Калкулатор за квадратни уравнения - Изчисляване на корени на ax² + bx + c = 0

Какво представлява квадратно уравнение?

Квадратното уравнение е уравнение от вида $ax^2 + bx + c = 0$, където $a$, $b$ и $c$ са числа, а $a$ не е нула. Решателят на квадратни уравнения на тази страница намира стойността или стойностите на $x$, които правят уравнението вярно, като използва въведените от потребителя коефициенти $a$, $b$ и $c$.

Ако $a$ беше нула, членът $x^2$ щеше да изчезне и уравнението щеше да стане линейно, а не квадратно. Поради тази причина калкулаторът изисква $a \neq 0$ и показва грешка, ако $a = 0$.

Формула за корените на квадратно уравнение

Всяко квадратно уравнение от вида $ax^2 + bx + c = 0$ може да се реши с формулата за корените на квадратно уравнение:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Знакът $\pm$ означава две отделни пресмятания — едното със знак плюс, а другото със знак минус. Затова едно квадратно уравнение може да има два различни корена.

Изразът под квадратния корен, $b^2 - 4ac$, се нарича дискриминанта. Обикновено се записва като $\Delta$ (гръцката буква делта). Само дискриминантата показва колко реални решения има уравнението, преди да се извърши останалата част от изчислението.

Как се изчисляват корените

1. Запишете уравнението в стандартен вид: $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Определете коефициентите $a$, $b$ и $c$.
3. Изчислете дискриминантата: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Ако $\Delta$ е положителна, изчислете двата корена с $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Ако $\Delta$ е нула, изчислете единствения корен с $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Ако $\Delta$ е отрицателна, уравнението няма реални корени, защото отрицателно число няма реален квадратен корен.

Калкулаторът на тази страница изпълнява тези стъпки автоматично. Той приема коефициенти между $-10^{10}$ и $10^{10}$ и закръгля резултатите до избран брой знаци след десетичната запетая — от 0 до 10.

Какво означава дискриминантата

Този калкулатор показва „няма реални корени“, когато $\Delta$ е отрицателна. Той не изчислява комплексни корени — числа, които включват $i = \sqrt{-1}$.

Пример с решение

Решете $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Тук $a = 1$, $b = 5$ и $c = 6$.

Първо намерете дискриминантата:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Тъй като $\Delta$ е положителна, уравнението има два реални корена:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Това може да се провери чрез разлагане на множители: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, което е нула, когато $x = -2$ или $x = -3$.

Втори пример показва отрицателна дискриминанта. За $x^2 + x + 1 = 0$ са в сила $a = 1$, $b = 1$ и $c = 1$, така че $\Delta = 1 - 4 = -3$. Тъй като $\Delta$ е отрицателна, уравнението няма реални корени.

Параболата, върхът и оста на симетрия

Графиката на $f(x) = ax^2 + bx + c$ е крива, наречена парабола. Ако $a$ е положително, параболата е отворена нагоре и има най-ниска точка. Ако $a$ е отрицателно, тя е отворена надолу и има най-висока точка. Тази най-ниска или най-висока точка се нарича връх.

Върхът се намира в:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Вертикалната права през върха, $x = -\dfrac{b}{2a}$, се нарича ос на симетрия, защото двете половини на параболата са огледални една спрямо друга спрямо нея. Реалните корени на уравнението са точките, в които параболата пресича абсцисната ос, затова те се намират от двете страни на оста на симетрия на еднакво разстояние от нея.

Калкулаторът начертава тази парабола до резултата. Той отбелязва върха и всички реални корени върху кривата и при необходимост разширява изобразения диапазон, така че всеки корен да остава видим.

Къде се използват квадратните уравнения

Квадратните уравнения описват много реални ситуации. Във физиката височината на хвърлен предмет във времето следва уравнението $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, а решаването му по отношение на $t$ дава времето, в което предметът достига земята. В инженерството параболични форми се срещат в сателитните антени и кабелите на мостове заради начина, по който фокусират или разпределят силата. В компютърната графика програмите за проследяване на лъчи решават квадратни уравнения, за да намерят мястото, където дадена права пресича сфера.

Кратка история

Вавилонските математици са решавали конкретни квадратни задачи около 2000 г. пр.н.е., като са използвали геометрични методи, а не алгебра. Гръцки математици като Евклид също са разглеждали квадратните уравнения геометрично. Около 600 г. сл.н.е. индийският математик Брахмагупта е дал явна формула за корените, включително отрицателни решения. Около 800 г. сл.н.е. персийският математик ал-Хорезми е описал систематични методи за решаване на квадратни уравнения в книга, чието заглавие е дало началото на думата „алгебра“. Съвременният символен вид на формулата за корените на квадратно уравнение се е утвърдил по-късно, с развитието на алгебричната нотация през Ренесанса.

Често задавани въпроси

Какво става, ако въведа 0 за коефициента a? Калкулаторът показва грешка, защото $a = 0$ превръща уравнението в линейно, $bx + c = 0$, което се решава по различен начин.

Защо понякога уравнението няма реални корени? Това се случва, когато дискриминантата, $b^2 - 4ac$, е отрицателна. Отрицателното число няма реален квадратен корен, така че формулата не може да даде реална стойност на $x$. Уравнението все пак има два комплексни корена, но този калкулатор не ги изчислява.

Каква е разликата между корен и решение? Няма разлика. И двете думи означават стойност на $x$, която прави уравнението равно на нула. „Корен“ се отнася до мястото, където графиката пресича абсцисната ос, а „решение“ — до алгебрата.

Колко знака след десетичната запетая мога да избера? Между 0 и 10. За ежедневни задачи обикновено са достатъчни два или три знака след десетичната запетая.

Мога ли да въведа много големи коефициенти? Коефициентите трябва да са между $-10^{10}$ и $10^{10}$. Стойности извън този диапазон могат да доведат до грешки при закръгляването и се отхвърлят.

Може ли този калкулатор да намира комплексни корени? Не. Когато дискриминантата е отрицателна, той показва „няма реални корени“, вместо да изчислява комплексни числа.

Източници

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. Дигитална библиотека на математическите функции на NIST, §1.11, Алгебра: квадратно уравнение