Bogenkalkulator - Radius, Spannweite & Höhe berechnen

Was ist ein Bogenrechner?

Ein Bogenrechner ermittelt die Abmessungen eines Kreisbogens – seinen Radius, seine Spannweite und seine Stichhöhe – aus zwei beliebigen dieser Werte. Außerdem berechnet er die Bogenlänge und die Bogenfläche. Architekten, Bauleute und Hobbyhandwerker verwenden ihn zur Planung von Türöffnungen, Fenstern, Brücken und geschwungenen Gartenelementen.

Wichtige Bogenabmessungen

Ein Kreisbogen ist ein Stück, das aus dem Rand eines Kreises herausgeschnitten ist. Fünf Maße beschreiben seine Form:

• Radius: der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf der Bogenkurve.
• Spannweite: der gerade waagerechte Abstand zwischen den beiden unteren Enden des Bogens, auch Breite genannt.
• Stichhöhe: der senkrechte Abstand von der Kämpferlinie (der waagerechten Linie zwischen den beiden Enden) bis zum höchsten Punkt des Bogens.
• Bogenlänge: der Abstand entlang der gekrümmten Linie des Bogens, von einem Ende zum anderen.
• Bogenfläche: die Fläche des gekrümmten Bereichs zwischen dem Bogen und der Kämpferlinie.

Formeln für Bogenabmessungen

Diese Formeln gelten für einen Kreisbogen, der aus einem Abschnitt eines einzigen Kreises gebildet wird. Sie gelten für jede Stichhöhe bis zum Doppelten des Radius. Dieser Bereich umfasst die meisten Tür-, Fenster- und Brückenbögen, die berechnet werden, sowie Hufeisenbögen, bei denen sich die Kurve über einen Halbkreis hinaus fortsetzt.

Formel für die Stichhöhe (aus Radius und Spannweite)

$\text{Höhenmaß} = \text{Radius} - \sqrt{\text{Radius}^2 - \left(\frac{\text{Spannweite}}{2}\right)^2}$

Gültig, wenn Radius und Spannweite positiv sind und die Spannweite ≤ 2 × Radius beträgt.

Formel für den Radius (aus Spannweite und Stichhöhe)

$\text{Radius} = \frac{\text{Spannweite}^2}{8 \times \text{Höhenmaß}} + \frac{\text{Höhenmaß}}{2}$

Gültig, wenn Spannweite und Stichhöhe positiv sind.

Formel für die Spannweite (aus Radius und Stichhöhe)

$\text{Spannweite} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Radius} \times \text{Höhenmaß} - \text{Höhenmaß}^2}$

Gültig, wenn Radius und Stichhöhe positiv sind und die Stichhöhe ≤ 2 × Radius beträgt.

Formel für die Bogenlänge

$\text{Bogenlänge} = \text{Radius} \times \theta$

Hier ist θ (Theta) der Mittelpunktswinkel in Bogenmaß, den die Bogenkurve am Mittelpunkt des Kreises überstreicht. Wenn die Stichhöhe nicht größer als der Radius ist, ist der Bogen höchstens ein Halbkreis und θ lautet:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Spannweite}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Wenn die Stichhöhe größer als der Radius ist, ist der Bogen mehr als ein Halbkreis, und θ entspricht dem verbleibenden Teil des Kreisumfangs:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Spannweite}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Der Rechner deckt beide Fälle in einem Schritt ab: θ = 2 × atan2(Spannweite ÷ 2, Radius − Stichhöhe), wobei der Wert auch beim Halbkreis exakt bleibt.

Formel für die Bogenfläche

$\text{Bogenfläche} = \frac{1}{2} \times \text{Radius}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Spannweite} \times (\text{Radius} - \text{Höhenmaß})$

So wird der Bogenrechner verwendet

Der Rechner bietet drei Modi, jeweils einen für die Abmessung, die möglicherweise fehlt.

Stichhöhe berechnen, wenn Radius und Spannweite bekannt sind: Radius und Spannweite eingeben. Das Werkzeug gibt Stichhöhe, Bogenlänge und Bogenfläche aus.

Radius berechnen, wenn Spannweite und Stichhöhe bekannt sind: Spannweite und Stichhöhe eingeben. Das Werkzeug gibt Radius, Bogenlänge und Bogenfläche aus.

Spannweite berechnen, wenn Radius und Stichhöhe bekannt sind: Radius und Stichhöhe eingeben. Das Werkzeug gibt Spannweite, Bogenlänge und Bogenfläche aus.

Der Rechner weist Eingaben zurück, aus denen kein reeller Bogen entstehen kann. Die Spannweite darf nicht größer als das Doppelte des Radius sein, die Stichhöhe darf das Doppelte des Radius nicht überschreiten, und jedes Maß muss eine positive Zahl sein. Wenn ein Wert eine dieser Regeln verletzt, wird eine Fehlermeldung angezeigt.

Beispielrechnung

Beispiel 1: Türbogen

Ein Türbogen hat eine Spannweite von 36 Zoll (91,4 cm) und eine Stichhöhe von 12 Zoll (30,5 cm).

Radius = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 Zoll (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 Radiant

Bogenlänge = 19,5 × 2,352 = 45,86 Zoll (116 cm)

Bogenfläche = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 Quadratzoll (2.010 cm²)

Beispiel 2: Gartenbogen

Ein Gartenbogen hat einen Radius von 4 Fuß (1,2 m) und eine Spannweite von 6 Fuß (1,8 m).

Stichhöhe = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 Fuß (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 Radiant

Bogenlänge = 4 × 1,696 = 6,78 Fuß (2,07 m)

Bogenfläche = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 Quadratfuß (0,523 m²)

Beispiel 3: Brückenbogen

Ein Brückenbogen hat eine Spannweite von 50 Fuß (15 m) und eine Stichhöhe von 15 Fuß (4,57 m).

Radius = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 Fuß (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 Radiant

Bogenlänge = 28,33 × 2,162 = 61,25 Fuß (18,7 m)

Bogenfläche = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 Quadratfuß (49,6 m²)

Häufige Anwendungen von Bogenberechnungen

Bauleute verwenden Bogenabmessungen, um Schalungen für Betonbögen zuzuschneiden, Schablonen für Mauerwerksbögen aus Ziegeln oder Stein anzulegen und die Krümmung gewölbter Decken zu planen. Brückenplaner nutzen Spannweite, Stichhöhe und Radius, um Lastverteilung und Durchfahrtshöhe aufeinander abzustimmen. Bei Restaurierungsarbeiten dienen dieselben Formeln dazu, beim Reparieren oder Wiederaufbauen eines historischen Bogens dessen genaue Geometrie nachzubilden. Gärtner und Heimwerker verwenden sie für Rankgitter, Tore und dekorative Öffnungen mit Bogenform.

Dieser Rechner gilt nur für Kreisbögen, die aus dem Bogen eines einzigen Kreises gebildet werden. Elliptische, parabolische, gotische und Kettenlinienbögen folgen anderen Kurven und erfordern andere Formeln.

Eine kurze Geschichte des Bogens

Baumeister im antiken Mesopotamien verwendeten bereits um 2500 v. Chr. frühe bogenähnliche Formen, obwohl die meisten durch Kragbauweise errichtet wurden – durch Aufschichten von Steinen, sodass jede Lage über die darunterliegende hinausragt – und nicht als echte gekrümmte Bögen. Die Römer entwickelten den Halbkreisbogen zu einer standardisierten Bauweise und verwendeten ihn bei Aquädukten, Brücken und Gebäuden wie dem Kolosseum. Mittelalterliche Baumeister in Europa entwickelten den spitz zulaufenden gotischen Bogen, mit dem sie höhere und leichtere Bauwerke errichten konnten. Spätere Architekten griffen auf Halbkreisformen mit genau festgelegten Proportionen zurück, und moderne Materialien wie Stahl und Stahlbeton ermöglichen heute Bögen mit wesentlich größeren Spannweiten.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Stichhöhe und Höhe bei einem Bogen?

Die Stichhöhe ist der senkrechte Abstand von der Kämpferlinie bis zum höchsten Punkt der Bogenkurve. Höhe bezeichnet manchmal die Gesamthöhe einer Öffnung einschließlich einer geraden Wand unterhalb der Kämpferlinie.

Funktioniert dieser Rechner für alle Bogentypen?

Nein. Er funktioniert nur für Kreisbögen, die wie ein Abschnitt eines Kreises geformt sind. Elliptische, parabolische, gotische und Kettenlinienbögen folgen anderen Kurven und benötigen eigene Formeln.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen Spannweite und Radius bei einem Halbkreisbogen?

Bei einem Halbkreisbogen entspricht der Radius der halben Spannweite, und die Stichhöhe entspricht dem Radius. Der Bogen bildet genau die Hälfte eines Kreises.

Warum darf die Spannweite nicht größer als das Doppelte des Radius sein?

Eine Spannweite, die dem Doppelten des Radius entspricht, ergibt bereits einen Halbkreis, den breitestmöglichen Bogen für diesen Radius. Eine größere Spannweite würde überhaupt nicht auf den Kreis passen.

Warum darf die Stichhöhe im Modus „Spannweite berechnen“ nicht größer als das Doppelte des Radius sein?

Die Stichhöhe wird von der Kämpferlinie bis zum höchsten Punkt des Bogens auf demselben Kreis gemessen. Der doppelte Radius entspricht der vollständigen Höhe dieses Kreises; eine größere Stichhöhe würde den Scheitel des Bogens vollständig außerhalb des Kreises platzieren. Eine Stichhöhe zwischen dem Radius und dem Doppelten des Radius ist zulässig. Der Bogen ist dann mehr als ein Halbkreis – die Form, die bei Hufeisenbögen verwendet wird.

Welche Einheiten verwendet der Rechner?

Jede einheitliche Maßeinheit ist geeignet – Zoll, Fuß, Meter oder Zentimeter. Alle Werte müssen in derselben Einheit eingegeben werden; die Ergebnisse werden dann ebenfalls in dieser Einheit angegeben, die Fläche in der entsprechenden Quadrateinheit.