مخطط الدوال المثلثية - تصور جيب، جا، ظل

ما هو راسم الدوال المثلثية؟

راسم الدوال المثلثية أداة ترسم منحنى دالة الجيب أو جيب التمام أو الظل، وتتيح للمستخدم تغيير شكله بضبط بضعة أعداد تُسمى المعلمات. يؤدي تحريك شريط التمرير إلى إعادة رسم المخطط فورًا، مما يسهل رؤية كيفية تغيّر السعة والتردد وإزاحة الطور للموجة.

الدوال المثلثية الأساسية الثلاث

ينشأ الجيب وجيب التمام والظل من نسب أضلاع المثلث القائم. على دائرة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل (دائرة الوحدة)، يكون sin(x) هو الارتفاع لنقطة عند الزاوية x، ويكون cos(x) هو الموضع الأفقي لتلك النقطة. والظل هو النسبة sin(x) / cos(x).

الجيب دالة فردية: sin(−x) = −sin(x). وجيب التمام دالة زوجية: cos(−x) = cos(x). وجيب التمام هو ببساطة الجيب مزاحًا إلى اليسار بمقدار π/2 راديان (90 درجة).

للظل مقاربات رأسية، وهي مستقيمات يقترب منها المنحنى أكثر فأكثر لكنه لا يلامسها أبدًا. تقع هذه المقاربات عند x = π/2 + nπ، حيث إن n أي عدد صحيح. وبما أن tan(x) = sin(x) / cos(x)، وأن cos(x) يساوي 0 عند تلك النقاط، فإن النسبة غير معرّفة هناك.

صيغة الدالة المثلثية

يرسم الراسم الدوال بالصيغة الآتية:

f(x) = A sin(Bx + C)

تُستخدم الصيغة نفسها لجيب التمام والظل، مع استبدال sin بـ cos أو tan. كل حرف هو معلمة يمكن ضبطها:

• A (السعة) تحدد ارتفاع الموجة، ويُقاس من خطها المركزي إلى قمة. يتيح الراسم قيماً من 0.1 إلى 5 للجيب وجيب التمام، ومن 0.1 إلى 2 للظل.
• B (التردد) يحدد عدد الدورات الكاملة التي تتسع لها مسافة معينة من المحور x. تؤدي قيمة أكبر لـ B إلى ضغط الموجة. يتيح الراسم قيماً من 0.1 إلى 5.
• C (إزاحة الطور) تحرك المنحنى بأكمله إلى اليسار أو اليمين من دون تغيير شكله. يتيح الراسم قيماً من −π إلى π، أي تقريبًا من −3.14 إلى 3.14.

تحرك إزاحة الطور الموجبة المخطط إلى اليسار، بينما تحركه الإزاحة السالبة إلى اليمين.

كيفية استخدام راسم الدوال المثلثية

1. اختر دالة — الجيب أو جيب التمام أو الظل — من قائمة الاختيار.
2. حرّك شريط تمرير السعة لتغيير ارتفاع الموجة.
3. حرّك شريط تمرير التردد لضغط الموجة أو تمديدها.
4. حرّك شريط تمرير إزاحة الطور لتحريك المنحنى جانبيًا.
5. اقرأ الصيغة الظاهرة أسفل أشرطة التمرير، واضغط على "Copy" لنسخها كنص.

يُحدَّث المخطط فور تحريك أحد أشرطة التمرير. وبالنسبة إلى الظل، تظهر فجوات صغيرة في الخط عند كل مقاربة. وهذا متوقع وليس خطأ.

اختبار حدود أشرطة التمرير

لمعرفة مدى ارتفاع الموجة، اضبط السعة على أعلى قيمة يتيحها التطبيق: 5 للجيب أو جيب التمام، و2 للظل. ولمشاهدة موجة ممددة تكاد تكون مستوية، اضبط التردد على أدنى قيمة له، وهي 0.1. يسهل تغيير شريط تمرير واحد في كل مرة تحديد المعلمة التي سببت كل تغيير.

كيفية حساب قيمة يدويًا

لنأخذ دالة جيب سعتها A = 2، وترددها B = 3، وإزاحة طورها C = π/4:

f(x) = 2 sin(3x + π/4)

لإيجاد f(π/6)، احسب أولًا الزاوية داخل دالة الجيب:

3 × (π/6) = π/2

π/2 + π/4 = 3π/4

ثم احسب قيمة الجيب واضربها في السعة:

f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1.414

أين تظهر الموجات المثلثية

تتبع أشياء كثيرة تتكرر بنمط سلس ذهابًا وإيابًا منحنى قريبًا من موجة الجيب، مثل الصوت، والتيار الكهربائي المتناوب، ومدّ المحيط، وتأرجح البندول، وطول فترة النهار خلال العام. يستخدم المهندسون الجيب وجيب التمام لوصف أنماط كهذه والتنبؤ بها. ويستخدم رسامو الحاسوب المنحنيات نفسها لجعل الحركة سلسة، مثل دورة مشي متمايلة أو حركة كاميرا متدرجة.

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بين الجيب وجيب التمام والظل؟

يتذبذب الجيب وجيب التمام كلاهما بين −1 و1، ودورتهما تساوي 2π، لكن جيب التمام يصل إلى كل نقطة في دورته قبل الجيب بربع دورة (π/2). والظل يساوي الجيب مقسومًا على جيب التمام. وله دورة مقدارها π، وهو غير محدود، وله مقاربات رأسية حيثما يساوي جيب التمام 0.

ما الذي تتحكم فيه السعة؟

تحدد السعة (A) مدى امتداد الموجة فوق خطها المركزي وتحته. وتتراوح في هذا الراسم من 0.1 إلى 5 للجيب وجيب التمام، ومن 0.1 إلى 2 للظل.

ما الذي يتحكم فيه التردد؟

يحدد التردد (B) عدد دورات الموجة التي تظهر ضمن مسافة ثابتة من المحور x. ويؤدي التردد الأعلى إلى حشر عدد أكبر من الدورات في المساحة نفسها. يتيح الراسم قيماً من 0.1 إلى 5.

لماذا تحرك إزاحة الطور الموجبة المخطط إلى اليسار بدلًا من اليمين؟

لأن إزاحة الطور C تُضاف قبل قياس الزاوية، داخل الدالة: f(x) = sin(Bx + C). تعني قيمة C الموجبة أن الزاوية تبلغ قيمة معينة عند قيمة أصغر لـ x، ولذلك تظهر النقطة نفسها على المنحنى في وقت أبكر، أي مزاحة إلى اليسار لا إلى اليمين.

لماذا توجد فجوات في مخطط الظل؟

تكون دالة الظل غير معرّفة حيثما يساوي جيب التمام 0، ويحدث ذلك عند x = π/2 + nπ. يقطع الراسم الخط عند تلك النقاط بدلًا من رسم وصلة زائفة مستقيمة عبر الفجوة.

هل يستخدم الراسم الدرجات أم الراديانات؟

الراديانات. تعادل الدورة الكاملة 2π راديان، وهو ما يساوي 360 درجة. لتحويل الدرجات إلى راديانات، اضرب في π/180.