Calculadora de Corbes Verticals - Eina de Disseny de Carreteres i Autopistes

Què és una calculadora de corbes verticals?

Una calculadora de corbes verticals determina les cotes, el valor K i els punts clau d’una corba vertical, la corba parabòlica que els enginyers utilitzen per unir suaument dues rasants de carretera. En lloc que la carretera es trobi en un angle brusc on canviï el pendent, una corba vertical combina els dos pendents en una única corba contínua. Això fa que la conducció sigui més suau, permet als conductors veure prou lluny per aturar-se amb seguretat i facilita el drenatge correcte de l’aigua.

Els enginyers utilitzen corbes verticals en el disseny d’autopistes, carrers, ferrocarrils, pistes d’aeroport i terrenys anivellats, com ara aparcaments. Sempre que una carretera o una via necessiti canviar de pendent, una corba vertical fa aquesta transició.

Corbes convexes i corbes còncaves

Una corba vertical és d’un dels dos tipus possibles, segons com es comparin les rasants (pendents) abans i després de la corba. Una rasant s’expressa com a percentatge: una rasant del 3 % puja 3 metres per cada 100 metres recorreguts.

• Corba convexa: la rasant inicial és superior a la rasant final (g₁ > g₂). La carretera puja, passa per un punt elevat i després baixa, com quan se supera el cim d’un turó.
• Corba còncava: la rasant inicial és inferior a la rasant final (g₁ < g₂). La carretera baixa, passa per un punt baix i després puja, com al fons d’una depressió.
• Si les dues rasants són iguals, no cal cap corba. La carretera ja és una línia recta.

Les corbes convexes són especialment importants per a la distància de visibilitat d’aturada: el conductor ha de veure prou lluny per aturar-se abans de topar amb un obstacle. Les corbes còncaves són especialment importants per a la distància de visibilitat nocturna amb els fars i per al drenatge, ja que l’aigua s’acumula al punt baix.

Termes clau

• PVI (punt d’intersecció vertical): el punt on es trobarien les dues línies rectes de rasant si no hi hagués cap corba.
• PVC (punt d’inici de la curvatura vertical): el punt on comença la corba.
• PVT (punt de tangència vertical): el punt on acaba la corba.
• Valor K: la longitud de la corba dividida pel canvi de rasant. Mesura com de gradual és la corba.
• Estació: mesura de distància al llarg de l’eix de la carretera, utilitzada en lloc de coordenades simples. En aquesta calculadora, tant l’estació com la cota s’introdueixen en metres.

Una corba normalment és simètrica: el PVC se situa a una distància igual a la meitat de la longitud de la corba abans del PVI, i el PVT, a la mateixa distància després.

Fórmula de la corba vertical

La cota de qualsevol punt de la corba segueix una equació quadràtica (parabòlica):

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = cota a la distància $x$ del PVC
• $y_{PVC}$ = cota al PVC
• $g_1$ = rasant inicial, en forma decimal (una rasant del 3 % és 0,03)
• $A$ = diferència algebraica entre les rasants, $g_2 - g_1$ (en forma decimal)
• $L$ = longitud de la corba

Fórmula del valor K

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

En aquest cas, $g_1$ i $g_2$ són percentatges. Un valor K més gran indica una corba més plana i gradual. Manuals de disseny com ara "A Policy on Geometric Design of Highways and Streets" de l’AASHTO estableixen valors K mínims per a les autopistes, en funció de la velocitat de disseny i de si la corba és convexa o còncava.

Si $g_1$ és igual a $g_2$, el canvi de rasant és zero i K no està definit. La calculadora mostra aleshores un guió en lloc d’un valor K. Les rasants que difereixen en menys de 0,0001 % es consideren iguals.

PVC i PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

(Aquí $g_1$ i $g_2$ són percentatges; dividir per 200 converteix el percentatge en un decimal i l’aplica sobre la meitat de la longitud de la corba.)

Punt alt o punt baix

Hi ha un punt alt (corba convexa) o un punt baix (corba còncava) a la corba quan les dues rasants tenen signes oposats o quan una rasant és exactament zero. La seva distància respecte del PVC és:

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

Sumeu $x$ a l’estació del PVC per obtenir l’estació del punt alt o baix i, a continuació, utilitzeu la fórmula de la cota anterior per determinar-ne la cota. Quan les dues rasants tenen el mateix signe, aquest punt queda fora de l’interval entre el PVC i el PVT; per tant, la carretera continua pujant o baixant al llarg de tota la corba i la calculadora indica que no hi ha cap punt alt ni baix. Quan una rasant és zero, el punt se situa exactament al PVC o al PVT.

Com calcular una corba vertical

1. Introduïu la rasant inicial i la rasant final, en percentatge. Utilitzeu un nombre positiu per a un pendent ascendent i un nombre negatiu per a un pendent descendent.
2. Introduïu la longitud de la corba, en metres.
3. Introduïu l’estació del PVI i la cota del PVI, totes dues en metres.
4. Consulteu el tipus de corba (convexa, còncava o cap dels dos), el valor K i les estacions i cotes del PVC i del PVT.
5. Si les rasants tenen signes oposats o una d’elles és zero, la calculadora també indica el punt alt o baix.
6. Per determinar la cota de qualsevol altre punt, introduïu una estació de consulta. Si aquesta estació queda fora de la corba, la calculadora ho indica en lloc de proporcionar un nombre, perquè la fórmula només s’aplica entre el PVC i el PVT.

Exemple resolt: corba convexa

Una carretera puja amb una rasant del 3 % i després baixa amb una rasant del -2 %. El PVI es troba a l’estació 1000,00 m, amb una cota de 150,00 m. La longitud de la corba és 400 m.

Valor K: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: estació $= 1000 - 400/2 = 800.00$ m; cota $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ m

PVT: estació $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ m; cota $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ m

Punt alt: com que 3 i −2 tenen signes oposats, hi ha un punt alt. $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ m des del PVC, de manera que la seva estació és $800 + 240 = 1040.00$ m. La seva cota és $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ m.

Exemple resolt: corba còncava

Una carretera baixa amb una rasant del -3 % i després puja amb una rasant del 2 %. El PVI es troba a l’estació 500,00 m, amb una cota de 85,00 m. La longitud de la corba és 200 m.

Valor K: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: estació $= 400.00$ m; cota $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ m

PVT: estació $= 600.00$ m; cota $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ m

Punt baix: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ m des del PVC, de manera que la seva estació és $400 + 120 = 520.00$ m. La seva cota és $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ m.

Aquest punt baix és on s’acumula l’aigua superficial; per tant, és on el dissenyador col·loca una entrada de drenatge, no pas al PVI.

Preguntes més freqüents

Què és un valor K en el disseny de corbes verticals? El valor K és la longitud de la corba dividida per la diferència absoluta entre les dues rasants. Indica quants metres de corba corresponen a un canvi de rasant de 1 %. Un valor K més alt indica una corba més plana i gradual.

Com sé si necessito una corba convexa o una corba còncava? Compareu les dues rasants. Si la rasant inicial és superior a la final, és una corba convexa. Si la rasant inicial és inferior a la final, és una corba còncava. Si les rasants són iguals, no cal cap corba.

Què passa si les rasants inicial i final són iguals? No cal cap corba vertical, ja que la carretera ja és recta. El valor K no està definit perquè caldria dividir per un canvi de rasant igual a zero; per això la calculadora mostra un guió en lloc d’un nombre.

Com es troba el punt alt o baix d’una corba? Existeix quan les dues rasants tenen signes oposats o quan una rasant és zero. La seva distància respecte del PVC és $g_1 L / (g_1 - g_2)$. Afegiu-la a l’estació del PVC per determinar-ne la ubicació i, a continuació, utilitzeu la fórmula de la cota de la corba per calcular-ne l’altura. Si les rasants tenen el mateix signe, aquest punt queda fora de la corba i, per tant, no n’hi ha cap.

Per què és important el punt baix d’una corba còncava per al drenatge? L’aigua que baixa pels dos costats de la depressió s’acumula al punt baix. Si es col·loca una entrada de drenatge al PVI en lloc del punt baix real, l’aigua es pot embassar a la carretera, ja que els dos punts rarament coincideixen.

Una estació de consulta pot quedar fora de la corba? Sí. La fórmula de la cota només s’aplica entre el PVC i el PVT. Una estació fora d’aquest interval no té una cota definida a la corba, de manera que la calculadora indica que es troba fora de la corba.