Калькулятор радіоактивного розпаду - Розрахунок періоду напіврозпаду та залишкової кількості

Що таке калькулятор радіоактивного розпаду?

Калькулятор радіоактивного розпаду визначає, скільки радіоактивної речовини залишиться через певний час, на основі її періоду напіврозпаду. Введіть початкову кількість, період напіврозпаду та час, що минув, і калькулятор покаже залишкову кількість разом із графіком кривої розпаду.

Радіоактивний розпад — це природний процес, під час якого нестабільні атомні ядра випромінюють енергію у вигляді радіації та перетворюються на інше, стабільніше ядро. Кожен радіоактивний ізотоп розпадається з власною сталою швидкістю, яку описує його період напіврозпаду: час, потрібний для розпаду половини атомів у зразку. Ця швидкість не змінюється під впливом температури, тиску чи хімічної форми речовини, тому розрахунки розпаду достатньо надійні для застосувань від лікування раку до датування стародавніх артефактів.

Формула радіоактивного розпаду

Калькулятор використовує стандартне рівняння експоненційного розпаду:

$N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$

• $N(t)$ — кількість, що залишилася через час $t$
• $N_0$ — початкова кількість
• $t$ — час, що минув
• $t_{1/2}$ — період напіврозпаду ізотопу

Показник степеня $t / t_{1/2}$ показує, скільки періодів напіврозпаду минуло. Після одного періоду напіврозпаду залишається половина початкової кількості. Після двох періодів залишається чверть. Після трьох — одна восьма, і так далі.

Той самий закон часто записують із використанням сталої розпаду $\lambda$ замість періоду напіврозпаду:

$N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \approx \frac{0.693}{t_{1/2}}$

Обидві форми дають однакові результати. Форму з періодом напіврозпаду легше використовувати для ручних розрахунків, оскільки $(1/2)^n$ має очевидний зміст для цілого числа періодів напіврозпаду.

Розуміння періоду напіврозпаду

Періоди напіврозпаду різняться між ізотопами в дуже широких межах. Полоній-214 має період напіврозпаду близько 164 мікросекунд. Телур-128 має період напіврозпаду приблизно 2,2 септильйона (2,2 × 10²⁴) років. Приблизно після 10 періодів напіврозпаду в зразку залишається менше ніж 0,1%, тому 10 періодів напіврозпаду часто використовують як приблизне правило для визначення моменту, коли радіоактивне джерело «фактично зникає».

Як розрахувати радіоактивний розпад

1. Введіть початкову кількість. Її можна вказати в будь-яких одиницях — грамах, атомах, бекерелях, кюрі, — і результат буде наведено в тих самих одиницях.
2. Введіть період напіврозпаду ізотопу та одиницю часу (секунди, хвилини, години, дні або роки).
3. Введіть час, що минув, і його одиницю. Одиниця не повинна збігатися з одиницею періоду напіврозпаду: перед обчисленням калькулятор переводить обидва значення в однакові одиниці.
4. Перегляньте залишкову кількість і графік кривої розпаду, який показує кількість протягом усього введеного періоду.

Приклад обчислення

Йод-131, який використовують для лікування та візуалізації щитоподібної залози, має період напіврозпаду 8,02 дня. Якщо початкова кількість становить 1 000 мілікюрі, скільки залишиться через 24,06 дня?

$t / t_{1/2} = 24.06 / 8.02 = 3$ $N(t) = 1000 \times (1/2)^3 = 1000 \times 0.125 = 125 \text{ мілікюрі}$

Минуло три періоди напіврозпаду, тому зразок тричі зменшився вдвічі: 1 000 → 500 → 250 → 125 мілікюрі.

Поширені ізотопи та їхні періоди напіврозпаду

Практичне застосування розрахунків розпаду

Медицина. Джерела променевої терапії, такі як кобальт-60, втрачають активність у міру розпаду, тому протягом строку використання джерела час опромінення потрібно збільшувати, щоб забезпечити ту саму дозу. У ядерній медицині для сканування використовують короткоживучі ізотопи, такі як технецій-99m, і планують процедуру так, щоб активність була достатньою для отримання зображення, але не надто високою, аби обмежити дозу опромінення пацієнта. Оскільки його період напіврозпаду становить 6 годин, через 24 години (чотири періоди напіврозпаду) залишається приблизно 6% початкової активності; через два дні (вісім періодів напіврозпаду) залишається менше ніж 1%.

Датування. Археологи оцінюють вік органічних решток, вимірюючи, скільки в них залишилося вуглецю-14, і використовуючи його період напіврозпаду тривалістю 5 730 років. Цей метод працює приблизно до 50 000–60 000 років, після чого залишається надто мало вуглецю-14 для вимірювання. Геологи датують гірські породи протягом значно довших періодів за допомогою розпаду урану-свинцю та калію-аргону; саме так вік Землі оцінили приблизно в 4,54 мільярда років.

Безпека та промисловість. Після ядерної аварії короткоживучі ізотопи, такі як йод-131, становлять безпосередню, але тимчасову небезпеку, тоді як довгоживучі ізотопи, такі як цезій-137 (приблизно 30 років), залишаються причиною занепокоєння протягом десятиліть. Джерела для промислової радіографії виводять з експлуатації, коли через розпад час опромінення стає непрактично довгим, а відпрацьоване ядерне паливо роками зберігають у басейнах витримки, оскільки під час розпаду воно продовжує виділяти тепло.

Обмеження цього калькулятора

Цей калькулятор виконує розрахунки простого розпаду одного ізотопу на стабільний продукт. Він не моделює:

• Ланцюги розпаду. Багато важких ізотопів розпадаються через послідовність радіоактивних дочірніх продуктів, перш ніж утворюється стабільний продукт. Наприклад, уран-238 проходить приблизно 14 стадій, перш ніж перетворитися на стабільний свинець-206. Визначення кількості кожного проміжного ізотопу потребує розв’язання рівнянь Бейтмена — системи пов’язаних диференціальних рівнянь.
• Малі зразки. Формула описує середню поведінку великої кількості атомів. Якщо атомів лише кілька десятків, фактична кількість розпадів у кожному інтервалі коливається навколо прогнозованої кривої.
• Калібрування. Для датування безпосередньо розрахований вік не дорівнює календарним рокам. Наприклад, радіовуглецеве датування потребує калібрувальних кривих, які враховують минулі зміни вмісту атмосферного вуглецю-14.

Поширені запитання

Як визначають період напіврозпаду? Період напіврозпаду — це час, потрібний для розпаду половини радіоактивних атомів у зразку. Для певного ізотопу він є сталим незалежно від розміру зразка чи фізичних умов.

Чи можна прискорити або сповільнити радіоактивний розпад? За звичайних умов — ні. Швидкість розпаду не залежить від температури, тиску чи хімічного зв’язку. Саме ця сталість робить радіометричне датування та планування доз надійними. Деякі екзотичні види розпаду, наприклад електронне захоплення, демонструють незначні зміни швидкості лише за екстремальних умов, таких як надра зорі, які не стосуються повсякденного використання.

Що відбувається після того, як минуло багато періодів напіврозпаду? Залишкова кількість продовжує зменшуватися вдвічі, але математично ніколи не досягає нуля. Після 10 періодів напіврозпаду залишається приблизно 0,0977%. Після 20 періодів залишається менше однієї мільйонної початкової кількості. У радіаційній безпеці 10 періодів напіврозпаду є поширеним порогом, після якого джерело вважають таким, що більше не становить істотної небезпеки.

Як перевести одиниці часу? 1 рік = 365,25 дня, 1 день = 24 години, 1 година = 60 хвилин, 1 хвилина = 60 секунд. Калькулятор виконує перетворення автоматично, тому період напіврозпаду та час, що минув, можна вводити в різних одиницях.

Чи можна використовувати цей калькулятор для радіовуглецевого датування? Він може надати приблизну оцінку на основі періоду напіврозпаду вуглецю-14 тривалістю 5 730 років. Професійне датування використовує опубліковані калібрувальні криві для перетворення необробленого результату на календарні роки, оскільки рівень атмосферного вуглецю-14 з часом змінювався.

Чи враховує цей калькулятор ланцюги розпаду? Ні. Він розраховує одноетапний розпад материнського ізотопу на стабільний продукт. Для ізотопів, які розпадаються через ланцюг радіоактивних дочірніх продуктів, таких як уран-238, потрібні рівняння Бейтмена, які цей інструмент не розв’язує.