Máy Tính Phân Phối Poisson - Tính Xác Suất Sự Kiện

Máy tính phân phối Poisson là gì?

Máy tính phân phối Poisson tìm xác suất có một số sự kiện nhất định xảy ra trong một khoảng thời gian hoặc không gian cố định, dựa trên tần suất trung bình của các sự kiện. Công cụ này được dùng khi các sự kiện xảy ra lần lượt, độc lập với nhau và có tốc độ trung bình ổn định. Ví dụ điển hình gồm số cuộc gọi mà một trung tâm chăm sóc khách hàng nhận được trong một giờ hoặc số lỗi đánh máy trên một trang.

Công thức phân phối Poisson

Phân phối Poisson cho biết xác suất có chính xác k sự kiện khi tốc độ trung bình là λ (chữ cái lambda trong tiếng Hy Lạp):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Mỗi ký hiệu có nghĩa là:

• λ (lambda) — số sự kiện trung bình trong mỗi khoảng. Đây là tham số duy nhất của phân phối.
• k — số sự kiện chính xác cần tính xác suất. Đây phải là một số nguyên không âm, 0 hoặc lớn hơn.
• e — số Euler, một hằng số cố định xấp xỉ bằng 2,71828.
• k! — “giai thừa của k”, là tích của tất cả các số nguyên từ 1 đến k. Ví dụ, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Theo quy ước, 0! = 1.

Công thức chỉ cần λ và k. Công thức không cần tổng số phép thử, khác với phân phối nhị thức.

Cách tính xác suất Poisson

1. Chọn λ, số sự kiện trung bình trong khoảng đang được nghiên cứu.
2. Chọn k, số sự kiện chính xác cần tìm xác suất.
3. Tính e lũy thừa âm λ: kết quả là e^(−λ).
4. Tính λ lũy thừa k: kết quả là λ^k.
5. Tìm k!, tức giai thừa của k.
6. Nhân kết quả của bước 3 với kết quả của bước 4, rồi chia cho kết quả của bước 5.

Số nhận được là một xác suất nằm giữa 0 và 1. Nhân số đó với 100 để biểu diễn dưới dạng phần trăm.

Ví dụ minh họa

Một trung tâm chăm sóc khách hàng nhận trung bình 5 cuộc gọi mỗi giờ (λ = 5). Xác suất trung tâm nhận chính xác 3 cuộc gọi trong một giờ nhất định (k = 3) là bao nhiêu?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Nhân: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Chia cho 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Xác suất có chính xác 3 cuộc gọi trong giờ đó là khoảng 0,140, tức 14%.

Các ví dụ khác

Phân phối Poisson được sử dụng ở đâu

Phân phối Poisson mô hình hóa số lượng các sự kiện hiếm và độc lập. Các ứng dụng phổ biến gồm:

• Trung tâm chăm sóc khách hàng và dịch vụ khách hàng: dự đoán số cuộc gọi hoặc cuộc trò chuyện đến mỗi giờ.
• Sản xuất: ước tính số lỗi trong một lô sản phẩm.
• Bảo hiểm: ước tính số yêu cầu bồi thường đến trong một khoảng thời gian nhất định.
• Sinh học và y học: mô hình hóa số đột biến hoặc sự lây lan của các bệnh hiếm.
• Vật lý: mô tả sự phân rã phóng xạ, trong đó mỗi nguyên tử phân rã độc lập với tốc độ trung bình không đổi.
• Giao thông và kỹ thuật mạng: ước tính số phương tiện đến một giao lộ hoặc số yêu cầu gửi đến máy chủ.

Điều kiện sử dụng phân phối Poisson

Phân phối Poisson chỉ phù hợp với một tình huống khi tất cả các điều kiện sau đều đúng:

• Các sự kiện xảy ra lần lượt; hai sự kiện không thể xảy ra đúng cùng một thời điểm.
• Các sự kiện xảy ra độc lập — một sự kiện không làm cho sự kiện tiếp theo có khả năng xảy ra cao hơn hoặc thấp hơn.
• Tốc độ trung bình λ không đổi trong khoảng đang được nghiên cứu.

Nếu tốc độ thay đổi theo thời gian hoặc các sự kiện có xu hướng tập trung thành cụm, phân phối Poisson thông thường sẽ không mô tả dữ liệu tốt.

Poisson và các phân phối liên quan

• Phân phối nhị thức: được dùng khi có số phép thử cố định và xác suất thành công đã biết trong mỗi phép thử, chẳng hạn như tung đồng xu 20 lần. Phân phối Poisson là dạng mà phân phối nhị thức tiến tới khi số phép thử tăng rất lớn và xác suất thành công trong mỗi phép thử tiến dần về 0, trong khi tích của chúng duy trì xấp xỉ λ.
• Phân phối chuẩn: khi λ lớn, thường trên 20, phân phối Poisson có hình dạng gần với phân phối chuẩn hình chuông, với trung bình λ và phương sai λ.
• Phân phối mũ: trong khi phân phối Poisson đếm số sự kiện xảy ra trong một khoảng cố định, phân phối mũ mô tả thời gian chờ giữa các sự kiện đó.

Ghi chú về lịch sử

Nhà toán học người Pháp Siméon Denis Poisson đã giới thiệu phân phối này vào năm 1837, trong một cuốn sách về xác suất áp dụng cho các phán quyết của tòa án. Ban đầu, phân phối này ít được chú ý. Việc sử dụng nó tăng lên vào đầu thế kỷ 20, sau khi các nhà thống kê như Ladislaus Bortkiewicz và Ronald Fisher áp dụng nó cho dữ liệu đếm thực tế, trong đó có một nghiên cứu nổi tiếng về những binh lính Phổ thiệt mạng do bị ngựa đá.

Các câu hỏi thường gặp

Lambda (λ) có nghĩa là gì trong phân phối Poisson? Lambda là số sự kiện trung bình dự kiến trong khoảng đang được nghiên cứu. Nó cũng là phương sai của phân phối, vì vậy λ lớn hơn đồng nghĩa với cả số lượng trung bình cao hơn và độ phân tán lớn hơn trong các kết quả có thể xảy ra.

k hoặc λ có thể là số âm hay phân số không? λ phải lớn hơn 0 nhưng có thể là số thập phân, chẳng hạn 2,5 sự kiện mỗi giờ. k phải là một số nguyên từ 0 trở lên, vì nó đếm các sự kiện thực tế; k không thể là số âm hoặc phân số.

Phân phối Poisson khác phân phối nhị thức như thế nào? Phân phối nhị thức cần một số phép thử cố định và một xác suất thành công cố định cho mỗi phép thử. Phân phối Poisson chỉ cần một tốc độ trung bình và phù hợp với các sự kiện về nguyên tắc có thể xảy ra bất kỳ số lần nào.

Khi nào nên dùng phân phối chuẩn thay thế? Khi λ lớn, thường trên khoảng 20, phân phối chuẩn có cùng trung bình và phương sai sẽ xấp xỉ rất gần phân phối Poisson, đồng thời thường dễ tính thủ công hơn.

Tại sao máy tính đôi khi hiển thị một số ở dạng ký hiệu khoa học? Kết quả thường được hiển thị với sáu chữ số thập phân. Khi xác suất nhỏ hơn 0,0001, sáu chữ số thập phân sẽ làm tròn kết quả thành 0,000000 và che mất độ nhỏ thực sự của nó, nên máy tính chuyển sang ký hiệu khoa học. Với λ = 20 và k = 1, máy tính hiển thị 4.122307e-8, nghĩa là 0,00000004122307.

Máy tính chấp nhận các giá trị trong giới hạn nào? Có. λ phải lớn hơn 0 và không lớn hơn 700, còn k phải là số nguyên từ 0 đến 1000. Ngoài các giới hạn đó, máy tính sẽ hiển thị lỗi. Các giới hạn này giữ cho kết quả nằm trong phạm vi số mà máy tính có thể lưu trữ, đồng thời giữ cho biểu đồ có số cột dễ đọc.

Phân phối Poisson có cho phép nhiều hơn một sự kiện xảy ra cùng lúc không? Không. Mô hình giả định các sự kiện xảy ra lần lượt. Nếu hai sự kiện thường xuyên xảy ra cùng nhau, một phân phối khác sẽ phù hợp với dữ liệu hơn.

Tài liệu tham khảo

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paris, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, mục 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp và Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.