حل المعادلة التربيعية - حساب الجذور لـ ax² + bx + c = 0

ما المعادلة التربيعية؟

المعادلة التربيعية هي معادلة على الصورة $ax^2 + bx + c = 0$، حيث إن $a$ و$b$ و$c$ أعداد، و$a$ ليس صفراً. يجد محلّل المعادلات التربيعية في هذه الصفحة قيمة أو قيم $x$ التي تجعل المعادلة صحيحة، باستخدام المعاملات $a$ و$b$ و$c$ التي يُدخلها المستخدم.

إذا كان $a$ صفراً، فسيختفي الحد $x^2$ وتصبح المعادلة خطية بدلاً من تربيعية. لذلك تشترط الحاسبة أن يكون $a \neq 0$ وتعرض خطأً إذا كان $a = 0$.

الصيغة التربيعية

يمكن حل كل معادلة تربيعية على الصورة $ax^2 + bx + c = 0$ باستخدام الصيغة التربيعية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

تشير إشارة $\pm$ إلى حسابين منفصلين، أحدهما باستخدام إشارة الجمع والآخر باستخدام إشارة الطرح. ولهذا يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية حلّان مختلفان.

يُسمّى التعبير الموجود تحت الجذر التربيعي، $b^2 - 4ac$، المميّز. ويُكتب عادةً على الصورة $\Delta$، وهي الحرف اليوناني دلتا. ويحدد المميّز وحده عدد الحلول الحقيقية للمعادلة، قبل إجراء بقية الحساب.

كيفية حساب الجذور

1. اكتب المعادلة بالصورة القياسية، $ax^2 + bx + c = 0$.
2. حدّد المعاملات $a$ و$b$ و$c$.
3. احسب المميّز: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. إذا كان $\Delta$ موجباً، فاحسب الجذرين باستخدام $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. إذا كان $\Delta$ صفراً، فاحسب الجذر الوحيد باستخدام $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. إذا كان $\Delta$ سالباً، فلا توجد للمعادلة جذور حقيقية، لأن العدد السالب ليس له جذر تربيعي حقيقي.

تنفّذ الحاسبة في هذه الصفحة هذه الخطوات تلقائياً. وهي تقبل معاملات بين $-10^{10}$ و$10^{10}$، وتقرّب النتائج إلى عدد مختار من المنازل العشرية، من 0 إلى 10.

معنى المميّز

تعرض هذه الحاسبة عبارة «لا توجد جذور حقيقية» عندما يكون $\Delta$ سالباً. ولا تحسب الجذور العقدية، أي الأعداد التي تتضمن $i = \sqrt{-1}$.

مثال محلول

حلّ $x^2 + 5x + 6 = 0$.

هنا $a = 1$ و$b = 5$ و$c = 6$.

أوجد المميّز أولاً:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

بما أن $\Delta$ موجب، فللمعادلة جذران حقيقيان:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

يمكن التحقق من ذلك بالتحليل إلى عوامل: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$، وتساوي هذه العبارة صفراً عندما يكون $x = -2$ أو $x = -3$.

يوضح المثال الثاني مميّزاً سالباً. بالنسبة إلى $x^2 + x + 1 = 0$، فإن $a = 1$ و$b = 1$ و$c = 1$، ولذلك $\Delta = 1 - 4 = -3$. وبما أن $\Delta$ سالب، فلا توجد للمعادلة جذور حقيقية.

القطع المكافئ والرأس ومحور التناظر

تمثيل $f(x) = ax^2 + bx + c$ البياني منحنى يُسمّى قطعاً مكافئاً. إذا كان $a$ موجباً، يفتح القطع المكافئ إلى أعلى وله نقطة صغرى. وإذا كان $a$ سالباً، يفتح إلى أسفل وله نقطة عظمى. وتُسمّى تلك النقطة الصغرى أو العظمى الرأس.

يقع الرأس عند:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

يُسمّى الخط الرأسي المار بالرأس، $x = -\dfrac{b}{2a}$، محور التناظر، لأن نصفي القطع المكافئ يتناظران حوله. والجذور الحقيقية للمعادلة هي النقاط التي يقطع فيها القطع المكافئ المحور السيني، ولذلك تقع على جانبي محور التناظر وعلى المسافة نفسها منه.

ترسم الحاسبة هذا القطع المكافئ بجانب النتيجة. وتحدد الرأس وأي جذور حقيقية على المنحنى، وتوسّع نطاق الرسم عند الحاجة حتى يظل كل جذر ظاهراً.

استخدامات المعادلات التربيعية

تصف المعادلات التربيعية كثيراً من الحالات الواقعية. ففي الفيزياء، يتبع ارتفاع جسم مقذوف مع الزمن المعادلة $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$، ويعطي حلها بالنسبة إلى $t$ زمن وصول الجسم إلى الأرض. وفي الهندسة، تظهر الأشكال المكافئة في أطباق الأقمار الصناعية وكابلات الجسور بسبب طريقة تركيزها للقوة أو توزيعها لها. وفي الرسوميات الحاسوبية، تحل برامج تتبّع الأشعة المعادلات التربيعية لتحديد موضع تقاطع خط مع كرة.

لمحة تاريخية موجزة

كان علماء الرياضيات البابليون يحلون مسائل تربيعية محددة نحو 2000 قبل الميلاد، باستخدام طرق هندسية بدلاً من الجبر. كما عالج علماء الرياضيات اليونانيون، مثل إقليدس، المعادلات التربيعية هندسياً. ونحو 600 ميلادية، قدّم عالم الرياضيات الهندي براهماجوبتا صيغة صريحة للجذور، شملت الحلول السالبة. ونحو 800 ميلادية، وصف عالم الرياضيات الفارسي الخوارزمي طرقاً منهجية لحل المعادلات التربيعية في كتاب أدّى عنوانه إلى ظهور كلمة «الجبر». وأصبح الشكل الرمزي الحديث للصيغة التربيعية معيارياً في وقت لاحق، مع تطوّر الترميز الجبري خلال عصر النهضة.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا أدخلت 0 للمعامل a؟ تعرض الحاسبة خطأً، لأن $a = 0$ يحوّل المعادلة إلى معادلة خطية، $bx + c = 0$، تُحل بطريقة مختلفة.

لماذا لا يكون للمعادلة أحياناً جذور حقيقية؟ يحدث ذلك عندما يكون المميّز، $b^2 - 4ac$، سالباً. والعدد السالب ليس له جذر تربيعي حقيقي، ولذلك لا يمكن للصيغة أن تنتج قيمة حقيقية لـ $x$. ومع ذلك، للمعادلة جذران عقديان، لكن هذه الحاسبة لا تحسبهما.

ما الفرق بين الجذر والحل؟ لا فرق. تشير الكلمتان إلى قيمة لـ $x$ تجعل المعادلة تساوي صفراً. يشير «الجذر» إلى الموضع الذي يلتقي فيه الرسم البياني بالمحور السيني، بينما يشير «الحل» إلى الجبر.

كم منزلة عشرية يمكنني اختيارها؟ بين 0 و10. ويكفي عادةً اختيار منزلتين أو ثلاث منازل عشرية للمسائل اليومية.

هل يمكنني إدخال معاملات كبيرة جداً؟ يجب أن تكون المعاملات بين $-10^{10}$ و$10^{10}$. وقد تتسبب القيم خارج هذا النطاق في أخطاء تقريب، ولذلك تُرفض.

هل تستطيع هذه الحاسبة إيجاد الجذور العقدية؟ لا. عندما يكون المميّز سالباً، تعرض عبارة «لا توجد جذور حقيقية» بدلاً من حساب الأعداد العقدية.

المراجع

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. المكتبة الرقمية الوطنية للمعايير والتقنية (NIST) للوظائف الرياضية، §1.11، الجبر: المعادلة التربيعية