Gibbs Phasenregel-Rechner - Freiheitsgrade berechnen

Was ist die Gibbs’sche Phasenregel?

Die Gibbs’sche Phasenregel ist eine Formel aus der Thermodynamik, der Lehre von Wärme, Energie und Materie. Sie sagt voraus, wie viele Bedingungen, etwa Temperatur oder Druck, in einem System unabhängig voneinander geändert werden können, ohne die bei Gleichgewicht vorhandenen Phasen zu verändern. Eine Phase ist ein physikalisch unterscheidbarer, gleichförmiger Teil eines Systems, etwa Eis, flüssiges Wasser oder Wasserdampf. Dieser Rechner wendet die Regel an: Geben Sie die Anzahl der Komponenten und Phasen ein, und er gibt die Freiheitsgrade zurück.

Formel der Gibbs’schen Phasenregel

Die Regel wird wie folgt geschrieben:

$F = C - P + 2$

• F bezeichnet die Freiheitsgrade: die Anzahl der Variablen, etwa Temperatur, Druck oder Zusammensetzung, die unabhängig voneinander geändert werden können, ohne die vorhandenen Phasen zu verändern.
• C bezeichnet die Anzahl der Komponenten: die kleinste Anzahl unabhängiger chemischer Stoffe, die benötigt wird, um alles im System zu beschreiben.
• P bezeichnet die Anzahl der Phasen: die physikalisch getrennten, gleichförmigen Bereiche im System.
• 2 steht für Temperatur und Druck, die beiden Variablen, die die meisten Systeme beeinflussen.

Der Thermodynamikkurs des MIT für Werkstoffe gibt dieselbe Regel in der Form Freiheitsgrade = C + 2 − Ph an, wobei Ph die Anzahl der Phasen ist.

Der amerikanische Physiker Josiah Willard Gibbs veröffentlichte die Regel in den 1870er Jahren in einer Arbeit mit dem Titel „Über das Gleichgewicht heterogener Substanzen“.

Herleitung der Formel

In einem System mit C Komponenten, die über P Phasen verteilt sind, benötigt jede Phase C − 1 Zahlen zur Beschreibung ihrer Zusammensetzung; außerdem gelten Temperatur und Druck für das gesamte System. Das ergibt insgesamt P(C − 1) + 2 Variablen.

Im Gleichgewicht muss jede Komponente in jeder Phase, in der sie vorkommt, dasselbe chemische Potenzial haben, ein Maß für ihre Neigung, sich zu bewegen oder zu reagieren. Dadurch entstehen (P − 1) × C Gleichungen, die das System einschränken.

Wenn man die Einschränkungen von den Variablen abzieht, ergibt sich die Regel:

$F = [P(C - 1) + 2] - [(P - 1) \times C] = C - P + 2$

So berechnen Sie die Freiheitsgrade

1. Zählen Sie die Komponenten. Dies ist die Anzahl der chemisch unabhängigen Stoffe im System. Reines Wasser zählt als eine Komponente, obwohl es Wasserstoff und Sauerstoff enthält, weil keine chemische Reaktion stattfindet.
2. Zählen Sie die Phasen. Dies ist die Anzahl der physikalisch getrennten, gleichförmigen Bereiche, etwa Eis, flüssiges Wasser und Wasserdampf, die gleichzeitig vorhanden sind.
3. Wenden Sie die Formel an: F = C − P + 2.
4. Lesen Sie das Ergebnis ab. Ein positives F ist die Anzahl der Variablen, die sich ändern können, während jede Phase vorhanden bleibt. F = 0 bedeutet, dass das System nur bei genau einer Temperatur und einem Druck existiert. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass das System wie beschrieben im Gleichgewicht nicht existieren kann.

Berechnungsbeispiele

Wasser an seinem Tripelpunkt

Wasser ist eine Komponente (C = 1). Am Tripelpunkt existieren Eis, flüssiges Wasser und Wasserdampf gleichzeitig, daher gibt es drei Phasen (P = 3).

$F = 1 - 3 + 2 = 0$

Der Tripelpunkt kann nur bei genau einer Temperatur und einem Druck auftreten: bei Wasser 273,16 K und 611,657 Pascal, was 0,01 °C entspricht.

Salzwasser mit festem Salz

Dieses System hat zwei Komponenten, Wasser und Salz (C = 2), sowie zwei Phasen: festes Salz und die Salzlösung (P = 2).

$F = 2 - 2 + 2 = 2$

Zwei Variablen, etwa Temperatur und Druck, können unabhängig voneinander geändert werden, während beide Phasen vorhanden bleiben.

Ein System mit drei Komponenten und vier Phasen

Bei drei Komponenten (C = 3) und vier Phasen (P = 4):

$F = 3 - 4 + 2 = 1$

Nur eine Variable, etwa die Temperatur, kann unabhängig geändert werden, bevor eine Phase verschwindet.

Negative Freiheitsgrade

Die Formel kann eine negative Zahl ergeben, wenn ein System mit mehr Phasen beschrieben wird, als seine Komponenten im Gleichgewicht tragen können. Eine Komponente mit vier Phasen ergibt beispielsweise:

$F = 1 - 4 + 2 = -1$

Eine negative Zahl hat keine physikalische Bedeutung, da ein System keine „negative“ Freiheit haben kann, die Bedingungen zu ändern. Dieser Rechner zeigt keine negative Zahl an. Stattdessen zeigt er „0 (ungültige Konfiguration)“ an, um darauf hinzuweisen, dass die eingegebene Kombination aus Komponenten und Phasen im Gleichgewicht nicht existieren kann.

Anwendungen der Gibbs’schen Phasenregel

• Chemische Verfahrenstechnik: Planung von Destillations- und Kristallisationsverfahren, bei denen die Anzahl der Phasen bestimmt, wie viele Variablen ein Ingenieur kontrollieren muss.
• Materialwissenschaft und Metallurgie: Vorhersage des Verhaltens von Metalllegierungen während der Wärmebehandlung und Abkühlung.
• Geologie: Erklärung, welche Kombinationen von Mineralen sich bei einer bestimmten Temperatur und einem bestimmten Druck gemeinsam in einem Gestein bilden können.
• Pharmazeutische Wissenschaft: Sicherstellung der chemischen Stabilität von Arzneimittelformulierungen und Vorhersage des Verhaltens bei der Gefriertrocknung.

Geschichte der Gibbs’schen Phasenregel

Josiah Willard Gibbs (1839–1903) war ein amerikanischer mathematischer Physiker. Er entwickelte die Phasenregel im Rahmen einer umfassenderen Untersuchung des thermodynamischen Gleichgewichts, veröffentlicht in den Transactions of the Connecticut Academy of Arts and Sciences. Die Zeitschrift war wenig bekannt, daher blieb seine Arbeit zunächst unbeachtet. Gibbs schickte Kopien seiner Aufsätze an führende Wissenschaftler in Europa.

Europäische Wissenschaftler erkannten ihre Bedeutung zuerst. Der Physiker James Clerk Maxwell baute aus Gibbs' Gleichungen ein physikalisches Modell und schickte eine Kopie an Gibbs. Der Chemiker Wilhelm Ostwald übersetzte Gibbs' Arbeiten später ins Deutsche. Der niederländische Chemiker H. W. Bakhuis Roozeboom wandte die Regel später auf reale experimentelle Systeme an und trug so dazu bei, sie als Standardwerkzeug der physikalischen Chemie zu etablieren.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Gibbs’sche Phasenregel?

Sie ist eine Gleichung, F = C − P + 2, die die Anzahl der Variablen, etwa Temperatur, Druck oder Zusammensetzung, angibt, die in einem System im Gleichgewicht unabhängig voneinander geändert werden können, ohne die vorhandenen Phasen zu verändern.

Was bedeutet F = C − P + 2?

F bezeichnet die Freiheitsgrade, C die Anzahl der Komponenten und P die Anzahl der Phasen. Das „+2“ berücksichtigt Temperatur und Druck, die sich auf die meisten Systeme auswirken.

Was gilt als Phase?

Eine Phase ist ein physikalisch unterscheidbarer, gleichförmiger Teil eines Systems, etwa Eis, flüssiges Wasser oder Wasserdampf. Zwei nicht mischbare Flüssigkeiten wie Öl und Wasser zählen als zwei getrennte Phasen.

Was bedeutet ein negatives Ergebnis?

Es bedeutet, dass das System wie beschrieben im Gleichgewicht nicht existieren kann, weil es mehr Phasen hat, als seine Komponenten tragen können. Der Rechner zeigt dies als „0 (ungültige Konfiguration)“ statt als negative Zahl an.

Gilt die Phasenregel für Systeme mit chemischen Reaktionen?

Die Grundform der Regel setzt voraus, dass keine Reaktionen stattfinden. Wenn unabhängige Reaktionen auftreten, verringert jede davon die effektive Anzahl der Komponenten um eins.

Wie hängt die Phasenregel mit einem Phasendiagramm zusammen?

In einem Druck-Temperatur-Diagramm haben einphasige Bereiche F = 2, Linien, die zwei Phasen trennen, haben F = 1, und Tripelpunkte, an denen drei Phasen aufeinandertreffen, haben F = 0.

Referenzen

1. Massachusetts Institute of Technology, OpenCourseWare. 3.020 Thermodynamics of Materials, Lecture 20. MIT 3,020, Vorlesung 20 — Gibbs’sche Phasenregel, Freiheitsgrade = C + 2 − Ph.
2. International Association for the Properties of Water and Steam (IAPWS). Revised Release on the Pressure along the Melting and Sublimation Curves of Ordinary Water Substance. IAPWS R14-08(2011) — Tripelpunkt von Wasser bei 273,16 K und 611,657 Pa.
3. Linda Hall Library. Scientist of the Day: Josiah Willard Gibbs. Josiah Willard Gibbs — "On the Equilibrium of Heterogeneous Substances" in den Transactions of the Connecticut Academy of Arts and Sciences sowie Gibbs' Lebensdaten.
4. National Museums Scotland. Uncovering the history of a thermodynamic model by James Clerk Maxwell. Maxwells thermodynamisches Modell — Maxwells Modell auf Grundlage von Gibbs' Gleichungen, von dem eines an Gibbs geschickt wurde.