Kalkulačka spoření: budoucí hodnota s vklady

Kalkulačka spoření

Kalkulačka spoření odhaduje, jakou hodnotu bude mít spořicí nebo investiční účet po zvoleném počtu let. Kombinuje jednorázový počáteční vklad s pravidelným měsíčním, čtvrtletním nebo ročním vkladem a oba vklady zhodnocuje složeným úročením.

Co kalkulátor dělá

Kalkulačka používá sedm vstupních údajů: počáteční vklad, pravidelný vklad, četnost vkladů (měsíčně, čtvrtletně nebo ročně), zda každý vklad probíhá na začátku nebo na konci období, roční úrokovou sazbu, četnost připisování úroků a počet let, po které se peníze zhodnocují.

Výsledkem jsou tři údaje: budoucí hodnota (konečný zůstatek), celkové vklady (počáteční vklad plus všechny pravidelné vklady) a celkové úroky (rozdíl mezi těmito dvěma částkami). Graf zobrazuje zůstatek na konci každého vkladového období.

Počáteční vklad může být od 0 US$ do 1 US$ bilionu a vklad od 0 US$ do 1 US$ miliardy za období. Úroková sazba může být od 0 % do 100 %. Počet let musí být větší než 0 a nejvýše 100. Alespoň jeden z počátečního vkladu a pravidelného vkladu musí být vyšší než 0 US$.

Jak vypočítat budoucí hodnotu spořicího plánu

Kombinují se dva standardní výsledky, které jsou oba popsány v článcích Wikipedie „Future value“ a „Annuity“.

Počáteční vklad roste pouze díky složenému úročení:

FV(vkladu) = P₀ × (1 + i)ˣ

Pravidelné vklady se zhodnocují jako anuita:

FV(vkladů) = PMT × (1 + i)ˣ⁻ᴺ × A

• P₀ je počáteční vklad.
• PMT je pravidelný vklad.
• i je úroková sazba pro jedno vkladové období.
• x je horizont měřený počtem vkladových období (roky × počet období za rok).
• N je skutečný počet provedených vkladů.
• A je anuitní faktor, tedy budoucí hodnota částky 1 US$ vložené v každém období po dobu N období.

Anuitní faktor závisí na tom, kdy vklady probíhají:

Vklad na začátku každého období se úročí o jedno období déle, což vysvětluje dodatečný faktor (1 + i). Když je sazba 0 %, anuitní faktor je N: vklady se pouze sečtou bez zhodnocení.

Budoucí hodnota je součtem obou částí. Celkový výnos z úroků je budoucí hodnota minus všechny vložené částky.

Když se četnost připisování úroků a vkladů liší

Úroky se mohou připisovat častěji nebo méně často, než se provádějí vklady, například měsíční připisování úroků při čtvrtletních vkladech. Kalkulačka převádí nominální roční sazbu r, připisovanou n-krát ročně, na efektivní sazbu pro jedno vkladové období (viz článek Wikipedie „Effective interest rate“):

i = (1 + r/n)^(n/m) − 1

kde m je počet vkladů za rok. Při roční sazbě 5 % s měsíčním připisováním úroků a čtvrtletními vklady platí i = (1 + 0,05/12)³ − 1 ≈ 1,2552 % za čtvrtletí. Když se obě četnosti shodují, i je přímo r/n.

Praktický příklad

Plán začíná částkou 1 000 US$ a na začátku každého měsíce se po dobu 10 let přidává 100 US$ při roční sazbě 5 % s měsíčním připisováním úroků. Jde o výchozí hodnoty kalkulačky.

1. Počet období za rok m = 12, takže horizont je x = 120 období a N = 120 vkladů.
2. Měsíční sazba je i = 0,05 / 12 ≈ 0,0041667.
3. Faktor růstu: (1 + i)¹²⁰ ≈ 1,647009.
4. Počáteční vklad: 1 000 US$ × 1,647009 ≈ 1 647,01 US$.
5. Anuitní faktor (běžná anuita): (1,647009 − 1) / 0,0041667 ≈ 155,282279. Vklady probíhají na začátku každého měsíce, proto se násobí faktorem (1 + i): 155,929289.
6. Vklady: 100 US$ × 155,929289 ≈ 15 592,93 US$.
7. Budoucí hodnota: 1 647,01 US$ + 15 592,93 US$ = 17 239,94 US$.

Celkové vklady jsou 1 000 US$ + 120 × 100 US$ = 13 000 US$, takže celkový výnos z úroků je 17 239,94 US$ − 13 000 US$ = 4 239,94 US$. Při stejném plánu, ale s vklady na konci každého měsíce, je budoucí hodnota 17 175,24 US$, tedy přibližně o 65 US$ nižší.

Druhý příklad s vklady na konci měsíce: počáteční vklad 5 000 US$, 200 US$ měsíčně, 6 % s měsíčním připisováním úroků, po dobu 20 let. Zde (1,005)²⁴⁰ ≈ 3,310204, vklad vzroste na 16 551,02 US$, anuitní faktor je 462,040895 a vklady vzrostou na 92 408,18 US$. Budoucí hodnota je 108 959,20 US$: vloženo bylo 53 000 US$ a úroky činí 55 959,20 US$. To odpovídá kalkulačce složeného úročení americké Komise pro cenné papíry na webu investor.gov, s níž byl porovnán výpočetní modul nástroje.

Konvence používané touto kalkulačkou

Vklady se ve výchozím nastavení provádějí na začátku období. U většiny skutečných spořicích plánů se částka odečítá z účtu na začátku každého měsíce, takže výchozím nastavením je anuita splatná předem. Mnohé učebnice a kalkulačky však předpokládají běžnou anuitu; volba načasování mezi těmito dvěma možnostmi přepíná.

U desetinných počtů let se počet vkladů určuje podle načasování. Během 2,5 roku s ročními vklady provede plán s vklady na konci období 2 vklady (úročí se pouze dokončené roky), zatímco plán s vklady na začátku období provede 3 vklady (každý vklad se provede na začátku roku). Každý provedený vklad i počáteční částka se přesto zhodnocují až do přesného horizontu, včetně posledního neúplného období.

Výsledky jsou nominální. Neodečítá se inflace, daň ani poplatek. Budoucí hodnota odpovídá částce uvedené na výpisu z účtu, nikoli její kupní síle.

Zaokrouhlení probíhá pouze jednou, na konci. Budoucí hodnota a celkové vklady se zaokrouhlují na cent a celkový výnos z úroků je jejich rozdíl, takže se tři zobrazené údaje vždy přesně rovnají.

Často kladené otázky

Jaká je budoucí hodnota spořicího plánu? Je to zůstatek na účtu na konci plánu: počáteční vklad a každý pravidelný vklad, přičemž každý z nich se od okamžiku vložení až do konce zhodnocuje složeným úročením.

Záleží skutečně na tom, zda se vklad provede na začátku měsíce? Ano, trochu. Každý vklad se úročí o jedno období déle, takže část vkladu na zůstatku se násobí faktorem (1 + i). Ve výchozím příkladu činí rozdíl za 10 let 64,70 US$.

Proč četnost připisování úroků mění výsledek? Častější připisování úroků připisuje úrok dříve, takže úrok se začne dříve dále úročit. Kalkulačka to zahrnuje do efektivní sazby na období i = (1 + r/n)^(n/m) − 1, takže přesně zpracuje jakoukoli kombinaci četnosti připisování úroků a vkladů.

Co se stane při úrokové sazbě 0 %? Budoucí hodnota je jednoduše součtem všech vložených peněz. Výchozí plán při sazbě 0 % končí přesně na částce 13 000 US$ s úroky ve výši 0 US$.

Zohledňuje kalkulačka inflaci nebo daně? Ne. Všechny výsledky jsou nominální částky v dolarech. Pro odhad kupní síly lze zadat nižší „reálnou“ sazbu, nástroj však nepřijímá záporné sazby.

Proč je celkový výnos z úroků roven budoucí hodnotě minus celkové vklady? Úrok představuje každý dolar na účtu, který nebyl vložen. Protože vklady jsou započítány v celkových vkladech, vše, co z budoucí hodnoty zbývá, musí pocházet ze složeného úročení.

Reference

1. "Future value." Wikipedie, https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
2. "Annuity." Wikipedie, https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
3. "Effective interest rate." Wikipedie, https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
4. "Compound Interest Calculator." Komise pro cenné papíry Spojených států, Investor.gov, https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.