Calculadora de Corba de Calibratge | Regressió Lineal per a Anàlisi de Laboratori

Què és una calculadora de corbes de calibratge

Una calculadora de corbes de calibratge converteix les lectures d’un instrument en concentracions. Ho fa ajustant una recta als punts de dades corresponents a patrons de concentració coneguda i utilitzant després aquesta recta per convertir una lectura nova en una concentració. Els laboratoris utilitzen corbes de calibratge en química, biologia i anàlisi ambiental sempre que un instrument proporciona un senyal, com ara una absorbància o una àrea de pic, en lloc d’una concentració directament.

La calculadora d’aquesta pàgina ajusta una recta mitjançant regressió lineal, el mètode dels mínims quadrats. Indica el pendent, l’ordenada a l’origen i R², una mesura de fins a quin punt els punts segueixen la recta. Després pot estimar la concentració d’una mostra desconeguda a partir d’una resposta mesurada.

La fórmula de la corba de calibratge

Una corba de calibratge assumeix una relació lineal entre la concentració i la resposta de l’instrument:

$y = mx + b$

• $y$ és la resposta (el que mesura l’instrument)
• $x$ és la concentració
• $m$ és el pendent
• $b$ és l’ordenada a l’origen

Com es calculen el pendent i l’ordenada a l’origen

Per a un conjunt de $n$ punts, el pendent i l’ordenada a l’origen que s’ajusten millor a les dades (segons el mètode dels mínims quadrats) són:

$m = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$

$b = \bar{y} - m\bar{x}$

Aquí, $\bar{x}$ i $\bar{y}$ són la concentració mitjana i la resposta mitjana de tots els punts.

Fórmula de R²

R², el coeficient de determinació, mostra fins a quin punt la recta s’ajusta a les dades:

$R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}$

$\hat{y}_i$ és la resposta que la recta prediu per a cada $x_i$. R² varia de 0 a 1. Un valor de 1 significa que tots els punts se situen exactament sobre la recta.

Fórmula de la concentració desconeguda

Un cop coneguts el pendent i l’ordenada a l’origen, una resposta mesurada $y$ es pot convertir de nou en una concentració:

$x = \frac{y - b}{m}$

Si aquest càlcul dona un nombre negatiu, la calculadora indica la concentració com a 0, ja que una concentració negativa no té significat físic. També indica 0 quan el pendent ajustat és 0, perquè una recta horitzontal no aporta cap informació sobre la concentració.

Exemple resolt

Suposem que quatre patrons donen els resultats següents:

La concentració mitjana és 3 i la resposta mitjana és 0,20.

Pendent:

$m = \frac{(-3)(-0.15) + (-1)(-0.05) + (1)(0.04) + (3)(0.16)}{(-3)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 3^2} = \frac{1.02}{20} = 0.0510$

Ordenada a l’origen:

$b = 0.20 - (0.0510)(3) = 0.0470$

R²: comparar les respostes predites amb les reals dona R² = 0,9966.

La recta ajustada és:

$y = 0.0510x + 0.0470 \quad (R^2 = 0.9966)$

Ara suposem que una mostra desconeguda dona una resposta de 0,20. La seva concentració és:

$x = \frac{0.20 - 0.0470}{0.0510} = 3.0000$

Com s’utilitza aquesta calculadora

1. Introduïu la concentració coneguda de cada patró i la seva resposta mesurada com un parell de nombres. La calculadora comença amb dues files.
2. Seleccioneu «Afegeix un punt de dades» per introduir més patrons, o «Elimina el punt de dades» al costat d’una fila per suprimir-lo. Calen almenys dos punts.
3. Quan s’han omplert almenys dos punts, la calculadora mostra l’equació de regressió, el valor de R² i un gràfic dels punts amb la recta ajustada. El pendent, l’ordenada a l’origen, R² i la concentració s’arrodoneixen a quatre decimals per mostrar-los.
4. Introduïu una resposta mesurada a «Calcula la concentració desconeguda» per veure la concentració corresponent. S’actualitza automàticament mentre s’escriu el valor; no cal prémer cap botó separat.
5. Seleccioneu «Restableix» per esborrar tots els punts introduïts i el camp de resposta i començar de nou.

Interpretació del pendent, l’ordenada a l’origen i R²

El pendent mostra quant canvia la resposta per unitat de concentració. Un pendent més gran significa que el mètode respon intensament a petits canvis de concentració.

L’ordenada a l’origen és la resposta predita a concentració zero. Reflecteix el senyal de fons, com ara el d’una mostra en blanc o la línia de base de l’instrument. Una ordenada a l’origen diferent de zero és habitual i no és automàticament un problema, però una ordenada gran o inconsistent entre calibratges pot indicar contaminació o una avaria de l’instrument.

R² mostra fins a quin punt els punts segueixen una recta. Els valors superiors a 0,99 són habituals en un mètode lineal que funciona bé. Un R² més baix pot indicar un error de pipeteig, un patró degradat o un interval de concentracions en què la resposta ja no és lineal.

On s’utilitzen les corbes de calibratge

Les corbes de calibratge són habituals sempre que cal convertir el senyal en brut d’un instrument en una concentració:

• Espectrofotometria — es mesura l’absorbància de la llum i es converteix en una concentració, per exemple, en mesurar el contingut de proteïnes o pigments.
• Cromatografia (HPLC, GC) — l’àrea o l’altura del pic d’un cromatograma es converteix en una concentració, una pràctica habitual en l’anàlisi de drogues i en l’anàlisi ambiental.
• ELISA i altres immunoassaigs — la intensitat del color o de la fluorescència d’un lector de plaques es converteix en la concentració d’un antigen o d’un anticòs.
• qPCR — els valors del llindar de cicle de dilucions seriades d’una mostra coneguda permeten construir una corba que s’utilitza per estimar la quantitat de material genètic d’una mostra desconeguda.

Quan una recta no s’ajusta a les dades

Alguns mètodes no són lineals en tot el seu interval. Les solucions habituals inclouen limitar el calibratge a una regió més estreta i lineal, aplicar una transformació logarítmica abans d’ajustar una recta, utilitzar un ajust polinòmic (corbat) o fer servir una regressió ponderada quan l’error de mesura augmenta o disminueix amb la concentració. Aquesta calculadora només ajusta una recta; si els punts formen clarament una corba, els resultats seran menys fiables i pot caldre un model diferent.

Preguntes més freqüents

Què és una corba de calibratge?

Una corba de calibratge és una recta ajustada a les lectures d’un instrument per a mostres de concentració coneguda. S’utilitza per convertir una lectura nova d’una mostra de concentració desconeguda en un valor de concentració.

Quants punts de dades necessita una corba de calibratge?

La calculadora necessita almenys dos punts per ajustar una recta, però dos punts no poden mostrar si la relació real és efectivament lineal. La majoria de laboratoris utilitzen entre cinc i vuit patrons que cobreixen l’interval esperat de les mostres desconegudes.

Què significa R² en una corba de calibratge?

R² mesura fins a quin punt els punts de dades segueixen la recta ajustada, en una escala de 0 a 1. Un valor de 1 significa que tots els punts se situen exactament sobre la recta. Els valors superiors a 0,99 generalment es consideren una prova sòlida d’una relació lineal.

Es poden estimar concentracions fora de l’interval dels patrons?

Estimar una concentració inferior al patró més baix o superior al patró més alt és poc fiable, perquè no hi ha dades que confirmin que la recta continuï sent lineal en aquell interval. És millor diluir una mostra que doni un valor massa alt, o concentrar-ne una que doni un valor massa baix, i tornar-la a mesurar dins de l’interval calibrat.

Per què de vegades la concentració calculada es mostra com a 0?

Si una resposta mesurada és inferior a l’ordenada a l’origen ajustada (amb un pendent positiu), la fórmula $x = (y - b) / m$ produeix un nombre negatiu. En aquest cas, la calculadora mostra 0, ja que una concentració real no pot ser negativa. També mostra 0 quan el pendent és 0, cosa que passa si tots els patrons tenen la mateixa resposta o si tots tenen la mateixa concentració.

Quina diferència hi ha entre el pendent i l’ordenada a l’origen?

El pendent descriu la sensibilitat de la resposta a un canvi de concentració. L’ordenada a l’origen és la resposta predita a concentració zero i sovint reflecteix el senyal de fons, més que no pas l’analit.