Графік тригонометричних функцій - Візуалізація Sin, Cos, Tan
Інтерактивний графік тригонометричних функцій. Налаштуйте амплітуду, частоту та фазовий зсув у реальному часі, щоб миттєво візуалізувати хвилі синуса, косинуса та тангенса.
Графік тригонометричної функції
Параметри функції
Графік функції
Документація
Що таке побудовник тригонометричних функцій?
Побудовник тригонометричних функцій — це інструмент, який будує криву функції синуса, косинуса або тангенса й дає змогу змінювати її форму, налаштовуючи кілька чисел, що називаються параметрами. Переміщення повзунка миттєво перемальовує графік, завдяки чому легше побачити, як змінюються амплітуда, частота та фазовий зсув хвилі.
Три основні тригонометричні функції
Синус, косинус і тангенс визначаються відношеннями сторін прямокутного трикутника. На колі з радіусом 1 і центром у початку координат (одиничному колі) sin(x) — це висота точки, що відповідає куту x, а cos(x) — її горизонтальна координата. Тангенс — це відношення sin(x) / cos(x).
| Функція | Область визначення | Область значень | Період |
|---|---|---|---|
| sin(x) | усі дійсні числа | від −1 до 1 | 2π |
| cos(x) | усі дійсні числа | від −1 до 1 | 2π |
| tan(x) | усі дійсні числа, крім π/2 + nπ | усі дійсні числа | π |
Синус — непарна функція: sin(−x) = −sin(x). Косинус — парна функція: cos(−x) = cos(x). Косинус — це просто синус, зміщений ліворуч на π/2 радіан (90 градусів).
Тангенс має вертикальні асимптоти — прямі, до яких крива наближається дедалі ближче, але ніколи їх не торкається. Вони розташовані при x = π/2 + nπ, де n — будь-яке ціле число. Оскільки tan(x) = sin(x) / cos(x), а cos(x) у цих точках дорівнює 0, це відношення там не визначене.
Формула тригонометричної функції
Побудовник будує функції в такій формі:
f(x) = A sin(Bx + C)
Та сама форма використовується для косинуса й тангенса, лише sin замінюється на cos або tan. Кожна літера — це параметр, який можна налаштувати:
- A (амплітуда) визначає висоту хвилі, виміряну від її середньої лінії до вершини. Побудовник графіків дає змогу задавати значення від 0,1 до 5 для синуса й косинуса та від 0,1 до 2 для тангенса.
- B (частота) визначає, скільки повних циклів міститься на певній ділянці осі x. Більше значення B стискає хвилю. Графік дає змогу задавати значення від 0,1 до 5.
- C (фазовий зсув) переміщує всю криву ліворуч або праворуч, не змінюючи її форми. Графік дає змогу задавати значення від −π до π, приблизно від −3,14 до 3,14.
Додатний фазовий зсув переміщує графік ліворуч, а від’ємний — праворуч.
Як користуватися графіком тригонометричних функцій
- Виберіть функцію — синус, косинус або тангенс — за допомогою селектора.
- Переміщуйте повзунок амплітуди, щоб змінити висоту хвилі.
- Переміщуйте повзунок частоти, щоб стиснути або розтягнути хвилю.
- Переміщуйте повзунок фазового зсуву, щоб перемістити криву вбік.
- Прочитайте формулу, показану під повзунками, і натисніть «Копіювати», щоб скопіювати її у вигляді тексту.
Графік оновлюється, щойно повзунок переміщують. Для тангенса біля кожної асимптоти на кривій з’являються невеликі розриви. Це очікувано, а не помилка.
Перевірка крайніх значень повзунків
Щоб побачити, якої висоти може сягати хвиля, встановіть амплітуду на найвище значення, яке дозволяє інструмент: 5 для синуса або косинуса, 2 для тангенса. Щоб побачити хвилю, яка стає майже пласкою, встановіть для частоти найменше значення — 0,1. Якщо змінювати лише один повзунок за раз, легше визначити, який параметр спричинив кожну зміну.
Як обчислити значення вручну
Розглянемо функцію синуса з амплітудою A = 2, частотою B = 3 і фазовим зсувом C = π/4:
f(x) = 2 sin(3x + π/4)
Щоб знайти f(π/6), спочатку обчисліть кут усередині синуса:
3 × (π/6) = π/2
π/2 + π/4 = 3π/4
Потім обчисліть синус і помножте результат на амплітуду:
f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1,414
Де можна побачити тригонометричні хвилі
Багато явищ, у яких рух плавно повторюється вперед і назад, описуються кривою, близькою до синусоїди: звук, змінний електричний струм, морські припливи, коливання маятника та тривалість світлового дня протягом року. Інженери використовують синус і косинус для опису та прогнозування таких закономірностей. Комп’ютерні аніматори використовують ті самі криві, щоб зробити рух плавним, наприклад під час циклу ходьби або плавного переміщення камери.
Поширені запитання
Яка різниця між синусом, косинусом і тангенсом?
Синус і косинус коливаються між −1 і 1 з періодом 2π, але косинус досягає кожної точки свого циклу на чверть оберту (π/2) раніше за синус. Тангенс дорівнює синусу, поділеному на косинус. Він має період π, не обмежений і має вертикальні асимптоти всюди, де косинус дорівнює 0.
Що визначає амплітуда?
Амплітуда (A) визначає, наскільки далеко хвиля відхиляється вгору та вниз від своєї середньої лінії. У цьому графіку її значення для синуса й косинуса змінюються від 0,1 до 5, а для тангенса — від 0,1 до 2.
Що визначає частота?
Частота (B) визначає, скільки циклів хвилі міститься на фіксованій ділянці осі x. Вища частота означає більше циклів на тій самій ділянці. Графік дає змогу задавати значення від 0,1 до 5.
Чому додатний фазовий зсув переміщує графік ліворуч, а не праворуч?
Оскільки фазовий зсув C додається перед вимірюванням кута у функції: f(x) = sin(Bx + C). Додатне C означає, що заданого значення кут досягає за меншого x, тому та сама точка кривої з’являється раніше — зі зміщенням ліворуч, а не праворуч.
Чому на графіку тангенса є розриви?
Тангенс не визначений усюди, де косинус дорівнює 0, тобто при x = π/2 + nπ. Побудовник розриває лінію в цих точках, щоб не з’єднувати її неправильно прямою через розрив.
Чи використовує побудовник градуси чи радіани?
Радіани. Повний оберт дорівнює 2π радіан, тобто 360 градусам. Щоб перетворити градуси на радіани, помножте їх на π/180.