مبسط اللوغاريتمات - حلول فورية خطوة بخطوة

مبسّط اللوغاريتمات

مبسّط اللوغاريتمات أداة تعيد كتابة تعبير لوغاريتمي بتطبيق قاعدة لوغاريتمية قياسية واحدة، مثل قاعدة حاصل الضرب أو قاعدة القوة. يفحص تطبيق مبسّط اللوغاريتمات التعبير مقابل مجموعة ثابتة من الأنماط ويعيد الصورة المبسّطة. وإذا لم ينطبق أي نمط واحد، يعيد التعبير دون تغيير.

ما اللوغاريتم؟

يجيب اللوغاريتم عن سؤال واحد: ما القوة التي تحوّل الأساس إلى هذا العدد؟ إذا كان $b^y = x$، فإن $\log_b(x) = y$. اللوغاريتم هو معكوس رفع العدد إلى قوة، إذ يلغي تأثير القوة.

تظهر ثلاثة أنواع في معظم الأحيان:

• log: أساسه 10، وهو اللوغاريتم العشري. يسأل log(100): «إلى أي قوة يجب رفع 10 للحصول على 100؟»
• ln: أساسه $e$ (نحو 2.71828)، وهو اللوغاريتم الطبيعي الشائع في حساب التفاضل والتكامل.
• log_a: أساس مخصّص، ويُكتب باستخدام شرطة سفلية. يعني log_2(8) اللوغاريتم للأساس 2 للعدد 8.

لا يُعرَّف اللوغاريتم إلا إذا كانت قيمته الداخلة موجبة. يرفض التطبيق مدخلات مثل log(0) أو log(-5) باعتبارها غير صالحة، إذ لا توجد قوة حقيقية لأساس موجب تنتج صفراً أو عدداً سالباً.

قواعد اللوغاريتمات وصيغها

كيفية حساب لوغاريتم مبسّط

يختبر التطبيق كل قاعدة بالتتابع على التعبير الكامل المكتوب في مربع الإدخال. ويطبّق أول قاعدة يطابق شكلها التعبير بأكمله، لا جزءاً منه فقط.

بما أن كل قاعدة تفحص التعبير الكامل، يبسط التطبيق عملية واحدة في كل مرة. والتعبير الذي يجمع بين قوة وضرب في الحد نفسه، مثل log(x^2*y)، لا يطابق أي نمط واحد، ولذلك يعود دون تغيير. ولا يجمع التطبيق عدة قواعد لتفكيك تعبير أطول خطوةً خطوة.

بالنسبة إلى لوغاريتم عددي مجرد مثل log(8) أو log(100) أو ln(20)، يحسب التطبيق قيمة عددية بدلاً من تطبيق قاعدة رمزية. وتُعرض النتائج التي تكون أعداداً صحيحة كأعداد صحيحة، بينما تُقرَّب كل قيمة أخرى إلى ست مراتب عشرية. يحدث ذلك فقط عندما يكون الإدخال كله لوغاريتماً واحداً لعدد. أما الإدخال الذي يحتوي على لوغاريتمين، مثل log(8)/log(2)، فيعود دون تغيير بدلاً من حساب جزء منه.

مثال محلول

لتبسيط log(x*y)، يطابق التطبيق نمط قاعدة حاصل الضرب log(A*B). ويفصل التعبير إلى لوغاريتمين منفصلين موصولين بعلامة الجمع:

$\log(x \times y) = \log(x) + \log(y)$

بالنسبة إلى log(x^3)، يطابق نمط قاعدة القوة log(A^n)، وينتقل الأس إلى المقدمة:

$\log(x^3) = 3 \times \log(x)$

قد يكون الأس سالباً أو عشرياً. يعطي log(x^-2) النتيجة -2 * log(x)، ويعطي log(x^0.5) النتيجة 0.5 * log(x).

بالنسبة إلى أساس مخصّص مثل log_2(8)، يطبّق التطبيق صيغة تغيير الأساس رمزياً. ولا يحسب الإجابة العددية، وهي 3، بل يعيد النسبة log(8) / log(2).

أمثلة على المدخلات والنتائج

العمود الأخير هو اسم القاعدة الذي يعرضه التطبيق أسفل الرسم التخطيطي.

استخدام التطبيق

اكتب تعبيراً في حقل الإدخال باستخدام * للضرب، و/ للقسمة، و^ للأسس، واستخدم الأقواس لتجميع الحدود. استخدم صيغة الشرطة السفلية مثل log_2(8) لكتابة أساس مخصّص. تظهر النتيجة بمجرد كتابة تعبير صالح، مع رسم تخطيطي صغير يوضح الإدخال والنتيجة والقاعدة الوحيدة التي طُبّقت. ويتيح زر النسخ لصق النتيجة في مستندات أخرى.

القيود

التطبيق أداة صغيرة لمطابقة الأنماط، وليس نظاماً كاملاً للجبر الحاسوبي. ولا يستطيع:

• تطبيق قاعدتين أو أكثر بالتتابع على التعبير نفسه، ولذلك لا تُفكَّك تعبيرات متعددة الحدود مثل log(x^2*y/z) أكثر من ذلك.
• معالجة إدخال يحتوي على أكثر من لوغاريتم واحد. إذ يُعاد log(8)/log(2) دون تغيير، ولا يُحسب على أنه 3.
• حساب لوغاريتم ذي أساس مخصّص إلى عدد مجرد. إذ يبقى log_2(8) على صورة log(8) / log(2) بدلاً من أن يصبح 3.
• تبسيط المجاميع أو الفروق داخل اللوغاريتم، مثل log(x + y)، لأن قاعدتي حاصل الضرب وخارج القسمة تنطبقان فقط على الضرب والقسمة.
• حل المعادلات أو رسم الدوال أو معالجة اللوغاريتمات المتداخلة.

لهذه المهام، يكون نظام جبر حاسوبي كامل مثل Wolfram Alpha، أو آلة حاسبة بيانية، أنسب.

لمحة تاريخية

قدّم عالم الرياضيات الإسكتلندي جون نابيير اللوغاريتمات في 1614 لتحويل الضرب إلى جمع، مما قلّل وقت الحساب اليدوي لعلماء الفلك والملاحين. وعمل هنري بريغز لاحقاً مع نابيير على إنشاء جداول اللوغاريتمات ذات الأساس 10، التي نُشرت في 1617 واستُخدمت لأكثر من ثلاثة قرون. وفي القرن 20، اكتسبت اللوغاريتمات دوراً جديداً: فقد استخدمها كلود شانون في 1948 لتعريف البِت، وهي الوحدة الأساسية للمعلومات، ويستخدم علماء الحاسوب الآن اللوغاريتمات لوصف مدى كفاءة ازدياد حجم خوارزميات مثل البحث الثنائي.

الأسئلة الشائعة

ما مبسّط اللوغاريتمات؟ هو أداة تعيد كتابة تعبير لوغاريتمي باستخدام قاعدة لوغاريتمية، مثل تحويل log(x*y) إلى log(x) + log(y). يطابق هذا التطبيق قاعدة واحدة في كل مرة مع التعبير الكامل المكتوب.

هل يُبسَّط log_2(8) إلى 3؟ لا. يطبّق التطبيق صيغة تغيير الأساس رمزياً ويعيد log(8) / log(2). ولا يحسب اللوغاريتمات ذات الأساس المخصّص إلى عدد، حتى عندما تكون الإجابة العددية عدداً صحيحاً.

هل يستطيع التطبيق جمع عدة قواعد في تعبير واحد؟ لا. تفحص كل قاعدة التعبير بأكمله دفعة واحدة. ويُعاد دون تغيير التعبير الذي يحتاج إلى قاعدتين، مثل فصل حاصل ضرب ثم تطبيق قاعدة القوة داخله.

لماذا لا يُبسَّط log(x + y) أكثر؟ تنطبق قاعدتا حاصل الضرب وخارج القسمة فقط على الضرب والقسمة داخل اللوغاريتم، لا على الجمع أو الطرح. ولا يمكن إعادة كتابة log(x + y) على صورة log(x) + log(y)؛ فهذا خطأ شائع.

أين يحدث الحساب؟ في المتصفح وعلى الجهاز. لا يُرسل التعبير إلى خادم، ويمكن استخدام الأداة مجاناً من دون إنشاء حساب.