Calculadora de Taxa d'Efusió | Eina Gratuïta de la Llei de Graham

Què és una calculadora de la velocitat d’efusió?

Una calculadora de la velocitat d’efusió determina amb quina rapidesa s’escapa un gas per un forat minúscul en comparació amb un altre gas. Utilitza la llei d’efusió de Graham, que relaciona la velocitat d’escapament d’un gas amb la seva massa molar i la seva temperatura. L’efusió es produeix quan les molècules d’un gas passen una a una per una obertura tan petita que no xoquen entre si mentre la travessen.

Fórmula de la llei d’efusió de Graham

La llei de Graham compara les velocitats d’efusió de dos gasos, el gas 1 i el gas 2:

$\frac{\text{Velocitat}_1}{\text{Velocitat}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

• Rate₁ i Rate₂ són les velocitats d’efusió del gas 1 i del gas 2.
• M₁ i M₂ són les masses molars del gas 1 i del gas 2, en grams per mol (g/mol).
• T₁ i T₂ són les temperatures absolutes del gas 1 i del gas 2, en kelvins (K).

Un resultat superior a 1 significa que el gas 1 s’efon més ràpidament que el gas 2. Un resultat inferior a 1 significa que el gas 2 és més ràpid. Un resultat exactament igual a 1 significa que tots dos gasos s’efonen a la mateixa velocitat.

Per què funciona la fórmula

La fórmula prové de la teoria cinètica dels gasos. Tots els gasos a la mateixa temperatura tenen la mateixa energia cinètica mitjana, ½mv² = (3/2)kT, on m és la massa d’una molècula, v és la seva velocitat, k és la constant de Boltzmann i T és la temperatura absoluta. En aïllar la velocitat s’obté v = √(3kT/m). Una molècula més lleugera s’ha de moure més ràpidament que una de més pesada per tenir la mateixa energia cinètica. El nombre de molècules que surten pel forat cada segon és proporcional a aquesta velocitat i al nombre de molècules per unitat de volum. La calculadora compara dos gasos que tenen el mateix nombre de molècules per unitat de volum, de manera que el terme de densitat es cancel·la i només queda √(T/M). Dividir el valor del gas 1 pel valor del gas 2 dona la fórmula anterior.

Dos casos més senzills

• Mateixa temperatura. Si T₁ és igual a T₂, els termes de temperatura es cancel·len i la fórmula esdevé Rate₁/Rate₂ = √(M₂/M₁). Només importen les masses molars.
• Mateixa massa molar. Si M₁ és igual a M₂, la fórmula esdevé Rate₁/Rate₂ = √(T₁/T₂). Només importen les temperatures.

Com s’utilitza la calculadora de la velocitat d’efusió

1. Introduïu la massa molar i la temperatura del gas 1.
2. Introduïu la massa molar i la temperatura del gas 2.
3. Consulteu la velocitat d’efusió relativa. Mostra quantes vegades més ràpidament s’efon el gas 1 que el gas 2. La calculadora mostra el resultat amb quatre decimals.

Tant la massa molar com la temperatura han de ser nombres positius. La temperatura s’ha d’introduir en kelvins, no en graus Celsius ni Fahrenheit, perquè la fórmula depèn de la temperatura absoluta.

Masses molars habituals dels gasos

Exemple resolt

Exemple 1: heli contra metà, a la mateixa temperatura

L’heli (He) té una massa molar de 4,00 g/mol. El metà (CH₄) té una massa molar de 16,04 g/mol. Tots dos són a 298 K.

$\frac{\text{Velocitat}_{He}}{\text{Velocitat}_{CH_4}} = \sqrt{\frac{16.04}{4.00}} \times \sqrt{\frac{298}{298}} = \sqrt{4.01} \times 1 \approx 2.0025$

L’heli s’efon aproximadament 2,00 vegades més ràpidament que el metà.

La calculadora s’obre amb 4,00 i 16,00 g/mol a 298 K, amb el metà arrodonit a un nombre enter. Aquests valors donen exactament √4 = 2,0000, cosa que facilita comprovar manualment la proporció.

Exemple 2: hidrogen contra oxigen, a temperatures diferents

L’hidrogen (H₂) té una massa molar de 2,02 g/mol i una temperatura de 400 K. L’oxigen (O₂) té una massa molar de 32,00 g/mol i una temperatura de 300 K.

$\sqrt{\frac{32.00}{2.02}} \approx 3.9801 \qquad \sqrt{\frac{400}{300}} \approx 1.1547$

$\frac{\text{Velocitat}_{H_2}}{\text{Velocitat}_{O_2}} = 3.9801 \times 1.1547 \approx 4.5959$

L’hidrogen a 400 K s’efon aproximadament 4,60 vegades més ràpidament que l’oxigen a 300 K. Arrodonir cada arrel quadrada a dues xifres decimals abans de multiplicar, com es fa en alguns exemples resolts en línia, dona 3,98 × 1,15 = 4,58, que és lleugerament incorrecte. Mantenir més xifres decimals fins al pas final evita aquest error.

Aplicacions de la llei de Graham

• Separació d’isòtops. El Projecte Manhattan va utilitzar la difusió gasosa per separar l’urani-235 de l’urani-238. Els dos isòtops formen gas d’hexafluorur d’urani amb masses molars lleugerament diferents, de manera que s’efonen a velocitats lleugerament diferents.
• Detecció de fuites. L’heli és un gas traçador habitual per localitzar fuites en sistemes de buit i recipients a pressió, perquè la seva baixa massa molar li permet travessar ràpidament petites fuites per efusió.
• Cromatografia de gasos. Les molècules de masses diferents es mouen a velocitats diferents per una columna cromatogràfica, cosa que ajuda a separar i identificar compostos d’una mescla gasosa.
• Separació de gasos per membranes. Les membranes industrials que purifiquen o separen mescles gasoses depenen en part de les diferents velocitats d’efusió dels gasos que les componen.

Història

El químic escocès Thomas Graham va descriure per primera vegada aquesta relació el 1846. Va mesurar amb quina rapidesa s’escapaven diferents gasos per petites obertures i va trobar que la velocitat era inversament proporcional a l’arrel quadrada de la densitat del gas. Els seus resultats van contribuir posteriorment a donar suport a la teoria cinètica dels gasos, desenvolupada més endavant per James Clerk Maxwell i Ludwig Boltzmann durant les dècades de 1860 i 1870.

Preguntes freqüents

Quina diferència hi ha entre l’efusió i la difusió? L’efusió és l’escapament de molècules de gas per un forat petit cap al buit o cap a una regió de menor pressió, on el forat és més petit que la distància mitjana que recorre una molècula entre col·lisions. La difusió és la propagació de molècules de gas a través d’un altre gas o medi, impulsada per diferències de concentració, i implica que les molècules xoquin entre si.

Per què la temperatura ha de ser en kelvins? L’energia cinètica de les molècules d’un gas és proporcional a la temperatura absoluta. Les escales Celsius i Fahrenheit no comencen en el zero absolut, de manera que utilitzar-les donaria una proporció incorrecta.

Què pressuposa la calculadora sobre els dos gasos? Pressuposa que tots dos gasos tenen el mateix nombre de molècules per unitat de volum. Amb aquest supòsit, la proporció depèn únicament de la massa molar i de la temperatura absoluta. Quan les dues temperatures són iguals, el terme de temperatura és 1 i el resultat és la proporció simple de la llei de Graham √(M₂/M₁), sigui quina sigui la pressió. Quan les temperatures són diferents, el supòsit és important: dos gasos mantinguts a la mateixa pressió en lloc de tenir la mateixa concentració segueixen Rate₁/Rate₂ = √(M₂T₂ / M₁T₁), perquè un gas més calent a pressió fixa conté menys molècules en cada litre.

Pot la llei de Graham determinar la massa molar d’un gas desconegut? Sí. Si es mesura la velocitat d’efusió d’un gas desconegut respecte d’un gas de massa molar coneguda, la fórmula es pot reordenar:

$M_{unknown} = M_{known} \times \left(\frac{\text{Velocitat}_{known}}{\text{Velocitat}_{unknown}}\right)^2 \times \frac{T_{unknown}}{T_{known}}$

La llei de Graham s’aplica als líquids? No. Només s’aplica als gasos. Les molècules dels líquids estan molt més juntes i interaccionen molt més intensament, de manera que la mateixa fórmula no descriu com es mouen els líquids per petites obertures.

Quant més ràpidament s’efon un gas si se’n duplica la temperatura? La velocitat d’efusió és proporcional a l’arrel quadrada de la temperatura absoluta. Doblar la temperatura multiplica la velocitat per √2, és a dir, aproximadament per 1,41, si la massa molar es manté igual.