Калькулятор квадратних рівнянь - Обчислення коренів ax² + bx + c = 0

Що таке квадратне рівняння?

Квадратне рівняння — це рівняння вигляду $ax^2 + bx + c = 0$, де $a$, $b$ і $c$ — числа, а $a$ не дорівнює нулю. Розв’язувач квадратних рівнянь на цій сторінці знаходить значення або значення $x$, за яких рівняння є правильним, використовуючи введені користувачем коефіцієнти $a$, $b$ і $c$.

Якби $a$ дорівнювало нулю, доданок $x^2$ зник би, і рівняння стало б лінійним, а не квадратним. Тому калькулятор вимагає, щоб виконувалася умова $a \neq 0$, і показує помилку, якщо $a = 0$.

Квадратична формула

Кожне квадратне рівняння вигляду $ax^2 + bx + c = 0$ можна розв’язати за квадратною формулою:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Знак $\pm$ означає два окремі обчислення: одне зі знаком плюс, а друге — зі знаком мінус. Саме тому квадратне рівняння може мати два різні розв’язки.

Вираз під квадратним коренем, $b^2 - 4ac$, називається дискримінантом. Зазвичай його записують як $\Delta$ (грецька літера дельта). Сам дискримінант показує, скільки дійсних розв’язків має рівняння, ще до виконання решти обчислень.

Як обчислити корені

1. Запишіть рівняння у стандартному вигляді: $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Визначте коефіцієнти $a$, $b$ і $c$.
3. Обчисліть дискримінант: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Якщо $\Delta$ додатний, обчисліть обидва корені за формулою $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Якщо $\Delta$ дорівнює нулю, обчисліть єдиний корінь за формулою $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Якщо $\Delta$ від’ємний, рівняння не має дійсних коренів, оскільки від’ємне число не має дійсного квадратного кореня.

Калькулятор на цій сторінці автоматично виконує ці кроки. Він приймає коефіцієнти від $-10^{10}$ до $10^{10}$ і округлює результати до вибраної кількості знаків після коми — від 0 до 10.

Що означає дискримінант

Цей калькулятор повідомляє «дійсних коренів немає», коли $\Delta$ від’ємний. Він не обчислює комплексні корені (числа, що містять $i = \sqrt{-1}$).

Приклад обчислення

Розв’яжемо рівняння $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Тут $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Спочатку знайдемо дискримінант:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Оскільки $\Delta$ додатний, рівняння має два дійсні корені:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Це можна перевірити розкладанням на множники: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, і вираз дорівнює нулю, коли $x = -2$ або $x = -3$.

Другий приклад демонструє від’ємний дискримінант. Для рівняння $x^2 + x + 1 = 0$ маємо $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, тому $\Delta = 1 - 4 = -3$. Оскільки $\Delta$ від’ємний, рівняння не має дійсних коренів.

Парабола, вершина й вісь симетрії

Графік функції $f(x) = ax^2 + bx + c$ — це крива, яка називається параболою. Якщо $a$ додатний, парабола відкривається вгору й має найнижчу точку. Якщо $a$ від’ємний, вона відкривається вниз і має найвищу точку. Ця найнижча або найвища точка називається вершиною.

Вершина має координати:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Вертикальна пряма, що проходить через вершину, $x = -\dfrac{b}{2a}$, називається віссю симетрії, оскільки дві половини параболи є її дзеркальними відображеннями. Дійсні корені рівняння — це точки, у яких парабола перетинає вісь x, тому вони розташовані по різні боки від осі симетрії на однаковій відстані від неї.

Калькулятор будує цю параболу поруч із результатом. Він позначає на кривій вершину та всі дійсні корені й за потреби розширює діапазон графіка, щоб кожен корінь залишався в полі зору.

Де застосовують квадратні рівняння

Квадратні рівняння описують багато ситуацій із реального життя. У фізиці висота кинутого тіла з часом визначається рівнянням $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, а його розв’язання відносно $t$ дає час приземлення тіла. У техніці параболічні форми використовують у супутникових антенах і тросах мостів через особливості фокусування або розподілу сили. У комп’ютерній графіці програми трасування променів розв’язують квадратні рівняння, щоб визначити, де пряма перетинає сферу.

Коротка історія

Вавилонські математики розв’язували окремі квадратні задачі вже близько 2000 року до н. е., використовуючи геометричні методи, а не алгебру. Давньогрецькі математики, зокрема Евклід, також розглядали квадратні рівняння геометрично. Приблизно 600 року н. е. індійський математик Брамагупта навів явну формулу для коренів, зокрема від’ємних розв’язків. Приблизно 800 року н. е. перський математик аль-Хорезмі описав систематичні методи розв’язання квадратних рівнянь у книзі, назва якої дала початок слову «алгебра». Сучасний символічний вигляд квадратної формули став стандартним пізніше, у міру розвитку алгебраїчної нотації в добу Відродження.

Поширені запитання

Що станеться, якщо ввести 0 як коефіцієнт a? Калькулятор покаже помилку, оскільки $a = 0$ перетворює рівняння на лінійне, $bx + c = 0$, яке розв’язується інакше.

Чому рівняння іноді не має дійсних коренів? Це трапляється, коли дискримінант $b^2 - 4ac$ від’ємний. Від’ємне число не має дійсного квадратного кореня, тому формула не може дати дійсне значення $x$. Рівняння все одно має два комплексні корені, але цей калькулятор їх не обчислює.

У чому різниця між коренем і розв’язком? Ні в чому. Обидва слова позначають значення $x$, за якого рівняння дорівнює нулю. «Корінь» вказує, де графік перетинає вісь x, а «розв’язок» стосується алгебраїчного запису.

Скільки знаків після коми можна вибрати? Від 0 до 10. Для повсякденних задач зазвичай достатньо двох або трьох знаків після коми.

Чи можна вводити дуже великі коефіцієнти? Коефіцієнти мають бути в межах від $-10^{10}$ до $10^{10}$. Значення поза цим діапазоном можуть спричинити помилки округлення, тому їх буде відхилено.

Чи може цей калькулятор знаходити комплексні корені? Ні. Коли дискримінант від’ємний, він повідомляє «дійсних коренів немає», а не обчислює комплексні числа.

Джерела

1. Квадратне рівняння — MathWorld
2. Цифрова бібліотека математичних функцій NIST, §1.11, Алгебра: квадратне рівняння