حاسبة اختبار فيشر الدقيق - أداة إحصائية مجانية

ما هو اختبار فيشر الدقيق؟

اختبار فيشر الدقيق هو أسلوب إحصائي يتحقق مما إذا كان متغيران فئويان مرتبطين، باستخدام بيانات مرتبة في جدول 2×2. ويحسب احتمالًا دقيقًا يُسمى قيمة p بدلًا من استخدام تقريب. وهذا يجعله مفيدًا عندما تكون العينة صغيرة.

يقارن الاختبار التكرارات في صفين وعمودين، مثل المرضى «المعالجين» مقابل «غير المعالجين» الذين تعافوا أو لم يتعافوا. يحتوي جدول 2×2 على أربع خلايا، يُشار إليها عادةً بالرموز A وB وC وD، إضافةً إلى مجاميع الصفوف والأعمدة.

اختبار فيشر الدقيق مقابل اختبار كاي-تربيع

يتحقق اختبار كاي-تربيع أيضًا من وجود علاقة بين متغيرين فئويين، لكنه يعتمد على تقريب لا يعمل جيدًا إلا عندما تكون تكرارات الخلايا كبيرة بما يكفي. وتتمثل إحدى القواعد التقريبية الشائعة في أنه إذا كان أي تكرار متوقع لإحدى الخلايا في الجدول أقل من 5، يصبح تقريب كاي-تربيع غير موثوق، ويكون اختبار فيشر الدقيق هو الخيار الأفضل. يعمل اختبار فيشر الدقيق مع أي حجم للعينة، لكنه دقيق رياضيًا وليس تقريبيًا، وهذه هي ميزته الرئيسية مع العينات الصغيرة.

كيفية حساب اختبار فيشر الدقيق

يستخدم الاختبار التوزيع فوق الهندسي، الذي يصف احتمال سحب عدد معين من العناصر من مجموعة من دون إعادتها إليها. وبمعرفة مجاميع صفوف الجدول وأعمدته، يعطي التوزيع فوق الهندسي احتمال أي ترتيب محدد لتكرارات الخلايا الأربع.

صيغة الاحتمال

بالنسبة إلى جدول خلاياه A وB وC وD، ومجاميع صفوفه r₁ = A + B وr₂ = C + D، ومجاميع أعمدته c₁ = A + C وc₂ = B + D، وحجم عينته الكلي n = A + B + C + D، فإن احتمال ذلك الجدول المحدد هو:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

تعني «!» هنا المضروب: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

قيمة p أحادية الطرف

تجمع قيمة p أحادية الطرف احتمال الجدول المرصود مع احتمال كل جدول آخر له مجاميع الصفوف والأعمدة نفسها ويُظهر علاقة مساوية أو أقوى في الاتجاه نفسه. ويُحدد «الاتجاه» بمقارنة الخلية A بالقيمة التي كانت ستأخذها لو لم يكن هناك ارتباط بين المتغيرين، وتُسمى قيمتها المتوقعة: E(A) = r₁c₁ / n.

• إذا كانت A مساوية لـ E(A) أو أكبر منها، يميل الارتباط إلى الإيجابية، ويُجرى الجمع على كل قيمة ممكنة للخلية A من القيمة المرصودة حتى أعلى قيمة ممكنة لها.
• إذا كانت A أقل من E(A)، يميل الارتباط إلى السلبية، ويُجرى الجمع من أدنى قيمة ممكنة للخلية A حتى القيمة المرصودة.

قيمة p ثنائية الطرف

تجمع قيمة p ثنائية الطرف احتمالات كل جدول ممكن له مجاميع الصفوف والأعمدة نفسها، ويكون احتماله مساويًا لاحتمال الجدول المرصود أو أقل منه. ويشمل ذلك النتائج المتطرفة في كلا الاتجاهين، ولذلك تكون قيمة p ثنائية الطرف عادةً أكبر من قيمة p أحادية الطرف المحسوبة من الجدول نفسه.

مثال محلول

أعطت تجربة صغيرة دواءً جديدًا لـ 10 مرضى، وأعطت علاجًا وهميًا لـ 10 مرضى آخرين. وكانت النتائج:

هنا A = 8، وB = 2، وC = 3، وD = 7، وn = 20. القيمة المتوقعة لـ A في حالة الاستقلال هي E(A) = (10 × 11) / 20 = 5.5. وبما أن 8 أكبر من 5.5، يميل الارتباط إلى الإيجابية، ولذلك يمتد الجمع أحادي الطرف من A = 8 حتى أعلى قيمة ممكنة لـ A، وهي 10.

يؤدي حساب الاحتمالات فوق الهندسية للقيم A = 8 و9 و10 إلى قيمة p أحادية الطرف قدرها نحو 0.0349. ويؤدي جمع احتمالات كل جدول (في كلا الاتجاهين) ذي احتمال يساوي احتمال الجدول المرصود أو يقل عنه إلى قيمة p ثنائية الطرف قدرها نحو 0.0698.

عند العتبة الشائعة 0.05، تُعد النتيجة أحادية الطرف ذات دلالة إحصائية، بينما لا تُعد النتيجة ثنائية الطرف كذلك. ويوضح هذا سبب أهمية اختيار نوع الاختبار: لا يكون الاختبار أحادي الطرف مناسبًا إلا عندما يكون اتجاه الأثر (أي أن الدواء يحسّن النتائج هنا) متوقعًا قبل الاطلاع على البيانات.

متى يُستخدم اختبار فيشر الدقيق؟

يشيع استخدام اختبار فيشر الدقيق في:

• التجارب السريرية التي تضم عددًا صغيرًا من المرضى.
• فحوصات ضبط الجودة التي تقارن أعداد العيوب بين دفعتين إنتاجيتين.
• أبحاث علم الوراثة التي تقارن أعداد سمة معينة بين مجموعتين صغيرتين.
• أي جدول 2×2 يكون فيه تكرار إحدى الخلايا المتوقع أقل من 5.

الأسئلة الشائعة

فيما يُستخدم اختبار فيشر الدقيق؟ يختبر ما إذا كان متغيران فئويان مرتبطين، باستخدام تكرارات من جدول 2×2. وغالبًا ما يُختار بدلًا من اختبار كاي-تربيع عندما تكون العينة صغيرة.

متى ينبغي استخدام اختبار فيشر الدقيق بدلًا من اختبار كاي-تربيع؟ عندما يكون أي تكرار متوقع لإحدى خلايا الجدول أقل من 5، أو عندما تكون هناك حاجة إلى مزيد من اليقين بشأن الاحتمال الدقيق بصرف النظر عن حجم العينة.

ما الفرق بين النتائج أحادية الطرف وثنائية الطرف؟ تختبر قيمة p أحادية الطرف اتجاهًا متوقعًا للأثر، ويُحدد ذلك قبل الاطلاع على البيانات. أما قيمة p ثنائية الطرف فتختبر وجود أي ارتباط، في أي من الاتجاهين. وتكون قيمة p ثنائية الطرف من الجدول نفسه أكبر عادةً.

هل تحسب هذه الحاسبة نسبة الأرجحية؟ لا. فهي تعرض قيمة p الدقيقة فقط. ويمكن حساب نسبة الأرجحية للجدول نفسه بصورة منفصلة بقسمة A × D على B × C.

هل يمكن استخدام اختبار فيشر الدقيق لجداول أكبر من 2×2؟ النسخة الموضحة هنا مخصصة لجداول 2×2. وتحتاج الجداول الأكبر إلى طريقة ذات صلة تُسمى امتداد فريمان-هالتون، وهي متاحة في معظم برامج الإحصاء.

هل يمكن استخدام اختبار فيشر الدقيق للبيانات المزدوجة، مثل قياسات ما قبل العلاج وما بعده للأشخاص أنفسهم؟ لا. فهو يفترض وجود مجموعتين مستقلتين. وتحتاج البيانات الفئوية المزدوجة إلى اختبار ماكنمار بدلًا من ذلك.

المراجع

1. فيشر، R.A. (1922). «حول تفسير χ² من جداول التوافق، وحساب P». مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، 85(1)، 87–94.
2. فريمان، G.H. وهالتون، J.H. (1951). «ملاحظة حول المعالجة الدقيقة للتوافق، وحسن المطابقة، ومسائل الدلالة الأخرى». بيومتريكا، 38(1/2)، 141–149.
3. أغريستي، A. (2018). مقدمة في تحليل البيانات الفئوية (الطبعة 3 الثالثة). وايلي.