حل معادلة يونغ-لابلاس | الضغط البيني

ما معادلة يونغ-لابلاس؟

معادلة يونغ-لابلاس هي صيغة في ميكانيكا الموائع تعطي فرق الضغط عبر سطح فاصل منحني بين مائعين، مثل سطح قطرة ماء أو فقاعة صابون. وتوضح أن فرق الضغط هذا يعتمد على التوتر السطحي للمائع ومدى انحناء السطح الفاصل. وتفسر المعادلة سبب تراكم الضغط داخل القطرات والفقاعات، وسبب امتلاك الأجسام الأصغر ضغطًا داخليًا أعلى من الأجسام الأكبر.

سُمّيت نسبةً إلى توماس يونغ وبيير-سيمون لابلاس، إذ وصف كل منهما هذه العلاقة في أوائل عقد 1800.

صيغة معادلة يونغ-لابلاس

الصيغة العامة للمعادلة هي:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ هو فرق الضغط عبر السطح الفاصل، بوحدة الباسكال (Pa)
• $\gamma$ (غاما) هو التوتر السطحي للمائع، بوحدة النيوتن لكل متر (N/m)
• $R_1$ و$R_2$ هما نصفا قطري الانحناء الرئيسيان للسطح، بوحدة المتر (m)

ينحني السطح بطرق مختلفة في اتجاهات مختلفة. ويصف $R_1$ و$R_2$ الانحناء على امتداد اتجاهين متعامدين. وفي حالة الكرة، مثل القطرة أو الفقاعة، يكون $R_1$ مساويًا لـ$R_2$، ولذلك تُبسَّط الصيغة إلى:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

اصطلاح الإشارة

يكون الضغط دائمًا أعلى على الجانب المقعّر من السطح الفاصل المنحني، أي الجانب الذي يبتعد عنه تحدّب السطح. وبالنسبة إلى القطرة أو الفقاعة، يعني ذلك أن الضغط الداخلي أعلى من الضغط الخارجي. ويُعد نصف القطر موجبًا عندما يقع مركز انحنائه في جهة الضغط الأعلى. وإذا انحنى السطح في الاتجاه المعاكس على أحد الاتجاهين، يُعد نصف القطر سالبًا. أما السطح الفاصل ذو الشكل السرجي، مثل عنق السائل بين حبتين متلامستين، فله نصف قطر موجب وآخر سالب، ولذلك يتلاشى الحدّان جزئيًا.

تستخدم هذه الحاسبة أنصاف أقطار موجبة فقط.

حالات خاصة

• سطح مستوٍ: كلما ازداد نصف القطر مقتربًا من اللانهاية، صغر الحد المقابل له في الصيغة مقتربًا من الصفر. ولا يكون في السطح الفاصل المستوي تمامًا أي فرق في الضغط.
• أسطوانة: ينحني السطح الأسطواني الطويل، مثل نفاثة سائل خارجة من فوهة، في اتجاه واحد فقط. ويكون أحد نصفي القطرين هو نصف قطر الأسطوانة، بينما يكون الآخر لا نهائيًا على امتداد طولها، ولذلك تختزل الصيغة إلى $\Delta P = \gamma / R$. وهذا نصف فرق الضغط في كرة لها نصف القطر نفسه.
• المقاييس الصغيرة جدًا: تحت نحو 10 إلى 20 نانومترًا، تصبح تأثيرات إضافية مثل توتر الخط مهمة، وتفقد المعادلة البسيطة دقتها.

كيفية حساب فرق الضغط باستخدام معادلة يونغ-لابلاس

1. حدّد التوتر السطحي للمائع، بوحدة N/m، عند درجة الحرارة المعنية. وينخفض التوتر السطحي مع ارتفاع درجة الحرارة.
2. قِس أو قدّر نصف قطر الانحناء الرئيسي الأول، $R_1$، بوحدة المتر.
3. قِس أو قدّر نصف قطر الانحناء الرئيسي الثاني، $R_2$، بوحدة المتر. وبالنسبة إلى الكرة، استخدم القيمة نفسها لـ$R_1$. وبالنسبة إلى الأسطوانة، استخدم عددًا كبيرًا جدًا بدلًا من اللانهاية.
4. اضرب التوتر السطحي في مجموع $1/R_1$ و$1/R_2$. والناتج هو فرق الضغط بوحدة الباسكال.

حافظ على كل قيمة بوحدات النظام الدولي. فخلط المليمترات بالأمتار، مثلًا، يجعل الإجابة خاطئة بعامل قدره ألف.

مثال محلول

لنأخذ قطرة ماء كروية نصف قطرها 1 مليمتر (0.001 متر)، وتوترها السطحي 0.072 N/m، وهي قيمة نموذجية للماء قرب درجة حرارة الغرفة.

بما أن القطرة كرة، فإن $R_1 = R_2 = R$، ولذلك:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

يكون الضغط داخل القطرة أعلى من ضغط الهواء المحيط بمقدار 144 Pa. وهذا مقدار صغير مقارنة بالضغط الجوي الطبيعي، الذي يبلغ نحو 101,325 Pa، لكن التأثير يزداد بسرعة مع انكماش القطرة. فالقطرة التي يبلغ نصف قطرها عُشر ذلك، أي 0.1 مم، يكون فرق الضغط فيها أكبر عشر مرات: 1,440 Pa. وتبلغ القطرة التي نصف قطرها 0.01 مم ضغطًا مقداره 14,400 Pa، أي أكثر من 14% من الضغط الجوي.

مجالات تطبيق المعادلة

• القطرات والفقاعات: يؤدي ارتفاع الضغط داخل القطرات الصغيرة إلى ظاهرة نضج أوستفالد، وهي العملية التي تنكمش فيها القطرات الصغيرة في المستحلب بينما تنمو القطرات الأكبر، لأن محتوياتها تنتشر من الضغط المرتفع إلى الضغط المنخفض.
• الخاصية الشعرية: تسحب الخاصية الشعرية السائل إلى أعلى على امتداد السطح المنحني داخل الأنبوب الضيق. ولهذا يرتفع الماء في المناشف الورقية والأنابيب الزجاجية الضيقة.
• التنفس: تتصرف الأكياس الهوائية الصغيرة في الرئتين، التي تُسمى الحويصلات الهوائية، مثل فقاعات صغيرة. وتخفض مادة تُسمى السورفاكتانت الرئوي التوتر السطحي، كي لا تنهار الحويصلات الصغيرة تحت الضغط الذي تتنبأ به المعادلة. وقد يُصاب الأطفال الخُدَّج الذين يفتقرون إلى كمية كافية من هذا العامل بمشكلات في التنفس لهذا السبب.
• الطباعة النافثة للحبر: تشكّل فوهات الطابعات قطرات يبلغ عرضها عشرات الميكرومترات، بحيث يكون الضغط الناشئ عن انحناء السطح كبيرًا بما يكفي لتحديد كيفية خروج الحبر من الفوهة.
• علم المواد: تستخدم الأجهزة التي تقيس كيفية ابتلال السوائل لسطح ما، وكيفية تصرف الطلاءات الرقيقة، المعادلةَ لربط شكل القطرة بالطاقة السطحية.

التاريخ

لاحظ الناس صعود السوائل في الأنابيب الضيقة قبل وقت طويل من تفسير السبب. وفي أوائل عقد 1700، أثبت فرانسيس هاوكسبي تجريبيًا أن الأنابيب الأضيق تسبب ارتفاعًا شعريًا أكبر، وفي 1718 وصف جيمس جورين الارتفاع بأنه يتناسب عكسيًا مع قطر الأنبوب.

شرح توماس يونغ الفيزياء الكامنة في بحث نُشر عام 1805، فقدم التوتر السطحي بوصفه خاصية للمائع وربطه بالضغط عبر الأسطح المنحنية، رغم أن معالجته كانت وصفية في معظمها. وفي 1806، اشتق بيير-سيمون لابلاس الصيغة الرياضية باستخدام التفاضل والتكامل، وتوصل بصورة مستقلة إلى العلاقة نفسها. وأصبح عملهما المشترك يُعرف باسم معادلة يونغ-لابلاس. واختبر علماء لاحقون، منهم كارل فريدريش غاوس وجوزيف بلاتو، النظرية ووسّعوها خلال سنوات عقد 1800.

الأسئلة الشائعة

ماذا تحسب معادلة يونغ-لابلاس؟ تحسب فرق الضغط عبر سطح فاصل منحني بين مائعين، استنادًا إلى التوتر السطحي للمائع وانحناء السطح الفاصل.

لماذا يكون الضغط أعلى داخل القطرة الأصغر؟ يسحب التوتر السطحي على امتداد حافة القطرة، وتزداد قوة هذا السحب بالتناسب مع نصف القطر. أما المساحة التي يجب أن يضغط عليها الضغط فتزداد بالتناسب مع مربع نصف القطر. وتؤدي موازنة القوتين إلى $\Delta P = 2\gamma/R$، ولذلك يتناسب فرق الضغط عكسيًا مع نصف القطر: فإذا نُصّف نصف القطر تضاعف فرق الضغط.

كيف تؤثر درجة الحرارة في المعادلة؟ تغيّر درجة الحرارة قيمة التوتر السطحي، وينخفض التوتر السطحي مع ارتفاع درجة الحرارة. وبالنسبة إلى الماء، ينخفض التوتر السطحي من نحو 0.073 N/m عند 20 °م إلى نحو 0.063 N/m عند 80 °م، أي انخفاض قدره نحو 0.17 mN/m لكل درجة مئوية. ويكون التوتر السطحي عند درجة حرارة الغرفة أعلى من التوتر السطحي للماء الساخن، ولذلك فإن استخدام قيمة درجة حرارة الغرفة لنظام ساخن يؤدي إلى المبالغة في تقدير فرق الضغط.

هل تعمل المعادلة مع أشكال غير كروية؟ نعم. فالصيغة العامة، التي تتضمن نصفي القطر المنفصلين $R_1$ و$R_2$، تغطي أي سطح منحني، بما في ذلك الأشكال الإهليلجية والأسطح الفاصلة ذات الشكل السرجي. أما صيغة $2\gamma/R$ المبسطة فمحدودة بالكرات.

كيف تختلف معادلة يونغ-لابلاس عن معادلة يونغ؟ تعطي معادلة يونغ-لابلاس فرق الضغط الناتج عن سطح فاصل منحني. أما معادلة يونغ، وهي علاقة مستقلة وضعها توماس يونغ أيضًا، فتعطي زاوية التلامس التي تصنعها القطرة عند التقائها بسطح صلب، استنادًا إلى الطاقات السطحية للمواد الثلاث المعنية. وتصف المعادلتان أمرين مختلفين، وقد تُستخدمان معًا لتحليل قطرة مستقرة على سطح.

ما أصغر حجم يمكن أن تبلغه القطرة قبل أن تتوقف المعادلة عن العمل؟ تظل المعادلة دقيقة حتى نحو 1 ميكرومتر. وتحت نحو 10 إلى 20 نانومترًا، تصبح قوى إضافية تتجاهلها المعادلة، ومنها توتر الخط والقوى بين الأسطح على المستوى الجزيئي، كبيرة بما يكفي لتؤثر، وتصبح هناك حاجة إلى نماذج أكثر تفصيلًا.

المراجع

1. يونغ، ت. (1805). «مقالة في تماسك الموائع». المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن، 95، 65–87.
2. لابلاس، ب.س. (1806). رسالة في الميكانيكا السماوية، ملحق بالكتاب 10.
3. دو جين، ب.ج.، بروشار-ويار، ف.، وكيري، د. (2004). الخاصية الشعرية وظواهر الابتلال: القطرات والفقاعات واللآلئ والأمواج. سبرينغر.
4. آدمسون، أ.و.، وغاست، أ.ب. (1997). الكيمياء الفيزيائية للأسطح (الطبعة 6). وايلي-إنترساينس.