Калькулятор розподілу Пуассона - Обчислення ймовірностей подій

Що таке калькулятор розподілу Пуассона?

Калькулятор розподілу Пуассона визначає ймовірність того, що певна кількість подій відбудеться за фіксований проміжок часу або в заданому просторі, якщо відома їхня середня частота. Його використовують, коли події відбуваються по одній, незалежно одна від одної, зі сталою середньою інтенсивністю. Типові приклади — кількість телефонних дзвінків, які отримує кол-центр за годину, або кількість друкарських помилок на сторінці.

Формула розподілу Пуассона

Розподіл Пуассона задає ймовірність рівно k подій, якщо середня інтенсивність дорівнює λ (грецька літера лямбда):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Кожен символ означає:

• λ (лямбда) — середня кількість подій за один інтервал. Це єдиний параметр розподілу.
• k — точна кількість подій, імовірність якої обчислюють. Це має бути ціле число, 0 або більше.
• e — число Ейлера, стала величина, приблизно дорівнює 2,71828.
• k! — «факторіал k», добуток усіх цілих чисел від 1 до k. Наприклад, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. За домовленістю, 0! = 1.

Для формули потрібні лише λ і k. Загальна кількість випробувань, на відміну від біноміального розподілу, не потрібна.

Як обчислити ймовірність за розподілом Пуассона

1. Виберіть λ — середню кількість подій у досліджуваному інтервалі.
2. Виберіть k — точну кількість подій, для якої потрібно знайти ймовірність.
3. Піднесіть e до степеня, що дорівнює мінус λ: це дає e^(−λ).
4. Піднесіть λ до степеня k: це дає λ^k.
5. Знайдіть k! — факторіал k.
6. Перемножте результати кроків 3 і 4, а потім поділіть на результат кроку 5.

Отримане число є ймовірністю від 0 до 1. Помножте його на 100, щоб подати результат у відсотках.

Приклад обчислення

Кол-центр отримує в середньому 5 дзвінків за годину (λ = 5). Яка ймовірність того, що за певну годину він отримає рівно 3 дзвінки (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Перемноження: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Ділення на 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Ймовірність рівно 3 дзвінків за цю годину становить приблизно 0,140, або 14%.

Додаткові приклади

Де використовують розподіл Пуассона

Розподіл Пуассона моделює кількість рідкісних незалежних подій. Поширені застосування:

• Кол-центри та обслуговування клієнтів: прогнозування кількості дзвінків або чатів за годину.
• Виробництво: оцінювання кількості дефектів у партії продукції.
• Страхування: оцінювання кількості страхових заяв за певний період.
• Біологія та медицина: моделювання кількості мутацій або поширення рідкісних захворювань.
• Фізика: опис радіоактивного розпаду, за якого кожен атом розпадається незалежно з постійною середньою інтенсивністю.
• Транспортна та мережева інженерія: оцінювання прибуття транспортних засобів на перехрестя або запитів до сервера.

Умови використання розподілу Пуассона

Розподіл Пуассона відповідає ситуації лише тоді, коли виконуються всі ці умови:

• Події відбуваються по одній; дві події не можуть відбутися в один і той самий момент.
• Події відбуваються незалежно — одна подія не робить наступну більш або менш імовірною.
• Середня інтенсивність λ залишається сталою протягом досліджуваного інтервалу.

Якщо інтенсивність змінюється з часом або події мають тенденцію утворювати скупчення, звичайний розподіл Пуассона погано описуватиме дані.

Розподіл Пуассона та споріднені розподіли

• Біноміальний розподіл: використовується, коли є фіксована кількість випробувань і відома ймовірність успіху в кожному з них, наприклад під час підкидання монети 20 разів. Розподіл Пуассона є граничним випадком біноміального розподілу, коли кількість випробувань стає дуже великою, а ймовірність успіху в одному випробуванні прямує до нуля, тоді як їхній добуток залишається близьким до λ.
• Нормальний розподіл: за великих λ, приблизно понад 20, розподіл Пуассона близький до дзвоноподібного нормального розподілу із середнім λ і дисперсією λ.
• Експоненційний розподіл: розподіл Пуассона підраховує кількість подій за фіксований інтервал, тоді як експоненційний розподіл описує час очікування між цими подіями.

Коротко про історію

Французький математик Сімеон-Дені Пуассон запровадив цей розподіл у 1837 році в книзі про застосування теорії ймовірностей до судових рішень. Спочатку він привернув мало уваги. Його використання розширилося на початку 20 століття, після того як статистики, зокрема Ладіслав Борткевич і Рональд Фішер, застосували його до реальних даних підрахунків, включно з відомим дослідженням прусських солдатів, загиблих від ударів коней.

Поширені запитання

Що означає лямбда (λ) у розподілі Пуассона? Лямбда — це середня кількість подій, очікувана в досліджуваному інтервалі. Вона також є дисперсією розподілу, тому більша λ означає і більшу середню кількість подій, і більший розкид можливих результатів.

Чи можуть k або λ бути від’ємними або дробовими? λ має бути більшою за 0, але може бути десятковим числом, наприклад 2,5 події за годину. k має бути цілим числом 0 або більше, оскільки воно підраховує фактичні події; воно не може бути від’ємним або дробовим.

Чим розподіл Пуассона відрізняється від біноміального розподілу? Для біноміального розподілу потрібні фіксована кількість випробувань і фіксована ймовірність успіху в кожному випробуванні. Для розподілу Пуассона потрібна лише середня інтенсивність; він застосовується до подій, які в принципі можуть відбутися будь-яку кількість разів.

Коли замість нього слід використовувати нормальний розподіл? За великих λ, зазвичай понад приблизно 20, нормальний розподіл із тим самим середнім і дисперсією добре наближає розподіл Пуассона і часто є зручнішим для ручних обчислень.

Чому калькулятор іноді показує число в експоненційному записі? Зазвичай результати показуються з точністю до шести знаків після десяткової коми. Коли ймовірність менша за 0,0001, округлення до шести знаків після десяткової коми дасть 0,000000 і приховає її справжній малий розмір, тому калькулятор натомість переходить до експоненційного запису. Для λ = 20 і k = 1 він показує 4.122307e-8, що означає 0,00000004122307.

Чи є обмеження на значення, які приймає калькулятор? Так. λ має бути більшою за 0 і не більшою за 700, а k має бути цілим числом від 0 до 1000. За межами цих обмежень калькулятор показує помилку. Граничні значення дають змогу утримувати результат у діапазоні чисел, які може зберігати комп’ютер, а діаграму — у межах читабельної кількості стовпчиків.

Чи допускає розподіл Пуассона більше однієї події одночасно? Ні. Модель передбачає, що події відбуваються по одній. Якщо дві події регулярно відбуваються одночасно, дані краще описує інший розподіл.

Джерела

1. Пуассон, Сімеон-Дені. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Париж, 1837.
2. Хайт, Френк А. Handbook of the Poisson Distribution. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, розділ 1,3, 6,6, 19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Джонсон, Норман Л., Адрієнн В. Кемп і Семюел Коутц. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.