เครื่องคำนวณการเติบโตของแบคทีเรีย - การเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลและลอจิสติก

เครื่องคำนวณการเติบโตของแบคทีเรียคืออะไร

เครื่องคำนวณการเติบโตของแบคทีเรียใช้หาว่าประชากรแบคทีเรียจะมีขนาดใหญ่เพียงใดหลังผ่านไประยะเวลาหนึ่ง โดยใช้จำนวนเซลล์เริ่มต้น เวลาต่อรุ่น (ระยะเวลาที่ประชากรใช้เพิ่มเป็นสองเท่า) และเวลาที่ผ่านไปเป็นตัวแปรนำเข้า เครื่องมือนี้รองรับสองรูปแบบ ได้แก่ การเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล ซึ่งประชากรเพิ่มเป็นสองเท่าไปเรื่อย ๆ โดยไม่มีขีดจำกัด และการเติบโตแบบลอจิสติก ซึ่งอัตราการเติบโตจะช้าลงเมื่อประชากรเข้าใกล้ความจุสูงสุดที่กำหนดโดยอาหาร พื้นที่ หรือออกซิเจนที่มีอยู่

วิธีคำนวณการเติบโตของแบคทีเรียแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

แบคทีเรียสืบพันธุ์ด้วยวิธีการแบ่งตัวแบบไบนารี (binary fission) คือหนึ่งเซลล์แบ่งออกเป็นสองเซลล์ ภายใต้สภาวะที่เหมาะสม มีสารอาหารไม่จำกัดและไม่มีของเสียสะสม ประชากรจะเพิ่มเป็นสองเท่าในช่วงเวลาคงที่ที่เรียกว่าเวลาต่อรุ่น ซึ่งได้เป็นสูตรการเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล ดังนี้

N(t) = N₀ × 2^(t/g)

• N(t) คือจำนวนประชากรที่เวลา t
• N₀ คือจำนวนประชากรเริ่มต้น
• t คือเวลาที่ผ่านไป
• g คือเวลาต่อรุ่น มีหน่วยเวลาเดียวกับ t

เลขชี้กำลัง t/g คือจำนวนรุ่น หรือจำนวนครั้งที่ประชากรเพิ่มเป็นสองเท่าที่ผ่านไปแล้ว แต่ละรุ่นทำให้ประชากรคูณด้วย 2

ตัวอย่างการคำนวณแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

เริ่มต้นด้วยแบคทีเรีย 1,000 ตัว และเวลาต่อรุ่น 30 นาที หลังจากผ่านไป 4 ชั่วโมง

1. แปลงเวลาเป็นนาที: 4 ชั่วโมง = 240 นาที
2. จำนวนรุ่น: 240 / 30 = 8
3. ตัวประกอบการเติบโต: 2^8 = 256
4. จำนวนประชากรสุดท้าย: 1,000 × 256 = 256,000 ตัว

การเติบโตแบบลอจิสติกและความจุสูงสุด

ประชากรจริงไม่สามารถเติบโตได้อย่างไม่มีขีดจำกัด เมื่อแบคทีเรียเพิ่มจำนวนขึ้น พวกมันจะใช้สารอาหารหมดไปและผลิตของเสียออกมา ทำให้อัตราการเติบโตช้าลงและประชากรค่อย ๆ คงที่ใกล้ค่าสูงสุดที่เรียกว่าความจุสูงสุด เขียนแทนด้วย K สูตรการเติบโตแบบลอจิสติกอธิบายรูปแบบนี้ ดังนี้

N(t) = K / (1 + ((K − N₀)/N₀) × e^(−r·t))

• K คือความจุสูงสุด จำนวนประชากรมากที่สุดที่สภาพแวดล้อมสามารถรองรับได้
• r คืออัตราการเติบโตภายใน คำนวณจากเวลาต่อรุ่นด้วยสูตร r = ln(2) / g
• e คือค่าคงที่ของออยเลอร์ มีค่าประมาณ 2.71828
• N₀ และ t มีความหมายเหมือนกับในสูตรเอ็กซ์โพเนนเชียล

ที่ t = 0 สูตรนี้ให้ค่า N(0) = N₀ ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นเดียวกันกับแบบจำลองเอ็กซ์โพเนนเชียล เมื่อ t มีค่ามากขึ้น พจน์เอ็กซ์โพเนนเชียล e^(−r·t) จะลดลงเข้าใกล้ศูนย์ ทำให้ N(t) เข้าใกล้ K มากขึ้น ในช่วงต้นเมื่อประชากรยังมีขนาดเล็กกว่า K มาก เส้นโค้งลอจิสติกจะใกล้เคียงกับเส้นโค้งเอ็กซ์โพเนนเชียลมาก และจะเริ่มโค้งงอและแบนราบก็ต่อเมื่อประชากรกลายเป็นสัดส่วนที่มากพอสมควรของ K

ตัวอย่างการคำนวณแบบลอจิสติก

เริ่มต้นด้วยแบคทีเรีย 1,000 ตัว เวลาต่อรุ่น 30 นาที และความจุสูงสุด 1,000,000 ตัว หลังจากผ่านไป 4 ชั่วโมง

1. อัตราการเติบโต: r = ln(2) / 30 ≈ 0.02310 ต่อนาที
2. เวลาที่ผ่านไปในหน่วยนาที: t = 240
3. r × t ≈ 5.545
4. (K − N₀)/N₀ = (1,000,000 − 1,000) / 1,000 = 999
5. N(240) = 1,000,000 / (1 + 999 × e^(−5.545)) ≈ 203,984 ตัว

เมื่อเทียบกับผลลัพธ์แบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ 256,000 ตัว ซึ่งใช้ค่านำเข้าเดียวกัน แบบจำลองลอจิสติกให้ตัวเลขที่น้อยกว่า เพราะการเติบโตเริ่มช้าลงแล้ว หากให้เวลามากพอ ประชากรกลุ่มนี้จะยังคงเข้าใกล้ 1,000,000 ตัวต่อไปเรื่อย ๆ โดยไม่มีวันเกินค่านี้

การเลือกระหว่างสองแบบจำลอง

การเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นค่าประมาณที่ดีสำหรับช่วงต้นของการเติบโตของแบคทีเรียในอาหารเลี้ยงเชื้อใหม่ที่มีสารอาหารอุดมสมบูรณ์ ซึ่งมักเรียกว่าระยะล็อก (log phase) การเติบโตแบบลอจิสติกเป็นแบบจำลองที่ดีกว่าเมื่อคาดว่าอาหารเลี้ยงเชื้อจะเริ่มขาดแคลนทรัพยากรหรือถึงความหนาแน่นสูงสุดที่ทราบค่า เช่น ปริมาตรคงที่ของอาหารเลี้ยงเชื้อ หรือถิ่นอาศัยตามธรรมชาติที่มีพื้นที่จำกัด การกำหนดความจุสูงสุดจะเปลี่ยนแบบจำลองจากเส้นโค้งในอุดมคติที่ไม่มีขีดจำกัด ให้กลายเป็นแบบจำลองที่สอดคล้องกับวิธีที่กลุ่มเซลล์จริงเข้าสู่ระดับคงที่ในที่สุด

คำถามที่พบบ่อย

เวลาต่อรุ่นคืออะไร? เวลาต่อรุ่น หรือที่เรียกอีกอย่างว่าเวลาเพิ่มเป็นสองเท่า คือระยะเวลาที่ประชากรแบคทีเรียใช้ในการเพิ่มขนาดเป็นสองเท่า ค่านี้แตกต่างกันไปตามชนิดและสภาวะแวดล้อม แบคทีเรียบางชนิดเพิ่มเป็นสองเท่าภายใน 20 นาที ในขณะที่บางชนิดใช้เวลาหลายชั่วโมง

เหตุใดแบบจำลองเอ็กซ์โพเนนเชียลจึงเติบโตโดยไม่มีขีดจำกัด? เพราะแบบจำลองนี้สมมติว่ามีสารอาหาร พื้นที่ และออกซิเจนไม่จำกัด และไม่มีการสะสมของเสีย เงื่อนไขเหล่านี้เกิดขึ้นได้เพียงช่วงเวลาสั้น ๆ ในอาหารเลี้ยงเชื้อจริงเท่านั้น จึงเป็นเหตุผลที่แบบจำลองลอจิสติกถูกใช้เป็นทางเลือก

ความจุสูงสุดคืออะไร? ความจุสูงสุด หรือ K คือขนาดประชากรมากที่สุดที่สภาพแวดล้อมสามารถรองรับได้ในระยะยาว ตามทรัพยากรที่มีอยู่ ในอาหารเลี้ยงเชื้อในห้องปฏิบัติการ ค่านี้อาจถูกกำหนดโดยปริมาตรและความเข้มข้นของสารอาหารในอาหารเลี้ยงเชื้อ

ผลลัพธ์แบบลอจิสติกมีค่ามากกว่าผลลัพธ์แบบเอ็กซ์โพเนนเชียลได้หรือไม่? ไม่ได้ เมื่อใช้ค่านำเข้าชุดเดียวกัน เส้นโค้งลอจิสติกเริ่มต้นที่ค่าเดียวกับเส้นโค้งเอ็กซ์โพเนนเชียล แต่จะโค้งลงเร็วกว่า จึงมีค่าเท่ากับหรือต่ำกว่าค่าเอ็กซ์โพเนนเชียลเสมอในเวลาใด ๆ ก็ตาม

หากตั้งค่าความจุสูงสุดไว้สูงมากจะเกิดอะไรขึ้น? หาก K มีค่ามากกว่าจำนวนประชากรที่จะไปถึงในช่วงเวลาที่เลือกมาก เส้นโค้งลอจิสติกจะยังคงใกล้เคียงกับเส้นโค้งเอ็กซ์โพเนนเชียล เนื่องจากประชากรยังอยู่ห่างจากขีดจำกัดมาก

เหตุใดตัวประกอบการเติบโตของสองแบบจำลองจึงต่างกัน? ในโหมดเอ็กซ์โพเนนเชียล ตัวประกอบการเติบโตคือค่าตัวคูณเพิ่มเป็นสองเท่าตามทฤษฎี คือ 2 ยกกำลังจำนวนรุ่น ในโหมดลอจิสติก ค่านี้คือตัวคูณจริงที่เกิดขึ้น ซึ่งได้จากจำนวนประชากรสุดท้ายหารด้วยจำนวนประชากรเริ่มต้น เนื่องจากการเติบโตไม่เป็นไปตามรูปแบบการเพิ่มเป็นสองเท่าที่ชัดเจนอีกต่อไปเมื่อเริ่มช้าลงใกล้ K