T-Test Beregner - Gratis Online Statistisk Analyseværktøj

Hvad er en t-test?

En t-test er en statistisk metode, der undersøger, om gennemsnittet af et sæt tal er meningsfuldt forskelligt fra et andet gennemsnit eller fra en fast værdi. Den kaldes også Students t-test. Forskere bruger den til at sammenligne to grupper, f.eks. en behandlingsgruppe og en kontrolgruppe, eller til at sammenligne én gruppe med en kendt standard.

Testen frembringer et tal, der kaldes t-statistikken. En t-statistik, der ligger langt fra nul, tyder på, at gennemsnittene faktisk er forskellige. En t-statistik tæt på nul tyder på, at forskellen blot kan skyldes tilfældig støj.

Typer af t-test

Denne beregner understøtter tre typer t-test.

• t-test for én stikprøve: sammenligner gennemsnittet af én stikprøve med en kendt eller hypotetisk værdi.
• t-test for to stikprøver: sammenligner gennemsnittene af to uafhængige stikprøver, f.eks. to separate grupper af personer. Denne beregner bruger Welchs t-test, som ikke antager, at de to grupper har samme spredning.
• Parret t-test: sammenligner to sæt målinger fra de samme forsøgspersoner, f.eks. resultater før og efter en behandling.

Sådan bruger du denne t-testberegner

1. Vælg en testtype: én stikprøve, to stikprøver eller parret.
2. Indtast dataene.
   • Én stikprøve: indtast stikprøveværdierne adskilt af kommaer samt populationsgennemsnittet, der skal testes imod.
   • To stikprøver: indtast begge stikprøver som separate lister adskilt af kommaer.
   • Parret: indtast parrene på formen (x1,y1), (x2,y2) og så videre.
3. Angiv et signifikansniveau, typisk 0,05. Beregneren bruger ikke denne værdi. Den viser p-værdien og overlader beslutningen til dig.
4. T-statistikken, frihedsgraderne og p-værdien vises, så snart der er tilstrækkeligt med data. Der er ingen knap, der skal trykkes på.

For at vurdere signifikansen sammenlignes p-værdien med signifikansniveauet. Hvis p-værdien er mindre end eller lig med signifikansniveauet, betragtes forskellen som statistisk signifikant.

Formel for t-test

Formel for t-test med én stikprøve

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ er stikprøvens gennemsnit, $\mu_0$ er den værdi, der testes imod, $s$ er stikprøvens standardafvigelse, og $n$ er stikprøvens størrelse. Frihedsgrader: $df = n - 1$.

Formel for t-test med to stikprøver (Welchs test)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

Frihedsgraderne kommer fra Welch-Satterthwaite-ligningen:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

Denne formel giver normalt en df, der ikke er et helt tal.

Formel for parret t-test

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ er gennemsnittet af forskellene mellem hvert par, $s_d$ er standardafvigelsen for disse forskelle, og $n$ er antallet af par. Frihedsgrader: $df = n - 1$.

Sådan beregnes en t-test: Regneeksempel

En producent hævder, at et batteri i gennemsnit holder 50 timer. En tester undersøger ni batterier og registrerer følgende levetider i timer:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

Trin 1: Angiv hypoteserne. Nulhypotese: det sande gennemsnit er 50 timer. Alternativ hypotese: det sande gennemsnit er ikke 50 timer.

Trin 2: Find stikprøvens gennemsnit.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

Trin 3: Find stikprøvens standardafvigelse. Afvigelserne fra gennemsnittet er 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1. I anden er de 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1, som tilsammen giver 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

Trin 4: Find t-statistikken.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

Trin 5: Find frihedsgraderne.

$$df = 9 - 1 = 8$$

Trin 6: Find p-værdien. Ved $t = 0$ og $df = 8$ er den tosidede p-værdi 1,00.

Trin 7: Drag en konklusion. Da 1,00 er større end 0,05, er der ikke tilstrækkeligt belæg for, at batteriets gennemsnitlige levetid afviger fra 50 timer.

Forudsætninger for t-test

En t-test giver kun pålidelige resultater, når nogle få betingelser omtrent er opfyldt.

• Normalfordeling: dataene bør omtrent have form som en klokke, især ved små stikprøver.
• Uafhængighed: hver observation bør ikke påvirke nogen anden observation.
• Tilfældig stikprøveudtagning: dataene bør stamme fra en tilfældig stikprøve af den population, der undersøges.

Ved en parret t-test gælder disse betingelser for forskellene mellem parrene, ikke for de rå resultater. For større stikprøver, omtrent over 30, har en t-test en tendens til at forblive nøjagtig, selv når dataene ikke har en perfekt klokkeform, på grund af en statistisk egenskab, der kaldes den centrale grænseværdisætning.

Alternativer til t-testen

Når ovenstående forudsætninger ikke er opfyldt, kan andre test anvendes i stedet.

• Mann-Whitneys U-test: et ikke-parametrisk alternativ til t-testen for to stikprøver.
• Wilcoxons signed-rank-test: et ikke-parametrisk alternativ til den parrede t-test.
• ANOVA: sammenligner gennemsnittene af tre eller flere grupper på én gang i stedet for kun to.

T-testens historie

William Sealy Gosset udviklede t-testen i 1908, mens han arbejdede som kemiker på Guinness-bryggeriet i Dublin. Guinness tillod ikke medarbejdere at offentliggøre forskning under deres egne navne, så Gosset brugte pseudonymet »Student«. Derfor kaldes metoden ofte Students t-test. Han udviklede den for at vurdere, om små portioner af bryggeriets ingredienser opfyldte kvalitetsstandarderne, ud fra kun få prøver ad gangen.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad bruges en t-test til?

En t-test undersøger, om gennemsnittet af en stikprøve er signifikant forskelligt fra et andet gennemsnit eller fra en fast værdi. Den er almindelig inden for medicin, psykologi, uddannelse og erhvervsforskning.

Hvornår skal jeg bruge en t-test med én stikprøve, to stikprøver eller en parret t-test?

Brug en t-test med én stikprøve til at sammenligne et stikprøvegennemsnit med en kendt værdi. Brug en t-test med to stikprøver til at sammenligne to separate, ikke-relaterede grupper. Brug en parret t-test, når de samme forsøgspersoner måles to gange, f.eks. før og efter en behandling.

Hvad er forskellen på en t-test og en z-test?

En t-test bruges, når stikprøven er lille, eller når populationens standardafvigelse er ukendt. En z-test bruges til store stikprøver, når populationens standardafvigelse er kendt. I praksis bruges t-testen langt oftere, fordi populationens standardafvigelse sjældent er kendt på forhånd.

Hvordan fortolker jeg en p-værdi fra en t-test?

P-værdien er sandsynligheden for at observere en forskel af denne størrelse eller større, hvis der faktisk ikke var nogen reel forskel. En lille p-værdi, typisk lig med eller under 0,05, tyder på, at den observerede forskel næppe skyldes tilfældigheder alene.

Hvad er Welchs t-test?

Welchs t-test er en version af t-testen for to stikprøver, som ikke kræver, at de to grupper har samme varians. Denne beregner bruger altid Welchs metode til test med to stikprøver, fordi den forbliver nøjagtig, uanset om de to grupper varierer lige meget.

Hvad er frihedsgrader i en t-test?

Frihedsgrader er et tal baseret på stikprøvens størrelse, som fastlægger den præcise form af den t-fordeling, der bruges til at finde p-værdien. Ved en t-test med én stikprøve eller en parret t-test er frihedsgraderne lig med stikprøvens størrelse minus 1. Welchs t-test med to stikprøver bruger en formel, der normalt giver en værdi, som ikke er et helt tal.

Referencer

1. Gosset, W. S. (1908). »The Probable Error of a Mean.« Biometrika, 6(1), 1–25.
2. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, afsnit 1.3.6.7.2, »Kritiske værdier for Students t-fordeling«.