حاسبة القيمة الحرجة | اختبار Z، اختبار t، مربع كاي

القيمة الحرجة هي نقطة القطع على توزيع احتمالي تُحدد حافة "منطقة الرفض" في اختبار الفرضيات. إذا وقعت إحصائية الاختبار خارج القيمة الحرجة، تُحكم النتيجة بأنها ذات دلالة إحصائية، وتُرفض الفرضية الصفرية. تجد هذه الحاسبة القيم الحرجة للاختبارات الثلاثة الأكثر شيوعًا: اختبار Z، واختبار t، واختبار مربع كاي.

ما هي القيمة الحرجة؟

في الإحصاء، غالبًا ما يبدأ الباحثون بفرضية صفرية، وهي افتراض بسيط بأنه لا يحدث شيء غير عادي (على سبيل المثال، أن دواءً جديدًا ليس له تأثير). تُحسب إحصائية الاختبار من بيانات العينة، وتُقارن بالقيمة الحرجة لتحديد ما إذا كانت البيانات تقدم دليلًا كافيًا ضد الفرضية الصفرية.

تعتمد القيمة الحرجة على ثلاثة أمور: اختيار الاختبار، ومستوى الدلالة (يُكتب α، حرف ألفا اليوناني)، وما إذا كان الاختبار أحادي الذيل أو ثنائي الذيل. مستوى الدلالة هو احتمال رفض فرضية صفرية صحيحة عن طريق الخطأ، ويُحدد غالبًا عند 0.05 (5%) أو 0.01 (1%).

يتحقق الاختبار أحادي الذيل من وجود تأثير في اتجاه واحد فقط، مثل "أكبر من". وله قيمة حرجة واحدة. يتحقق الاختبار ثنائي الذيل من وجود تأثير في أي من الاتجاهين وله قيمتان حرجتان، واحدة على كل جانب من التوزيع.

كيفية حساب القيمة الحرجة

1. اختر الاختبار: اختبار Z (للعينات الكبيرة أو عندما يكون تباين المجتمع معروفًا)، أو اختبار t (للعينات الصغيرة ذات التباين غير المعروف)، أو اختبار مربع كاي (للبيانات الفئوية أو اختبار حسن المطابقة).
2. اختر نوع الذيل: أحادي الذيل أو ثنائي الذيل.
3. اختر مستوى الدلالة α، وهو رقم بين 0 و1. الاختيارات الشائعة هي 0.10 و0.05 و0.01.
4. بالنسبة لاختبار t أو اختبار مربع كاي، أدخل درجات الحرية (df). بالنسبة لاختبار t، تساوي df حجم العينة ناقص 1. بالنسبة لاختبار حسن المطابقة لمربع كاي، تساوي df عدد الفئات ناقص 1.
5. ابحث عن (أو احسب) القيمة التي تقطع منطقة الذيل المختارة تحت منحنى التوزيع. هذه هي القيمة الحرجة.

صيغ القيمة الحرجة

تستخدم كل صيغة معكوس دالة التوزيع التراكمي: قيمة x التي تجعل المساحة تحت المنحنى حتى x تساوي احتمالًا مستهدفًا p.

صيغة اختبار Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(أحادي الذيل)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(ثنائي الذيل)}$

Φ⁻¹ هو معكوس دالة التوزيع التراكمي الطبيعي القياسي.

صيغة اختبار t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(أحادي الذيل)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(ثنائي الذيل)}$

t⁻¹(p, df) هو معكوس دالة التوزيع التراكمي لتوزيع t بدرجات حرية df.

صيغة اختبار مربع كاي

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(أحادي الذيل)}$ $\chi^2_{\text{السفلية}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{العلوية}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(ثنائي الذيل)}$

يأخذ توزيع مربع كاي قيمًا موجبة فقط، لذا فإن كلتا القيمتين الحرجتين موجبتان، والقيمة السفلية أصغر من العلوية.

مثال: القيمة الحرجة لاختبار Z

يريد فريق مراقبة الجودة قيمة حرجة لاختبار Z أحادي الذيل عند α = 0.05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

أي إحصائية اختبار أعلى من 1.6449 تقع في منطقة الرفض.

مثال: القيمة الحرجة لاختبار t

يجري باحث تجربة مع 20 مشاركًا، لذا df = 19. يريد قيمة حرجة ثنائية الذيل عند α = 0.01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

منطقتا الرفض هما t < -2.8609 وt > 2.8609.

مثال: القيم الحرجة لمربع كاي

يقارن محلل بين الأعداد المُلاحظة والمتوقعة عبر 5 فئات، لذا df = 4. يريد قيمًا حرجة ثنائية الذيل عند α = 0.05.

$\chi^2_{\text{السفلية}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{العلوية}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

إحصائية مربع كاي التي تقل عن 0.4844 أو تزيد عن 11.1433 تقع في منطقة الرفض.

القيم الحرجة الشائعة

مع تزايد درجات الحرية، تتقلص القيم الحرجة لتوزيع t نحو قيم اختبار Z المقابلة، لأن توزيع t يقترب من التوزيع الطبيعي.

الأسئلة الشائعة

ما استخدام القيمة الحرجة؟ تحدد الحد الفاصل لتقرير ما إذا كانت إحصائية الاختبار متطرفة بما يكفي لرفض الفرضية الصفرية. إذا تجاوزت الإحصائية القيمة الحرجة، تكون النتيجة ذات دلالة إحصائية عند مستوى α المختار.

ما الفرق بين القيمة الحرجة أحادية الذيل وثنائية الذيل؟ يبحث الاختبار أحادي الذيل عن تأثير في اتجاه واحد وله قيمة حرجة واحدة. يبحث الاختبار ثنائي الذيل عن تأثير في أي من الاتجاهين وله قيمتان حرجتان، موضوعتان بشكل متماثل حول المركز في اختباري Z وt. لنفس قيمة α، تكون القيمة الحرجة ثنائية الذيل أكبر في الحجم المطلق من القيمة أحادية الذيل، لأن نفس الاحتمال الإجمالي يُقسم على ذيلين بدلًا من ذيل واحد.

متى يجب استخدام اختبار Z بدلًا من اختبار t؟ يُستخدم اختبار Z عندما يكون تباين المجتمع معروفًا أو تكون العينة كبيرة، عادة 30 ملاحظة أو أكثر. يُستخدم اختبار t للعينات الأصغر ذات تباين المجتمع غير المعروف. مع تزايد حجم العينة، تتقارب القيم الحرجة لاختبار t نحو القيم الحرجة لاختبار Z.

هل يمكن أن تكون القيمة الحرجة سالبة؟ نعم. توزيعا اختبار Z واختبار t متماثلان حول الصفر، لذا يكون لاختبار ثنائي الذيل قيمة حرجة سالبة وأخرى موجبة. القيم الحرجة لمربع كاي موجبة دائمًا، لأن توزيع مربع كاي مُعرَّف فقط للقيم الصفرية أو الأكبر منها.

كيف تؤثر درجات الحرية على القيمة الحرجة؟ تقيس درجات الحرية كمية المعلومات المستقلة الموجودة في البيانات، وعادة ما تكون حجم العينة ناقص عدد المعلمات المقدرة بالفعل. تُنتج درجات الحرية المنخفضة توزيعات أوسع وذات ذيول أثقل وقيمًا حرجة أكبر. تُقرّب درجات الحرية الأعلى توزيع t وتوزيع مربع كاي من التوزيع الطبيعي.

ما القيمة الحرجة المقابلة لمستوى ثقة 95%؟ يستخدم مستوى ثقة 95% قيمة α = 0.05. بالنسبة لاختبار Z ثنائي الذيل، القيمتان الحرجتان هما ±1.9600. بالنسبة لاختبار Z أحادي الذيل، القيمة الحرجة هي 1.6449.

التاريخ

قدّم كارل بيرسون اختبار مربع كاي عام 1900. طوّر ويليام سيلي غوسيت، الذي نشر باسم "Student"، توزيع t عام 1908 للتعامل مع العينات الصغيرة في مصنع الجعة غينيس. أضفى رونالد فيشر الطابع الرسمي على اختبار الدلالة والقيم الحرجة في عشرينيات القرن الماضي في كتابه Statistical Methods for Research Workers. قبل الحواسيب، كان الباحثون يبحثون عن القيم الحرجة في جداول مطبوعة؛ أما الآن فتحسبها الآلات الحاسبة والبرامج مباشرة من صيغ التوزيع.

المراجع

1. Pearson, K. (1900). "On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling." Philosophical Magazine, Series 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). "The probable error of a mean." Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, "Critical Values."