Спрощувач Логарифмів

Спрощувач логарифмів — це інструмент, який переписує логарифмічний вираз, застосовуючи одне стандартне правило логарифмів, наприклад правило добутку або правило степеня. Застосунок «Спрощувач логарифмів» перевіряє вираз на відповідність фіксованому набору шаблонів і повертає спрощену форму. Якщо жоден окремий шаблон не підходить, він повертає вираз без змін.

Що таке логарифм?

Логарифм відповідає на одне запитання: до якого степеня потрібно піднести основу, щоб отримати це число? Якщо $b^y = x$ , то $\log_b(x) = y$ . Логарифм є оберненою операцією до піднесення до степеня. Він скасовує дію піднесення до степеня.

Найчастіше використовують три види:

log: основа 10, десятковий логарифм. Вираз log(100) запитує: «До якого степеня треба піднести 10, щоб отримати 100?»
ln: основа $e$ (приблизно 2,71828), натуральний логарифм, поширений у математичному аналізі.
log_a: довільна основа, записана за допомогою символу нижнього підкреслення. log_2(8) означає логарифм 8 за основою 2.

Логарифм визначений лише для додатного аргументу. Застосунок відхиляє такі введені дані, як log(0) або log(-5), як неприпустимі, оскільки жоден дійсний степінь додатної основи не дає нульового або від’ємного числа.

Правила та формули логарифмів

Правило	Формула
Правило добутку	$\log_b(x \times y) = \log_b(x) + \log_b(y)$
Правило частки	$\log_b(x \div y) = \log_b(x) - \log_b(y)$
Правило степеня	$\log_b(x^n) = n \times \log_b(x)$
Перехід до іншої основи	$\log_a(x) = \dfrac{\log(x)}{\log(a)}$
Тотожність	$\log_b(b) = 1$
Логарифм одиниці	$\log_b(1) = 0$

Як обчислити спрощений логарифм

Застосунок по черзі перевіряє кожне правило на всьому виразі, введеному в поле. Він застосовує перше правило, форма якого відповідає всьому виразу, а не лише його частині.

Оскільки кожне правило перевіряє весь вираз, застосунок спрощує одну операцію за раз. Вираз, у якому в одному члені поєднано степінь і множення, наприклад log(x^2*y), не відповідає жодному окремому шаблону, тому повертається без змін. Інструмент не поєднує кілька правил, щоб покроково розкласти довший вираз.

Для простого числового логарифма, такого як log(8), log(100) або ln(20), застосунок обчислює число, а не застосовує символьне правило. Результати, що є цілими числами, показуються як цілі числа; усі інші значення округлюються до шести знаків після коми. Це відбувається лише тоді, коли весь введений вираз є одним логарифмом числа. Введений вираз із двома логарифмами, наприклад log(8)/log(2), повертається без змін, а не обчислюється частково.

Приклад обчислення

Щоб спростити log(x*y), застосунок знаходить шаблон правила добутку log(A*B). Він розділяє вираз на два окремі логарифми, сполучені додаванням:

$\log(x \times y) = \log(x) + \log(y)$

Для log(x^3) відповідає шаблон правила степеня log(A^n), і показник степеня виноситься перед логарифмом:

$\log(x^3) = 3 \times \log(x)$

Показник степеня може бути від’ємним або десятковим. log(x^-2) дає -2 * log(x), а log(x^0.5) дає 0.5 * log(x).

Для довільної основи, наприклад log_2(8), застосунок символьно застосовує формулу переходу до іншої основи. Він не обчислює числову відповідь (яка дорівнює 3), а повертає відношення log(8) / log(2).

Приклади введених виразів і результатів

В останньому стовпці наведено назву правила, яку застосунок показує під схемою.

Введений вираз	Результат	Показане правило
`log(100)`	`2`	Обчислення за основою
`log(8)`	`0.903090`	Обчислення за основою
`log(1)`	`0`	Обчислення за основою
`log(10)`	`1`	Обчислення за основою
`log(0.5)`	`-0.301030`	Обчислення за основою
`ln(20)`	`2.995732`	Обчислення за основою
`ln(e^5)`	`5`	Натуральний логарифм e^n
`log(x^3)`	`3 * log(x)`	Правило степеня
`log(x^-2)`	`-2 * log(x)`	Правило степеня
`log(x*y)`	`log(x) + log(y)`	Правило добутку
`log(x/y)`	`log(x) - log(y)`	Правило частки
`log_5(5)`	`1`	Тотожність логарифма за основою
`log_2(8)`	`log(8) / log(2)`	Перехід до іншої основи (символьний результат, а не `3`)
`log(x+y)`	`log(x+y)` (без змін)	Спрощення

Використання застосунку

Введіть вираз у поле, використовуючи * для множення, / для ділення, ^ для показників степеня та дужки для групування членів. Для довільної основи використовуйте запис із символом нижнього підкреслення, як у log_2(8). Результат з’являється одразу після введення припустимого виразу; разом із ним показується невелика схема із введеним виразом, результатом і назвою єдиного застосованого правила. Кнопка копіювання дає змогу вставити результат в інші документи.

Обмеження

Застосунок є простим зіставником шаблонів, а не повноцінною системою комп’ютерної алгебри. Він не може:

Послідовно застосовувати два або більше правил до одного виразу, тому багаточленні вирази, як-от log(x^2*y/z), не розкладаються далі.
Працювати з введеним виразом, що містить більше одного логарифма. log(8)/log(2) повертається без змін, а не обчислюється як 3.
Обчислювати логарифм із довільною основою до звичайного числа. log_2(8) залишається у вигляді log(8) / log(2), а не перетворюється на 3.
Спрощувати суми або різниці всередині логарифма, наприклад log(x + y), оскільки правила добутку та частки застосовуються лише до множення й ділення.
Розв’язувати рівняння, будувати графіки функцій або опрацьовувати вкладені логарифми.

Для таких завдань краще підходить повноцінна система комп’ютерної алгебри, наприклад Wolfram Alpha, або графічний калькулятор.

Коротка історія

Шотландський математик Джон Непер запровадив логарифми в 1614 році, щоб перетворити множення на додавання та скоротити час ручних обчислень для астрономів і навігаторів. Пізніше Генрі Бріґґс разом із Непером працював над створенням таблиць логарифмів за основою 10, опублікованих у 1617 році та використовуваних понад три століття. У 20 столітті логарифми набули нової ролі: Клод Шеннон використав їх у 1948 році для визначення біта — базової одиниці інформації, а тепер фахівці з інформатики використовують логарифми, щоб описувати ефективність масштабування алгоритмів, таких як двійковий пошук.

Поширені запитання

Що таке спрощувач логарифмів? Це інструмент, який переписує логарифмічний вираз за правилом логарифмів, наприклад перетворює log(x*y) на log(x) + log(y). Цей застосунок перевіряє повністю введений вираз на відповідність одному правилу за раз.

Чи спрощується log_2(8) до 3? Ні. Застосунок символьно застосовує формулу переходу до іншої основи й повертає log(8) / log(2). Він не обчислює логарифми з довільною основою до числа, навіть якщо числова відповідь є цілим числом.

Чи може застосунок поєднувати кілька правил для одного виразу? Ні. Кожне правило одночасно перевіряє весь вираз. Вираз, для якого потрібні два правила, наприклад спочатку відокремити добуток, а потім застосувати до степеня всередині нього правило степеня, повертається без змін.

Чому log(x + y) не спрощується далі? Правила добутку та частки застосовуються лише до множення й ділення всередині логарифма, а не до додавання чи віднімання. log(x + y) не можна переписати як log(x) + log(y); це поширена помилка.

Де відбувається обчислення? У браузері, на пристрої. Вираз не надсилається на сервер, а інструмент можна використовувати без реєстрації.

Спрощувач Логарифмів - Миттєві Покрокові Рішення