حاسبة التقسيم — نسبة الخلط والكميات

ما هي حاسبة المزج؟

تحسب حاسبة التناسب النسبة اللازمة لخلط مكوّنين ذوي قيمتين مختلفتين للحصول على مزيج تبلغ قيمته قيمة مستهدفة. وتُسمّى الطريقة التي تقوم عليها هذه العملية التناسب. وتنطبق على أي مزيج من مكوّنين، مثل خلط مادة أولية رخيصة بأخرى غالية، أو تخفيف محلول قوي بمحلول ضعيف، ما دام المكوّنان مقاسين على المقياس نفسه.

صيغة التناسب

يقارن التناسب بين ثلاثة أعداد على مقياس موحّد: قيمة أرخص C، وقيمة أغلى D، وقيمة المزيج المستهدفة M، بحيث تكون C أصغر من M، وتكون M أصغر من D.

$c : d = (D - M) : (M - C)$

حيث إن c هو عدد أجزاء المكوّن الأرخص، وd عدد أجزاء المكوّن الأغلى.

تُحدَّد حصة كل مكوّن من الفارق في الجهة الأخرى من القيمة المستهدفة. وكلما كانت القيمة المستهدفة أقرب إلى قيمة أحد المكوّنين، احتاج المزيج إلى كمية أكبر من ذلك المكوّن، لأن المتوسط يجب أن ينتهي قريبًا من تلك القيمة.

إذا كانت الكمية الإجمالية Q معلومة أيضًا، فإن كمية كل مكوّن هي:

$A_c = \frac{D - M}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

$A_d = \frac{M - C}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

حيث إن $A_c$ هي كمية المكوّن الأرخص، و$A_d$ كمية المكوّن الأغلى، وQ هي الكمية الإجمالية.

طريقة المزج المتقاطع

تُرسم الصيغة تقليديًا على شكل تقاطع. توضع قيمتا المكوّنين على اليسار، والقيمة المستهدفة في الوسط، ويُكتب كل فرق قطري في الزاوية المقابلة.

$\begin{matrix} D & \searrow & & \nearrow & M - C \\ & & M & & \\ C & \nearrow & & \searrow & D - M \end{matrix}$

توضع القيمة الأغلى في أعلى اليسار، والقيمة الأرخص في أسفل اليسار، والقيمة المستهدفة في الوسط. ويمثل الفرق في أعلى اليمين عدد أجزاء المكوّن الأغلى، بينما يمثل الفرق في أسفل اليمين عدد أجزاء المكوّن الأرخص.

مثال تطبيقي

اخلط مكوّنًا قيمته 10 US$ مع مكوّن قيمته 30 US$ لإنتاج مزيج قيمته 20 US$.

تكون الأجزاء بنسبة الأرخص : الأغلى = (30 − 20) : (20 − 10) = 10 : 10 = 1 : 1.

يلزم المكوّنان في جزأين متساويين. وبالنسبة إلى إجمالي قدره 100 وحدة، يعني ذلك 50 وحدة من المكوّن ذي القيمة 10 US$ و50 وحدة من المكوّن ذي القيمة 30 US$. وتساوي قيمة هذا المزيج في المتوسط تمامًا 20 US$.

يؤدي نقل القيمة المستهدفة إلى 25 US$ إلى تغيير النسبة: (30 − 25) : (25 − 10) = 5 : 15، وهي تُختزل إلى 1 : 3. وأصبحت القيمة المستهدفة الآن أقرب إلى القيمة الأغلى، ولذلك يحتاج المزيج إلى ثلاثة أمثال كمية المكوّن الأغلى مقارنة بالمكوّن الأرخص.

طريقة المزج التبادلي وطريقة المزج الوسطي

تُسمّى الطريقة السابقة طريقةَ التناسب التبادلي: فقيمتا المكوّنين والقيمة المستهدفة معلومة، بينما النسبة مجهولة. وتُسمّى الطريقة العكسية التناسب الوسطي: فكميتا المكوّنين وقيمتاهما معلومتان، بينما قيمة المزيج الناتج مجهولة. والتناسب الوسطي هو متوسط موزون:

$M = \frac{q_1 \times v_1 + q_2 \times v_2}{q_1 + q_2}$

حيث إن M هي قيمة المزيج، وq كمية أحد المكوّنين، وv قيمته، وتشير الرموز السفلية إلى المكوّن الأول والثاني.

تتحقق كل من الطريقتين من الأخرى. فإذا عُوّض عن الكميتين اللتين يعطيهما حساب التناسب التبادلي في صيغة المتوسط الموزون، فينبغي أن تُعاد القيمة المستهدفة الأصلية.

استخدامات التناسب

• تحضير المستحضرات الصيدلانية. خلط مستحضر قوي بآخر ضعيف، مثل محلول تركيزه 70% بآخر تركيزه 20%، للوصول إلى تركيز موصوف. وتكون القيم نسبًا مئوية أو تراكيز بدلًا من الأسعار، لكن الحسابات هي نفسها.
• تسعير منتجات التجزئة والسلع. خلط مادة أولية رخيصة بأخرى ممتازة للوصول إلى سعر بيع مستهدف أو تكلفة مستهدفة للوحدة.
• الأغذية والمشروبات والكيمياء. تخفيف محلول أو زيادة تركيزه للوصول إلى تركيز مستهدف، أو درجة كحول، أو محتوى سكري مستهدف.

تحتاج القاعدة إلى خاصية واحدة مقاسة على مقياس موحّد فقط، ولذلك تغطي الأعداد الثلاثة نفسها جميع هذه الحالات.

كيفية استخدام حاسبة التناسب

أدخل القيمة الأرخص والقيمة الأغلى وقيمة المزيج المستهدفة، باستخدام الوحدة نفسها للقيم الثلاث. ولا تقبل الحقول قيمًا أقل من الصفر. أضف كمية إجمالية لمعرفة الكمية الدقيقة اللازمة من كل مكوّن. يجب أن تقع القيمة المستهدفة بين قيمتي المكوّنين دون أن تساوي أيًّا منهما. ولا يمكن بلوغ قيمة مستهدفة خارج هذا النطاق باستخدام مزيج من المكوّنين، كما أن القيمة المستهدفة المساوية لإحدى القيمتين لا تحتاج إلى خلط أصلًا؛ لذلك تعرض الحاسبة رسالة خطأ بدلًا من النسبة في كلتا الحالتين.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا لم تكن القيمة المستهدفة بين قيمتي المكوّنين؟ لا يمكن لأي مزيج من المكوّنين بلوغها. فمزيج من مادة قيمتها 10 US$ ومادة قيمتها 30 US$ تكون قيمته المتوسطة دائمًا بين 10 US$ و30 US$، ولذلك ترفض الحاسبة القيم المستهدفة خارج هذا النطاق. كما ترفض قيمة مستهدفة تساوي 10 US$ أو 30 US$، لأن بلوغها يتحقق باستخدام أحد المكوّنين وحده، ولا توجد نسبة لحسابها.

هل تهم وحدة القياس؟ لا. تعتمد النسبة على الفروق بين القيم الثلاث فقط، ولذلك تصلح الأسعار والنسب المئوية والتراكيز مثل mg/mL، ما دامت المدخلات الثلاثة تستخدم الوحدة نفسها.

هل يستطيع التناسب التعامل مع ثلاثة مكوّنات أو أكثر؟ تحل هذه الحاسبة حالة المكوّنين. أما المسائل التي تضم ثلاثة مكوّنات أو أكثر فلها أكثر من إجابة صحيحة، وعادةً ما تُحل بمعالجة المكوّنات في أزواج أو بإعداد معادلات خطية.

هل التناسب هو نفسه المتوسط الموزون؟ إنهما عمليتان عكسيتان. فالمتوسط الموزون، المعروف أيضًا باسم التناسب الوسطي، يحوّل الكميات المعلومة إلى قيمة مزيج. أما التناسب التبادلي فيحوّل القيمة المستهدفة إلى الكميات اللازمة لبلوغها.

لماذا تُسمّى الطريقة تناسبًا؟ يأتي الاسم من الكلمة اللاتينية alligare، التي تعني «الربط» أو «الوصل»، وهذا يصف كيفية جمع الطريقة بين قيمتين في نسبة مستهدفة واحدة.

المصادر

• التناسب — ويكيبيديا
• حاسبة التناسب — حاسبة أومني