حاسبة المنحنى الرأسي - أداة تصميم الطرق والطرق السريعة

ما هي حاسبة المنحنى الرأسي؟

تحسب حاسبة المنحنى الرأسي المناسيب وقيمة K والنقاط الرئيسية لمنحنى رأسي، وهو منحنى قطع مكافئ يستخدمه المهندسون لربط انحدارين للطريق بسلاسة. فبدلًا من التقاء الطريق بزاوية حادة عند تغيّر الانحدار، يدمج المنحنى الرأسي الانحدارين في منحنى متصل واحد. وهذا يجعل القيادة أكثر سلاسة، ويحافظ على قدرة السائقين على رؤية مسافة كافية أمامهم للتوقف بأمان، ويساعد على تصريف المياه بصورة صحيحة.

يستخدم المهندسون المنحنيات الرأسية عند تصميم الطرق السريعة والشوارع والسكك الحديدية ومدارج المطارات والمواقع المسوّاة مثل مواقف السيارات. وأينما احتاج طريق أو مسار إلى تغيير انحداره، ينفّذ المنحنى الرأسي هذا الانتقال.

منحنيات القمة ومنحنيات القاع

يكون المنحنى الرأسي من نوعين، بحسب مقارنة الانحدارين قبل المنحنى وبعده. ويُكتب الانحدار كنسبة مئوية: يرتفع انحدار قدره 3% بمقدار 3 أمتار لكل 100 متر مقطوع.

• منحنى القمة: يكون الانحدار الابتدائي أكبر من الانحدار النهائي (g₁ > g₂). يصعد الطريق، ثم يمر فوق نقطة مرتفعة، ثم يهبط — مثل بلوغ قمة تل.
• منحنى القاع: يكون الانحدار الابتدائي أصغر من الانحدار النهائي (g₁ < g₂). يهبط الطريق، ثم يمر عبر نقطة منخفضة، ثم يصعد — مثل قاع منخفض.
• إذا تساوى الانحداران، فلا حاجة إلى منحنى. فالطريق خط مستقيم أصلًا.

تهم منحنيات القمة أساسًا لمسافة الرؤية اللازمة للتوقف؛ إذ يجب أن يرى السائق مسافة كافية أمامه ليتوقف قبل الاصطدام بعائق. أما منحنيات القاع فتهم أساسًا لمسافة الرؤية بضوء المصابيح ليلًا ولتصريف المياه، إذ تتجمع المياه عند النقطة المنخفضة.

المصطلحات الأساسية

• PVI (نقطة التقاطع الرأسي): النقطة التي سيلتقي عندها خطّا الانحدار المستقيمان لو لم يوجد منحنى.
• PVC (نقطة بدء التقوس الرأسي): الموضع الذي يبدأ عنده المنحنى.
• PVT (نقطة التماس الرأسي): الموضع الذي ينتهي فيه المنحنى.
• قيمة K: طول المنحنى مقسومًا على التغير في الانحدار. وهي تقيس مدى تدريجية المنحنى.
• المحطة: قياس للمسافة على طول محور الطريق، ويُستخدم بدلًا من الإحداثيات العادية. في هذه الحاسبة، تُدخل المحطة والمنسوب بوحدة المتر.

يكون المنحنى متماثلًا عادةً: تقع PVC قبل PVI بمقدار نصف طول المنحنى، وتقع PVT بعده بمقدار نصف طول المنحنى.

معادلة المنحنى الرأسي

يتبع المنسوب عند أي نقطة على المنحنى معادلة تربيعية (قطع مكافئ):

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = المنسوب عند مسافة $x$ من PVC
• $y_{PVC}$ = المنسوب عند PVC
• $g_1$ = الانحدار الابتدائي، بصيغة عشرية (انحدار قدره 3% يساوي 0.03)
• $A$ = الفرق الجبري بين الانحدارين، $g_2 - g_1$ (بالصيغة العشرية)
• $L$ = طول المنحنى

معادلة قيمة K

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

تكون $g_1$ و$g_2$ هنا نسبتين مئويتين. وتعني قيمة K الأكبر منحنى أكثر تسطحًا وتدرجًا. وتحدد أدلة التصميم، مثل دليل AASHTO المعنون "سياسة تصميم الطرق السريعة والشوارع هندسيًا"، قيم K الدنيا للطرق السريعة، استنادًا إلى سرعة التصميم وما إذا كان المنحنى منحنى قمة أو قاع.

إذا كانت $g_1$ تساوي $g_2$، يكون التغير في الانحدار صفرًا وتصبح K غير معرّفة. وعندئذ تعرض الحاسبة شرطة بدلًا من قيمة K. وتُعد الانحدارات التي يختلف بعضها عن بعض بأقل من 0.0001% متساوية.

PVC وPVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

(تكون $g_1$ و$g_2$ نسبتين مئويتين هنا؛ ويحوّل القسمة على 200 النسبة المئوية إلى عدد عشري ويطبقها على نصف طول المنحنى.)

النقطة المرتفعة أو النقطة المنخفضة

تقع نقطة مرتفعة (في منحنى القمة) أو نقطة منخفضة (في منحنى القاع) على المنحنى عندما تكون إشارتا الانحدارين متعاكستين، أو عندما يكون أحد الانحدارين مساويًا للصفر تمامًا. وتكون مسافتها من PVC:

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

أضف $x$ إلى محطة PVC للحصول على محطة النقطة المرتفعة أو المنخفضة، ثم استخدم معادلة المنسوب أعلاه لإيجاد منسوبها. عندما تكون إشارتا الانحدارين متماثلتين، تقع هذه النقطة خارج النطاق من PVC إلى PVT، ولذلك يستمر الطريق في الارتفاع أو الانخفاض عبر المنحنى كله، وتبلغ الحاسبة بعدم وجود نقطة مرتفعة أو منخفضة. وعندما يكون أحد الانحدارين صفرًا، تقع النقطة تمامًا عند PVC أو PVT.

كيفية حساب منحنى رأسي

1. أدخل الانحدار الابتدائي والانحدار النهائي كنسبتين مئويتين. استخدم عددًا موجبًا للانحدار الصاعد وعددًا سالبًا للانحدار الهابط.
2. أدخل طول المنحنى بوحدة المتر.
3. أدخل محطة PVI ومنسوب PVI، وكلاهما بوحدة المتر.
4. اطلع على نوع المنحنى (قمة أو قاع أو لا هذا ولا ذاك)، وقيمة K، ومحطتي PVC وPVT ومنسوبيهما.
5. إذا كانت إشارتا الانحدارين متعاكستين، أو كان أحدهما صفرًا، تعرض الحاسبة أيضًا النقطة المرتفعة أو المنخفضة.
6. لإيجاد المنسوب عند أي نقطة أخرى، أدخل محطة الاستعلام. وإذا وقعت تلك المحطة خارج المنحنى، توضح الحاسبة ذلك بدلًا من إعطاء رقم، لأن المعادلة لا تنطبق إلا بين PVC وPVT.

مثال محلول: منحنى قمة

يصعد طريق بانحدار قدره 3%، ثم يهبط بانحدار قدره -2%. تقع PVI عند المحطة 1000.00 متر، ومنسوبها 150.00 متر. ويبلغ طول المنحنى 400 متر.

قيمة K: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: المحطة $= 1000 - 400/2 = 800.00$ م؛ والمنسوب $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ م

PVT: المحطة $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ م؛ والمنسوب $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ م

النقطة المرتفعة: بما أن 3 و−2 إشارتاهما متعاكستان، توجد نقطة مرتفعة. وتبعد $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ م عن PVC، ولذلك تكون محطتها $800 + 240 = 1040.00$ م. ومنسبها هو $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ م.

مثال محلول: منحنى قاع

يهبط طريق بانحدار قدره -3%، ثم يصعد بانحدار قدره 2%. تقع PVI عند المحطة 500.00 متر، ومنسوبها 85.00 متر. ويبلغ طول المنحنى 200 متر.

قيمة K: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: المحطة $= 400.00$ م؛ والمنسوب $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ م

PVT: المحطة $= 600.00$ م؛ والمنسوب $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ م

النقطة المنخفضة: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ م من PVC، ولذلك تكون محطتها $400 + 120 = 520.00$ م. ومنسبها هو $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ م.

هذه النقطة المنخفضة هي الموضع الذي تتجمع فيه المياه السطحية، ولذلك يضع المصمم مدخل تصريف عندها، وليس عند PVI.

الأسئلة الشائعة

ما قيمة K في تصميم المنحنى الرأسي؟ قيمة K هي طول المنحنى مقسومًا على الفرق المطلق بين الانحدارين. وتوضح عدد أمتار المنحنى التي تعطي تغيرًا قدره 1% في الانحدار. وتعني قيمة K الأعلى منحنى أكثر تسطحًا وتدرجًا.

كيف أعرف ما إذا كنت أحتاج إلى منحنى قمة أم منحنى قاع؟ قارن بين الانحدارين. فإذا كان الانحدار الابتدائي أكبر من الانحدار النهائي، فالمنحنى منحنى قمة. وإذا كان الانحدار الابتدائي أصغر من الانحدار النهائي، فالمنحنى منحنى قاع. أما الانحداران المتساويان فلا يحتاجان إلى منحنى.

ماذا يحدث إذا تساوى الانحدار الابتدائي والانحدار النهائي؟ لا حاجة إلى منحنى رأسي، لأن الطريق مستقيم أصلًا. وتكون قيمة K غير معرّفة، إذ يتطلب حسابها القسمة على تغير في الانحدار يساوي صفرًا؛ لذلك تعرض الحاسبة شرطة بدلًا من رقم.

كيف تجد النقطة المرتفعة أو المنخفضة للمنحنى؟ توجد عندما تكون إشارتا الانحدارين متعاكستين، أو عندما يكون أحدهما صفرًا. وتبلغ مسافتها من PVC $g_1 L / (g_1 - g_2)$. أضف هذه المسافة إلى محطة PVC لتحديد موقعها، ثم استخدم معادلة منسوب المنحنى لإيجاد منسوبها. وتضع الانحدارات ذات الإشارة المتماثلة هذه النقطة خارج المنحنى، ولذلك لا توجد نقطة من هذا النوع.

لماذا تهم النقطة المنخفضة في منحنى القاع لتصريف المياه؟ تتجمع المياه الجارية من الجانبين عند النقطة المنخفضة. وإذا وُضع مدخل التصريف عند PVI بدلًا من النقطة المنخفضة الفعلية، فقد تتجمع المياه على الطريق، لأن النقطتين نادرًا ما تتطابقان.

هل يمكن أن تقع محطة الاستعلام خارج المنحنى؟ نعم. تنطبق معادلة المنسوب فقط بين PVC وPVT. ولا يكون للمحطة الواقعة خارج هذا النطاق منسوب معرّف على المنحنى، ولذلك تبلغ الحاسبة بأنها خارج المنحنى.