Bogenkalkulator - Radius, Spannweite & Höhe berechnen

Was ist ein Bogenrechner?

Ein Bogenrechner ermittelt die Abmessungen eines Kreisbogens – seinen Radius, seine Spannweite und seine Stichhöhe – aus zwei beliebigen dieser Werte. Außerdem berechnet er die Bogenlänge und die Bogenfläche. Architekten, Bauleute und Hobbyhandwerker verwenden ihn zur Planung von Türöffnungen, Fenstern, Brücken und geschwungenen Gartenelementen.

Wichtige Bogenabmessungen

Ein Kreisbogen ist ein Stück, das aus dem Rand eines Kreises herausgeschnitten ist. Fünf Maße beschreiben seine Form:

• Radius: der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf der Bogenkurve.
• Spannweite: der gerade waagerechte Abstand zwischen den beiden unteren Enden des Bogens, auch Breite genannt.
• Stichhöhe: der senkrechte Abstand von der Kämpferlinie (der waagerechten Linie zwischen den beiden Enden) bis zum höchsten Punkt des Bogens.
• Bogenlänge: der Abstand entlang der gekrümmten Linie des Bogens, von einem Ende zum anderen.
• Bogenfläche: die Fläche des gekrümmten Bereichs zwischen dem Bogen und der Kämpferlinie.

Formeln für Bogenabmessungen

Diese Formeln gelten für einen Kreisbogen, also einen Bogen, der aus einem Abschnitt eines einzigen Kreises besteht. Die meisten Tür-, Fenster- und Brückenbögen haben eine Stichhöhe, die den Radius nicht übersteigt. Der Rechner behandelt auch höhere Hufeisenbögen, bei denen die Stichhöhe größer als der Radius, aber höchstens doppelt so groß wie der Radius ist. Bei einem Hufeisenbogen umfasst die Kurve mehr als einen halben Kreis, sodass die Enden wieder nach innen laufen.

Formel für die Stichhöhe (aus Radius und Spannweite)

$\text{Stichhöhe} = \text{Radius} - \sqrt{\text{Radius}^2 - \left(\frac{\text{Spannweite}}{2}\right)^2}$

Gültig, wenn Radius und Spannweite positiv sind und die Spannweite ≤ 2 × Radius ist. Diese Formel liefert den flacheren der beiden Bögen, die zu einem gegebenen Radius und einer gegebenen Spannweite passen. Die berechnete Stichhöhe ist deshalb nie größer als der Radius. Der Rechner löst sie in einer gleichwertigen umgestellten Form, (Spannweite/2)² ÷ (Radius + √(Radius² − (Spannweite/2)²)), die auch bei sehr flachen Bögen genau bleibt.

Formel für den Radius (aus Spannweite und Stichhöhe)

$\text{Radius} = \frac{\text{Spannweite}^2}{8 \times \text{Stichhöhe}} + \frac{\text{Stichhöhe}}{2}$

Gültig, wenn Spannweite und Stichhöhe positiv sind.

Formel für die Spannweite (aus Radius und Stichhöhe)

$\text{Spannweite} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Radius} \times \text{Stichhöhe} - \text{Stichhöhe}^2}$

Gültig, wenn Radius und Stichhöhe positiv sind und die Stichhöhe ≤ 2 × Radius ist. Eine Stichhöhe über dem Radius ergibt einen Hufeisenbogen. Bei einer Stichhöhe von genau dem Doppelten des Radius schließt sich der Kreis, und die Spannweite wird zu 0.

Formel für die Bogenlänge

$\text{Bogenlänge} = \text{Radius} \times \theta$

Hier ist θ (Theta) der Mittelpunktswinkel in Radiant, den die Kurve des Bogens im Mittelpunkt des Kreises überstreicht. Der Rechner bestimmt ihn mit dem Arkustangens mit zwei Argumenten, atan2, der für jede Bogenform funktioniert, auch für Hufeisenbögen, bei denen θ größer als π ist:

$\theta = 2 \times \operatorname{atan2}\left(\frac{\text{Spannweite}}{2},\ \text{Radius} - \text{Stichhöhe}\right)$

Ist die Stichhöhe nicht größer als der Radius, ergibt sich derselbe Winkel wie mit der einfacheren Form:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Spannweite}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Formel für die Bogenfläche

$\text{Bogenfläche} = \frac{1}{2} \times \text{Radius}^2 \times (\theta - \sin\theta)$

Das ist die Fläche des tortenstückförmigen Kreissektors abzüglich des Dreiecks zwischen seinen beiden Radien. Ausgeschrieben ist sie gleich:

$\text{Bogenfläche} = \frac{1}{2} \times \text{Radius}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Spannweite} \times (\text{Radius} - \text{Stichhöhe})$

Bei einem Hufeisenbogen ist Radius − Stichhöhe negativ, sodass der Dreiecksterm addiert statt subtrahiert wird.

So wird der Bogenrechner verwendet

Der Rechner bietet drei Modi, jeweils einen für die Abmessung, die möglicherweise fehlt.

Stichhöhe berechnen, wenn Radius und Spannweite bekannt sind: Radius und Spannweite eingeben. Das Werkzeug gibt Stichhöhe, Bogenlänge und Bogenfläche aus.

Radius berechnen, wenn Spannweite und Stichhöhe bekannt sind: Spannweite und Stichhöhe eingeben. Das Werkzeug gibt Radius, Bogenlänge und Bogenfläche aus.

Spannweite berechnen, wenn Radius und Stichhöhe bekannt sind: Radius und Stichhöhe eingeben. Das Werkzeug gibt Spannweite, Bogenlänge und Bogenfläche aus.

Der Rechner weist Eingaben zurück, aus denen kein reeller Bogen entstehen kann. Die Spannweite darf nicht größer als das Doppelte des Radius sein, die Stichhöhe darf das Doppelte des Radius nicht überschreiten, und jedes Maß muss eine positive Zahl sein. Wenn ein Wert eine dieser Regeln verletzt, wird eine Fehlermeldung angezeigt.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Türbogen

Ein Türbogen hat eine Spannweite von 36 Zoll (91,4 cm) und eine Stichhöhe von 12 Zoll (30,5 cm).

Radius = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 Zoll (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 Radiant

Bogenlänge = 19,5 × 2,352 = 45,86 Zoll (116 cm)

Bogenfläche = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 Quadratzoll (2.010 cm²)

Beispiel 2: Gartenbogen

Ein Gartenbogen hat einen Radius von 4 Fuß (1,2 m) und eine Spannweite von 6 Fuß (1,8 m).

Stichhöhe = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 Fuß (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 Radiant

Bogenlänge = 4 × 1,696 = 6,78 Fuß (2,07 m)

Bogenfläche = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 Quadratfuß (0,523 m²)

Beispiel 3: Brückenbogen

Ein Brückenbogen hat eine Spannweite von 50 Fuß (15 m) und eine Stichhöhe von 15 Fuß (4,57 m).

Radius = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 Fuß (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 Radiant

Bogenlänge = 28,33 × 2,162 = 61,25 Fuß (18,7 m)

Bogenfläche = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 Quadratfuß (49,6 m²)

Beispiel 4: Hufeisenbogen

Ein dekorativer Hufeisenbogen hat einen Radius von 10 Zoll (25 cm) und eine Stichhöhe von 15 Zoll (38,1 cm). Die Stichhöhe ist größer als der Radius, daher umfasst die Kurve mehr als einen halben Kreis.

Spannweite = 2 × √(2 × 10 × 15 − 15²) = 2 × √(300 − 225) = 2 × √75 = 17,32 Zoll (44 cm)

θ = 2 × atan2(8,66, 10 − 15) = 2 × atan2(8,66, −5) = 4,189 Radiant (240°)

Bogenlänge = 10 × 4,189 = 41,89 Zoll (106 cm)

Bogenfläche = 0,5 × 10² × (4,189 − sin 4,189) = 50 × (4,1888 + 0,8660) = 50 × 5,0548 = 252,74 Quadratzoll (1.630 cm²)

Häufige Anwendungen von Bogenberechnungen

Bauleute verwenden Bogenabmessungen, um Schalungen für Betonbögen zuzuschneiden, Schablonen für Mauerwerksbögen aus Ziegeln oder Stein anzulegen und die Krümmung gewölbter Decken zu planen. Brückenplaner nutzen Spannweite, Stichhöhe und Radius, um Lastverteilung und Durchfahrtshöhe aufeinander abzustimmen. Bei Restaurierungsarbeiten dienen dieselben Formeln dazu, beim Reparieren oder Wiederaufbauen eines historischen Bogens dessen genaue Geometrie nachzubilden. Gärtner und Heimwerker verwenden sie für Rankgitter, Tore und dekorative Öffnungen mit Bogenform.

Dieser Rechner gilt nur für Kreisbögen, die aus dem Bogen eines einzigen Kreises gebildet werden. Elliptische, parabolische, gotische und Kettenlinienbögen folgen anderen Kurven und erfordern andere Formeln.

Eine kurze Geschichte des Bogens

Baumeister im antiken Mesopotamien verwendeten bereits um 2500 v. Chr. frühe bogenähnliche Formen, obwohl die meisten durch Kragbauweise errichtet wurden – durch Aufschichten von Steinen, sodass jede Lage über die darunterliegende hinausragt – und nicht als echte gekrümmte Bögen. Die Römer entwickelten den Halbkreisbogen zu einer standardisierten Bauweise und verwendeten ihn bei Aquädukten, Brücken und Gebäuden wie dem Kolosseum. Mittelalterliche Baumeister in Europa entwickelten den spitz zulaufenden gotischen Bogen, mit dem sie höhere und leichtere Bauwerke errichten konnten. Spätere Architekten griffen auf Halbkreisformen mit genau festgelegten Proportionen zurück, und moderne Materialien wie Stahl und Stahlbeton ermöglichen heute Bögen mit wesentlich größeren Spannweiten.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Stichhöhe und Höhe bei einem Bogen?

Die Stichhöhe ist der senkrechte Abstand von der Kämpferlinie bis zum höchsten Punkt der Bogenkurve. Höhe bezeichnet manchmal die Gesamthöhe einer Öffnung einschließlich einer geraden Wand unterhalb der Kämpferlinie.

Funktioniert dieser Rechner für alle Bogentypen?

Nein. Er funktioniert nur für Kreisbögen, die wie ein Abschnitt eines Kreises geformt sind. Elliptische, parabolische, gotische und Kettenlinienbögen folgen anderen Kurven und benötigen eigene Formeln.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen Spannweite und Radius bei einem Halbkreisbogen?

Bei einem Halbkreisbogen entspricht der Radius der halben Spannweite, und die Stichhöhe entspricht dem Radius. Der Bogen bildet genau die Hälfte eines Kreises.

Warum darf die Spannweite nicht größer als das Doppelte des Radius sein?

Eine Spannweite, die dem Doppelten des Radius entspricht, ergibt bereits einen Halbkreis, den breitestmöglichen Bogen für diesen Radius. Eine größere Spannweite würde überhaupt nicht auf den Kreis passen.

Kann die Stichhöhe größer sein als der Radius?

Ja. Eine Stichhöhe zwischen dem Radius und dem doppelten Radius ergibt einen Hufeisenbogen, der mehr als ein halber Kreis ist. Die Stichhöhe kann das Doppelte des Radius nicht überschreiten, denn das ist die volle Höhe des Kreises. Im Modus „Stichhöhe berechnen“ liefert das Werkzeug immer den flacheren Bogen, dessen Stichhöhe also nie größer als der Radius ist.

Welche Einheiten verwendet der Rechner?

Jede einheitliche Maßeinheit ist geeignet – Zoll, Fuß, Meter oder Zentimeter. Geben Sie alle Werte in derselben Einheit ein; die Ergebnisse werden dann ebenfalls in dieser Einheit angegeben, die Fläche in der entsprechenden Quadrateinheit.