حل المعادلة التربيعية

المقدمة

المعادلة التربيعية هي معادلة متعددة الحدود من الدرجة الثانية في متغير واحد. في شكلها القياسي، تكتب المعادلة التربيعية كالتالي:

$ax^2 + bx + c = 0$

حيث أن $a$ و $b$ و $c$ أعداد حقيقية و $a \neq 0$. يُطلق على الحد $ax^2$ اسم الحد التربيعي، و $bx$ هو الحد الخطي، و $c$ هو الحد الثابت.

تتيح لك هذه الآلة الحاسبة حل المعادلات التربيعية عن طريق إدخال المعاملات $a$ و $b$ و $c$. تستخدم الآلة الحاسبة صيغة المعادلة التربيعية لإيجاد الجذور (الحلول) للمعادلة وتقدم مخرجات واضحة ومنسقة للنتائج.

كيفية استخدام هذه الآلة الحاسبة

1. أدخل المعامل $a$ (يجب أن يكون غير صفري)
2. أدخل المعامل $b$
3. أدخل المعامل $c$
4. اختر الدقة المطلوبة للنتائج (عدد الأماكن العشرية)
5. انقر على زر "حل"
6. ستعرض الآلة الحاسبة الجذور (إذا كانت موجودة) ومعلومات إضافية حول طبيعة الحلول

الصيغة

تستخدم صيغة المعادلة التربيعية لحل المعادلات التربيعية. بالنسبة لمعادلة في الشكل $ax^2 + bx + c = 0$، تُعطى الحلول بواسطة:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

الحد تحت الجذر، $b^2 - 4ac$، يُسمى المميز. يحدد طبيعة الجذور:

• إذا كان $b^2 - 4ac > 0$، فهناك جذران حقيقيان متميزان
• إذا كان $b^2 - 4ac = 0$، فهناك جذر حقيقي واحد (جذر مكرر)
• إذا كان $b^2 - 4ac < 0$، فليس هناك جذور حقيقية (جذران مركبان مترافقان)

الحساب

تقوم الآلة الحاسبة بتنفيذ الخطوات التالية لحل المعادلة التربيعية:

1. التحقق من المدخلات:

   • التأكد من أن $a$ ليس صفراً
   • التحقق مما إذا كانت المعاملات ضمن نطاق صالح (مثل بين -1e10 و 1e10)

2. حساب المميز: $\Delta = b^2 - 4ac$

3. تحديد طبيعة الجذور بناءً على المميز

4. إذا كانت الجذور الحقيقية موجودة، احسبها باستخدام صيغة المعادلة التربيعية: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ و $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

5. تقريب النتائج إلى الدقة المحددة

6. عرض النتائج، بما في ذلك:

   • طبيعة الجذور
   • قيم الجذور (إذا كانت حقيقية)
   • المعادلة في شكلها القياسي

التحقق من المدخلات ومعالجة الأخطاء

تقوم الآلة الحاسبة بتنفيذ الفحوصات التالية:

• يجب أن يكون المعامل $a$ غير صفري. إذا كان $a = 0$، يتم عرض رسالة خطأ.
• يجب أن تكون جميع المعاملات أرقامًا صالحة. يتم رفض المدخلات غير الرقمية.
• يجب أن تكون المعاملات ضمن نطاق معقول (مثل بين -1e10 و 1e10) لتجنب أخطاء تجاوز السعة.

حالات الاستخدام

للمعادلات التربيعية تطبيقات عديدة في مجالات مختلفة:

1. الفيزياء: وصف حركة المقذوفات، حساب الوقت الذي تستغرقه الأجسام للسقوط، وتحليل الحركة التوافقية البسيطة.

2. الهندسة: تصميم المرايا البارابولية للإضاءة أو الاتصالات، تحسين المساحة أو الحجم في مشاريع البناء.

3. الاقتصاد: نمذجة منحنيات العرض والطلب، تحسين دوال الربح.

4. الرسوميات الحاسوبية: رسم المنحنيات والأسطح البارابولية، حساب التقاطعات بين الأشكال الهندسية.

5. المالية: حساب الفائدة المركبة، نماذج تسعير الخيارات.

6. البيولوجيا: نمذجة نمو السكان مع العوامل المحددة.

البدائل

بينما تعتبر صيغة المعادلة التربيعية أداة قوية لحل المعادلات التربيعية، هناك طرق بديلة قد تكون أكثر ملاءمة في بعض الحالات:

1. التحليل: بالنسبة للمعادلات ذات المعاملات الصحيحة والجذور البسيطة، يمكن أن يكون التحليل أسرع ويوفر مزيدًا من الفهم لبنية المعادلة.

2. إكمال المربع: هذه الطريقة مفيدة لاشتقاق صيغة المعادلة التربيعية ولتحويل الدوال التربيعية إلى شكل الرأس.

3. الطرق الرسومية: رسم الدالة التربيعية والعثور على تقاطعاتها مع المحور السيني يمكن أن يوفر فهمًا بصريًا للجذور دون حساب صريح.

4. الطرق العددية: بالنسبة للمعاملات الكبيرة جدًا أو عندما تكون الدقة العالية مطلوبة، يمكن أن تكون الطرق العددية مثل طريقة نيوتن-رافسون أكثر استقرارًا.

التاريخ

تاريخ المعادلات التربيعية يعود إلى الحضارات القديمة:

• البابليون (حوالي 2000 قبل الميلاد): حلوا معادلات تربيعية محددة باستخدام تقنيات تعادل إكمال المربع.
• الإغريق القدماء (حوالي 400 قبل الميلاد): حلوا المعادلات التربيعية هندسيًا.
• الرياضيون الهنود (حوالي 600 ميلادي): قدم برهماغوبتا أول صيغة صريحة لحل المعادلات التربيعية.
• العصر الذهبي الإسلامي (حوالي 800 ميلادي): قدم الخوارزمي حلولًا منهجية للمعادلات التربيعية باستخدام الطرق الجبرية.
• أوروبا في عصر النهضة: أصبحت الحلول الجبرية العامة (صيغة المعادلة التربيعية) معروفة ومستخدمة على نطاق واسع.

تم الانتهاء من الشكل الحديث لصيغة المعادلة التربيعية في القرن السادس عشر، على الرغم من أن مكوناتها كانت معروفة في وقت سابق بكثير.

أمثلة

إليك أمثلة على كود لحل المعادلات التربيعية في لغات برمجة مختلفة:

1' دالة VBA في Excel لحل المعادلة التربيعية
2Function SolveQuadratic(a As Double, b As Double, c As Double) As String
3    Dim discriminant As Double
4    Dim x1 As Double, x2 As Double
5    
6    discriminant = b ^ 2 - 4 * a * c
7    
8    If discriminant > 0 Then
9        x1 = (-b + Sqr(discriminant)) / (2 * a)
10        x2 = (-b - Sqr(discriminant)) / (2 * a)
11        SolveQuadratic = "جذران حقيقيان: x1 = " & x1 & ", x2 = " & x2
12    ElseIf discriminant = 0 Then
13        x1 = -b / (2 * a)
14        SolveQuadratic = "جذر حقيقي واحد: x = " & x1
15    Else
16        SolveQuadratic = "لا توجد جذور حقيقية"
17    End If
18End Function
19' الاستخدام:
20' =SolveQuadratic(1, 5, 6)
21

1import math
2
3def solve_quadratic(a, b, c):
4    discriminant = b**2 - 4*a*c
5    if discriminant > 0:
6        x1 = (-b + math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
7        x2 = (-b - math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
8        return f"جذران حقيقيان: x₁ = {x1:.2f}, x₂ = {x2:.2f}"
9    elif discriminant == 0:
10        x = -b / (2*a)
11        return f"جذر حقيقي واحد: x = {x:.2f}"
12    else:
13        return "لا توجد جذور حقيقية"
14
15# مثال على الاستخدام:
16print(solve_quadratic(1, 5, 6))
17

1function solveQuadratic(a, b, c) {
2  const discriminant = b * b - 4 * a * c;
3  if (discriminant > 0) {
4    const x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
5    const x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
6    return `جذران حقيقيان: x₁ = ${x1.toFixed(2)}, x₂ = ${x2.toFixed(2)}`;
7  } else if (discriminant === 0) {
8    const x = -b / (2 * a);
9    return `جذر حقيقي واحد: x = ${x.toFixed(2)}`;
10  } else {
11    return "لا توجد جذور حقيقية";
12  }
13}
14
15// مثال على الاستخدام:
16console.log(solveQuadratic(1, 5, 6));
17

1public class QuadraticSolver {
2    public static String solveQuadratic(double a, double b, double c) {
3        double discriminant = b * b - 4 * a * c;
4        if (discriminant > 0) {
5            double x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
6            double x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
7            return String.format("جذران حقيقيان: x₁ = %.2f, x₂ = %.2f", x1, x2);
8        } else if (discriminant == 0) {
9            double x = -b / (2 * a);
10            return String.format("جذر حقيقي واحد: x = %.2f", x);
11        } else {
12            return "لا توجد جذور حقيقية";
13        }
14    }
15
16    public static void main(String[] args) {
17        System.out.println(solveQuadratic(1, 5, 6));
18    }
19}
20

أمثلة عددية

1. جذران حقيقيان:

   • المعادلة: $x^2 + 5x + 6 = 0$
   • المعاملات: $a = 1$، $b = 5$، $c = 6$
   • النتيجة: جذران حقيقيان: $x_1 = -2.00$، $x_2 = -3.00$

2. جذر حقيقي واحد (مكرر):

   • المعادلة: $x^2 + 4x + 4 = 0$
   • المعاملات: $a = 1$، $b = 4$، $c = 4$
   • النتيجة: جذر حقيقي واحد: $x = -2.00$

3. لا توجد جذور حقيقية:

   • المعادلة: $x^2 + x + 1 = 0$
   • المعاملات: $a = 1$، $b = 1$، $c = 1$
   • النتيجة: لا توجد جذور حقيقية

4. معاملات كبيرة:

   • المعادلة: $1000000x^2 + 5000000x + 6000000 = 0$
   • المعاملات: $a = 1000000$، $b = 5000000$، $c = 6000000$
   • النتيجة: جذران حقيقيان: $x_1 = -1.00$، $x_2 = -4.00$

رسم الدوال التربيعية

رسم الدالة التربيعية $f(x) = ax^2 + bx + c$ هو قطع مكافئ. تتوافق الجذور للمعادلة التربيعية مع التقاطعات على المحور السيني لهذه القطع المكافئ. تشمل النقاط الرئيسية على الرسم:

• الرأس: النقطة العليا أو السفلى للقطع المكافئ، المعطاة بـ $(-b/(2a), f(-b/(2a)))$
• محور التماثل: خط عمودي يمر عبر الرأس، المعطى بـ $x = -b/(2a)$
• نقطة التقاطع مع المحور الصادي: النقطة التي يقطع فيها القطع المكافئ المحور الصادي، المعطاة بـ $(0, c)$

تحدد اتجاه و عرض القطع المكافئ بواسطة المعامل $a$:

• إذا كان $a > 0$، فإن القطع المكافئ يفتح لأعلى
• إذا كان $a < 0$، فإن القطع المكافئ يفتح لأسفل
• القيم المطلقة الأكبر لـ $a$ تؤدي إلى قطع مكافئ أضيق

يمكن أن يوفر فهم الرسم رؤى حول طبيعة وقيم الجذور دون حساب صريح.

المراجع

1. ويسشتاين، إريك و. "المعادلة التربيعية." من MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html
2. "المعادلة التربيعية." ويكيبيديا، مؤسسة ويكيميديا، https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation
3. لارسن، رون، وبروس إدواردز. حساب التفاضل والتكامل. الطبعة العاشرة، Cengage Learning، 2014.
4. ستيوارت، جيمس. حساب التفاضل والتكامل: المتغيرات المبكرة. الطبعة الثامنة، Cengage Learning، 2015.
5. "تاريخ المعادلة التربيعية." ThoughtCo، https://www.thoughtco.com/history-of-the-quadratic-equation-3126340