் 21 ஆனது 111 (அனைத்தும் 1 மற்றும் 0), எனவே அது உள்ளது. ஆனால் 4 அடிப்படையில் 22 ஆனது 112 (2 கொண்டிருக்கிறது), எனவே அது இல்லை.

n வது பதத்திற்கான சூத்திரம் என்ன?

n வது பதம் M(n) பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பின்பற்றுகிறது: M(n) = Σ(b_i × 4^i), இங்கு b_i n இன் இருமப் இலக்கங்களைக் குறிக்கிறது. எளிய மொழியில்: n ஐ இருமப்பில் எழுதி, ஒவ்வொரு நிலையிலும் 1 இருந்தால் அதன் தகுந்த 4 இன் அடுக்கைச் சேர்க்கவும்.

வரிசை அனந்தமாக உள்ளதா?

ஆம், அது நிரந்தரமாக தொடரும். மோசர்-டி பிருஜின் வரிசையில் அளவற்ற பதங்கள் உள்ளன. இருப்பினும், நீங்கள் மேலே சென்றால், வரிசை அதிகமாக அரிதாகிறது - வரிசையின் உறுப்பினர்கள் இடையே நீங்கள் அதிகமாக வழக்கமான முழு எண்களை தவிர்க்கிறீர்கள்.

இது இருமப் வரிசைகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகிறது?

இருமப் வரிசைகள் (2 இன் அடுக்குகளின் கூடுதல்) ஒவ்வொரு எதிர்மறையற்ற முழு எண்ணையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியும் - அதுதான் இருமப் பிரதிநிதித்துவம் செய்வது. மோசர்-டி பிருஜின் வரிசை 4 இன் அடுக்குகளைப் பயன்படுத்துகிறது, இது மிகவும் அரிய தொகுப்பை உருவாக்குகிறது. பெரும்பாலான முழு எண்கள் மோசர்-டி பிருஜின் வரிசையில் தோன்றுவதில்லை.

இந்த வரிசையை யார் கண்டறிந்தார்?

லியோ மோசர் (1921-1970), ஆஸ்திரிய-கனடிய கணிதவியல் அறிஞரும், நிகோலாஸ் கோகர்ட் டி பிருஜின் (1918-2012), ஒரு டச் கணிதவியல் அறிஞரும் 1960 களில் கூட்டல் எண் தத்துவத்தில் ஆராய்ச்சி செய்தபோது இந்த வரிசையை ஆழமாக ஆய்வு செய்தனர். வரிசை இரு பேரின் பெயரையும் தாங்கி நிற்கிறது.

ஆய்வுக்குத் தயாரா?

இந்தத் தலைப்பு உங்கள் உலாவியில் முற்றிலும் இயங்குகிறது - எந்தவொரு நிறுவலும் இல்லை, பதிவும் இல்லை, காத்திருப்பும் இல்லை. நீங்கள் எண் அமைப்புகளைப் பற்றிக் கற்கும் மாணவராக இருந்தாலும், கூட்டுப் பிரிவுகளை ஆராய்ந்து வரும் ஆய்வாளராக இருந்தாலும் அல்லது வெறுமனே கணிதத்தில் ஆர்வமுள்ளவராக இருந்தாலும், நீங்கள் உடனடியாக தொடர்கள் உருவாக்கி அவற்றின் மாதிரிகளைப் பார்க்கலாம். வரிசை எவ்வாறு வளர்கிறது மற்றும் எந்தெந்த முழு எண்கள் சேர்க்கப்படுகின்றன என்பதைக் கவனிக்க வெவ்வேறு அளவுகளை உருவாக்கிப் பாருங்கள்.

மோசர்-டி பிரூஜின் வரிசை உருவாக்கி | 4 இன் அடிப்படையிலான மதிப்பீட்டாளர்

உருவாக்கப்பட்ட வரிசை

ஆவணம்