Розв'язувач рівняння Юнга-Лапласа | Тиск на межі розділу

Що таке рівняння Юнга—Лапласа?

Рівняння Юнга—Лапласа — це формула механіки рідин, яка визначає різницю тисків по обидва боки криволінійної межі між двома рідинами, наприклад поверхні краплі води або мильної бульбашки. Воно показує, що ця різниця тисків залежить від поверхневого натягу рідини та від кривизни межі. Рівняння пояснює, чому всередині крапель і бульбашок накопичується тиск і чому в менших із них внутрішній тиск вищий, ніж у більших.

Воно назване на честь Томаса Юнга та П’єра-Симона Лапласа, які незалежно описали цей зв’язок на початку 1800-х років.

Формула рівняння Юнга—Лапласа

Загальний вигляд рівняння:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ — різниця тисків по обидва боки межі, у паскалях (Па)
• $\gamma$ (гамма) — поверхневий натяг рідини, у ньютонах на метр (Н/м)
• $R_1$ і $R_2$ — два головні радіуси кривизни поверхні, у метрах (м)

Поверхня по-різному вигинається в різних напрямках. $R_1$ і $R_2$ описують кривизну вздовж двох взаємно перпендикулярних напрямків. Для сфери, наприклад краплі або бульбашки, $R_1$ дорівнює $R_2$, тому формула спрощується до:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Умови щодо знаків

Тиск завжди вищий на увігнутому боці криволінійної межі — боці, від якого поверхня вигинається назовні. Для краплі або бульбашки це означає, що тиск усередині вищий за зовнішній. Радіус вважають додатним, якщо його центр кривизни лежить з боку вищого тиску. Якщо поверхня в одному з напрямків вигинається в протилежний бік, цей радіус вважають від’ємним. Сідлоподібна межа, наприклад рідинна перемичка між двома дотичними зернами, має один додатний і один від’ємний радіус, тому два доданки частково компенсуються.

Цей калькулятор використовує лише додатні радіуси.

Особливі випадки

• Плоска поверхня: коли радіус зростає до нескінченності, відповідний доданок у формулі наближається до нуля. У цілком плоскої межі різниця тисків відсутня.
• Циліндр: довга циліндрична поверхня, наприклад струмінь рідини, що виходить із сопла, вигинається лише в одному напрямку. Один радіус є радіусом циліндра, а другий уздовж його довжини нескінченний, тому формула набуває вигляду $\Delta P = \gamma / R$. Це половина різниці тисків у сфери з таким самим радіусом.
• Дуже малі масштаби: за розмірів менше приблизно від 10 до 20 нанометрів стають значущими додаткові ефекти, як-от лінійний натяг, і звичайне рівняння втрачає точність.

Як обчислити різницю тисків за рівнянням Юнга—Лапласа

1. Визначте поверхневий натяг рідини в Н/м за потрібної температури. Зі зростанням температури поверхневий натяг зменшується.
2. Виміряйте або оцініть перший головний радіус кривизни $R_1$ у метрах.
3. Виміряйте або оцініть другий головний радіус кривизни $R_2$ у метрах. Для сфери використовуйте те саме значення, що й для $R_1$. Для циліндра використовуйте дуже велике число замість нескінченності.
4. Помножте поверхневий натяг на суму $1/R_1$ і $1/R_2$. Результат — різниця тисків у паскалях.

Використовуйте всі значення в одиницях SI. Наприклад, змішування міліметрів із метрами змінює результат у тисячу разів.

Приклад обчислення

Розглянемо сферичну краплю води радіусом 1 міліметр (0,001 м) і поверхневим натягом 0,072 Н/м — типовим значенням для води за температури, близької до кімнатної.

Оскільки крапля є сферою, $R_1 = R_2 = R$, тому:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Тиск усередині краплі на 144 Па вищий за тиск навколишнього повітря. Це мало порівняно з нормальним атмосферним тиском, який становить приблизно 101 325 Па, але ефект швидко зростає зі зменшенням краплі. У краплі радіусом, що дорівнює одній десятій цього розміру, 0,1 мм, різниця тисків удесятеро більша: 1 440 Па. У краплі радіусом 0,01 мм вона досягає 14 400 Па — понад 14% атмосферного тиску.

Застосування рівняння

• Краплі та бульбашки: вищий тиск усередині малих крапель спричиняє дозрівання Оствальда — процес, під час якого малі краплі в емульсії зменшуються, а більші ростуть, оскільки їхній вміст дифундує з ділянок високого тиску до ділянок низького тиску.
• Капілярна дія: викривлена поверхня всередині вузької трубки підтягує рідину вгору. Саме тому вода піднімається паперовими рушниками та вузькими скляними трубками.
• Дихання: крихітні повітряні мішечки в легенях, які називають альвеолами, поводяться як малі бульбашки. Покриття під назвою легеневий сурфактант зменшує поверхневий натяг, тому малі альвеоли не спадаються під дією тиску, передбаченого рівнянням. У недоношених дітей, яким бракує сурфактанту, через це можуть виникати проблеми з диханням.
• Струминний друк: сопла принтерів формують краплі діаметром у десятки мікрометрів, де тиск, зумовлений кривизною, достатньо великий, щоб визначати, як чорнило виходить із сопла.
• Матеріалознавство: прилади, що вимірюють змочування поверхні рідинами та поведінку тонких покриттів, використовують рівняння, щоб пов’язати форму краплі з її поверхневою енергією.

Історія

Люди спостерігали, як рідини піднімаються вузькими трубками, задовго до пояснення цього явища. На початку 1700-х років Френсіс Гоксбі експериментально показав, що у вужчих трубках капілярне підняття вище, а в 1718 році Джеймс Журен описав висоту підняття як обернено пропорційну діаметру трубки.

Томас Юнг пояснив фізичні основи в роботі 1805 року, увівши поверхневий натяг як властивість рідини та пов’язавши його з тиском на криволінійних поверхнях, хоча його виклад був переважно описовим. У 1806 році П’єр-Симон Лаплас за допомогою математичного аналізу вивів математичну форму, незалежно дійшовши того самого співвідношення. Їхня спільна праця стала основою рівняння Юнга—Лапласа. Пізніше вчені, зокрема Карл Фрідріх Гаусс і Жозеф Плато, перевіряли та розширювали теорію протягом 1800-х років.

Поширені запитання

Що обчислює рівняння Юнга—Лапласа? Воно обчислює різницю тисків по обидва боки криволінійної межі між двома рідинами на основі поверхневого натягу рідини та кривизни межі.

Чому тиск усередині меншої краплі вищий? Поверхневий натяг діє вздовж краю краплі, і ця сила зростає пропорційно радіусу. Площа, на яку тисне тиск, зростає пропорційно квадрату радіуса. Урівноваження цих двох величин дає $\Delta P = 2\gamma/R$, тому різниця тисків обернено пропорційна радіусу: якщо зменшити радіус удвічі, різниця тисків подвоїться.

Як температура впливає на рівняння? Температура змінює значення поверхневого натягу, а зі зростанням температури поверхневий натяг зменшується. Для води поверхневий натяг знижується приблизно від 0,073 Н/м за температури 20 °C до близько 0,063 Н/м за температури 80 °C — приблизно на 0,17 мН/м з кожним градусом Цельсія. Поверхневий натяг води за кімнатної температури вищий, ніж гарячої води, тому використання значення для кімнатної температури в гарячій системі завищує різницю тисків.

Чи працює рівняння для форм, відмінних від сфер? Так. Загальна форма з двома окремими радіусами $R_1$ і $R_2$ охоплює будь-яку криволінійну поверхню, зокрема еліпсоїди та сідлоподібні межі. Лише спрощена форма $2\gamma/R$ обмежена сферичними поверхнями.

Чим рівняння Юнга—Лапласа відрізняється від рівняння Юнга? Рівняння Юнга—Лапласа визначає різницю тисків, спричинену криволінійною межею. Рівняння Юнга — окреме співвідношення, також запропоноване Томасом Юнгом, — визначає крайовий кут, під яким крапля стикається з твердою поверхнею, на основі поверхневих енергій трьох задіяних матеріалів. Вони описують різні явища й іноді застосовуються разом для аналізу краплі, що лежить на поверхні.

Наскільки малою може бути крапля, перш ніж рівняння перестане працювати? Рівняння зберігає точність приблизно до 1 мікрометра. Нижче приблизно від 10 до 20 нанометрів додаткові сили, які рівняння не враховує, зокрема лінійний натяг і сили взаємодії між поверхнями на молекулярному рівні, стають достатньо великими, щоб впливати на результат, тому потрібні детальніші моделі.

Джерела

1. Young, T. (1805). «An Essay on the Cohesion of Fluids». Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, Supplement to Book 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W., & Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6-те видання). Wiley-Interscience.