حاسبة القيمة الحرجة | اختبار Z، اختبار t، مربع كاي

القيمة الحرجة هي نقطة القطع على توزيع احتمالي التي تحدد حافة «منطقة الرفض» في اختبار الفرضيات. فإذا وقعت إحصائية الاختبار بعد القيمة الحرجة، عُدّت النتيجة ذات دلالة إحصائية ورُفضت الفرضية الصفرية. وتجد هذه الحاسبة القيم الحرجة لأكثر ثلاثة اختبارات شيوعًا: اختبار Z، واختبار t، واختبار مربع كاي.

ما القيمة الحرجة؟

في الإحصاء، يبدأ الباحثون غالبًا بفرضية صفرية، وهي افتراض بسيط بأن لا شيء غير عادي يحدث (مثل أن دواءً جديدًا لا أثر له). وتُحسب إحصائية الاختبار من بيانات العينة، وتُقارن بقيمة حرجة لتحديد ما إذا كانت البيانات تقدم دليلًا كافيًا ضد الفرضية الصفرية.

تعتمد القيمة الحرجة على ثلاثة أمور: نوع الاختبار، ومستوى الدلالة (ويُكتب α، وهو الحرف اليوناني ألفا)، وما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أو ثنائي الطرف. ومستوى الدلالة هو احتمال رفض فرضية صفرية صحيحة خطأً، وكثيرًا ما يُحدَّد عند 0.05 (5%) أو 0.01 (1%).

يفحص الاختبار أحادي الطرف وجود أثر في اتجاه واحد، مثل «أكبر من». وله قيمة حرجة واحدة. أما الاختبار ثنائي الطرف فيفحص وجود أثر في أي من الاتجاهين، وله قيمتان حرجتان، واحدة على كل جانب من التوزيع.

كيف تُحسب القيمة الحرجة

1. اختر الاختبار: اختبار Z (للعينات الكبيرة أو عند معرفة تباين المجتمع)، أو اختبار t (للعينات الصغيرة ذات التباين المجهول)، أو اختبار مربع كاي (للبيانات الفئوية أو لحسن المطابقة).
2. اختر نوع الطرف: أحادي الطرف أو ثنائي الطرف.
3. اختر مستوى الدلالة α، وهو عدد بين 0 و1. ومن الخيارات الشائعة 0.10 و0.05 و0.01.
4. في اختبار t أو اختبار مربع كاي، أدخل درجات الحرية (df). ففي اختبار t تساوي درجات الحرية حجم العينة ناقص 1. وفي اختبار مربع كاي لحسن المطابقة تساوي درجات الحرية عدد الفئات ناقص 1.
5. ابحث عن القيمة التي تقطع مساحة الطرف المختارة تحت منحنى التوزيع (أو احسبها). هذه هي القيمة الحرجة.

صيغ القيمة الحرجة

تستخدم كل صيغة معكوس دالة التوزيع التراكمي: أي قيمة x التي تساوي المساحة تحت المنحنى حتى x عندها احتمالًا مستهدفًا p.

صيغة اختبار Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(أحادي الطرف)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(ثنائي الطرف)}$

Φ⁻¹ هي معكوس دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري.

صيغة اختبار t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(أحادي الطرف)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(ثنائي الطرف)}$

t⁻¹(p, df) هي معكوس دالة التوزيع التراكمي لتوزيع t بدرجات حرية قدرها df.

صيغة اختبار مربع كاي

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(أحادي الطرف)}$ $\chi^2_{\text{الحد الأدنى}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{الحد الأعلى}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(ثنائي الطرف)}$

يأخذ توزيع مربع كاي قيمًا موجبة فقط، ولذلك تكون القيمتان الحرجتان موجبتين، وتكون الدنيا أصغر من العليا.

مثال: القيمة الحرجة لاختبار Z

يريد فريق لمراقبة الجودة قيمة حرجة لاختبار Z أحادي الطرف عند α = 0.05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

تقع أي إحصائية اختبار أعلى من 1.6449 في منطقة الرفض.

مثال: القيمة الحرجة لاختبار t

يجري باحث تجربة على 20 مشاركًا، فتكون df = 19. ويريد قيمة حرجة ثنائية الطرف عند α = 0.01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

مناطق الرفض هي t < -2.8609 وt > 2.8609.

مثال: القيم الحرجة لمربع كاي

يقارن محلل بين الأعداد المرصودة والمتوقعة في 5 فئات، فتكون df = 4. ويريد قيمتين حرجتين ثنائيتي الطرف عند α = 0.05.

$\chi^2_{\text{الحد الأدنى}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{الحد الأعلى}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

تقع إحصائية مربع كاي الأقل من 0.4844 أو الأعلى من 11.1433 في منطقة الرفض.

القيم الحرجة الشائعة

كلما زادت درجات الحرية، تتقلص القيم الحرجة لتوزيع t نحو القيم المقابلة لاختبار Z، لأن توزيع t يقترب من التوزيع الطبيعي.

الأسئلة الشائعة

فيمَ تُستخدم القيمة الحرجة؟ تحدد الحد الذي يُقرَّر عنده ما إذا كانت إحصائية الاختبار متطرفة بما يكفي لرفض الفرضية الصفرية. فإذا تجاوزت الإحصائية القيمة الحرجة، كانت النتيجة ذات دلالة إحصائية عند مستوى α المختار.

ما الفرق بين القيمة الحرجة أحادية الطرف والقيمة الحرجة ثنائية الطرف؟ يبحث الاختبار أحادي الطرف عن أثر في اتجاه واحد وله قيمة حرجة واحدة. ويبحث الاختبار ثنائي الطرف عن أثر في أي من الاتجاهين وله قيمتان حرجتان، تقعان بصورة متماثلة حول المركز في اختبار Z واختبار t. وعند α نفسها، تكون القيمة الحرجة ثنائية الطرف أكبر في حجمها المطلق من القيمة أحادية الطرف، لأن الاحتمال الكلي نفسه يُوزَّع على طرفين بدلًا من طرف واحد.

متى يُستخدم اختبار Z بدلًا من اختبار t؟ يُستخدم اختبار Z عندما يكون تباين المجتمع معلومًا أو تكون العينة كبيرة، أي 30 مشاهدة أو أكثر عادةً. ويُستخدم اختبار t للعينات الأصغر ذات تباين المجتمع المجهول. ومع زيادة حجم العينة، تقترب القيم الحرجة لاختبار t من القيم الحرجة لاختبار Z.

هل يمكن أن تكون القيمة الحرجة سالبة؟ نعم. توزيعا اختبار Z واختبار t متماثلان حول الصفر، ولذلك يكون للاختبار ثنائي الطرف قيمة حرجة سالبة وأخرى موجبة. أما القيم الحرجة لمربع كاي فهي موجبة دائمًا، لأن توزيع مربع كاي معرَّف للقيم التي تساوي صفرًا أو أكثر فقط.

كيف تؤثر درجات الحرية في القيمة الحرجة؟ تقيس درجات الحرية مقدار المعلومات المستقلة في البيانات، وهي عادةً حجم العينة ناقص عدد المعلمات المقدَّرة سلفًا. وتنتج درجات الحرية الأقل توزيعات أعرض وأثقل ذيولًا وقيمًا حرجة أكبر. وتقرّب درجات الحرية الأعلى توزيعَي t ومربع كاي من التوزيع الطبيعي.

ما القيمة الحرجة المقابلة لمستوى ثقة 95%؟ يستخدم مستوى الثقة 95% القيمة α = 0.05. وفي اختبار Z ثنائي الطرف تكون القيمتان الحرجتان ±1.9600. وفي اختبار Z أحادي الطرف تكون القيمة الحرجة 1.6449.

التاريخ

قدّم كارل بيرسون اختبار مربع كاي عام 1900. وطوّر ويليام سيلي غوسيت، الذي نشر باسم «Student»، توزيع t عام 1908 للتعامل مع العينات الصغيرة في مصنع جعة غينيس. وأرسى رونالد فيشر اختبار الدلالة والقيم الحرجة في عشرينيات القرن العشرين (1920) في كتابه Statistical Methods for Research Workers. وقبل الحواسيب، كان الباحثون يبحثون عن القيم الحرجة في جداول مطبوعة؛ أما الحاسبات والبرمجيات اليوم فتحسبها مباشرة من صيغ التوزيعات.

المراجع

1. المعهد الوطني للمعايير والتقنية. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.1: Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution. جدول NIST للتوزيع الطبيعي المعياري — القيم الحرجة ±1.282 و±1.645 و±1.960 و±2.326 و±2.576.
2. المعهد الوطني للمعايير والتقنية. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.2: Critical Values of the Student's t Distribution. جدول NIST لتوزيع t — df 10: 1.812 و2.228؛ df 19: 2.861 عند 0.995؛ df 30: 1.697 و2.042.
3. المعهد الوطني للمعايير والتقنية. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.4: Critical Values of the Chi-Square Distribution. جدول NIST لمربع كاي — df 4: 0.484 و11.143؛ df 9: 2.700 و19.023.
4. MacTutor لتاريخ الرياضيات، جامعة سانت أندروز. Karl Pearson. سيرة كارل بيرسون — اختبار مربع كاي للدلالة الإحصائية (1900).
5. MacTutor لتاريخ الرياضيات، جامعة سانت أندروز. William Gosset. سيرة ويليام غوسيت — كتب باسم "Student"؛ وابتكر اختبار t للتعامل مع العينات الصغيرة في مراقبة الجودة في صناعة الجعة لدى غينيس.
6. MacTutor لتاريخ الرياضيات، جامعة سانت أندروز. R A Fisher. سيرة آر. إيه. فيشر — Statistical Methods for Research Workers (1925).