Gibbs Phasenregel-Rechner - Freiheitsgrade berechnen

Was ist die Gibbs’sche Phasenregel?

Die Gibbs’sche Phasenregel ist eine Formel aus der Thermodynamik, der Lehre von Wärme, Energie und Materie. Sie sagt voraus, wie viele Bedingungen, etwa Temperatur oder Druck, in einem System unabhängig voneinander geändert werden können, ohne die bei Gleichgewicht vorhandenen Phasen zu verändern. Eine Phase ist ein physikalisch unterscheidbarer, gleichförmiger Teil eines Systems, etwa Eis, flüssiges Wasser oder Wasserdampf. Dieser Rechner wendet die Regel an: Geben Sie die Anzahl der Komponenten und Phasen ein, und er gibt die Freiheitsgrade zurück.

Formel der Gibbs’schen Phasenregel

Die Regel wird wie folgt geschrieben:

$F = C - P + 2$

• F bezeichnet die Freiheitsgrade: die Anzahl der Variablen, etwa Temperatur, Druck oder Zusammensetzung, die unabhängig voneinander geändert werden können, ohne die vorhandenen Phasen zu verändern.
• C bezeichnet die Anzahl der Komponenten: die kleinste Anzahl unabhängiger chemischer Stoffe, die benötigt wird, um alles im System zu beschreiben.
• P bezeichnet die Anzahl der Phasen: die physikalisch getrennten, gleichförmigen Bereiche im System.
• 2 steht für Temperatur und Druck, die beiden Variablen, die sich auf die meisten Systeme auswirken.

Der amerikanische Physiker Josiah Willard Gibbs veröffentlichte die Regel zwischen 1875 und 1878 in einer Abhandlung mit dem Titel „On the Equilibrium of Heterogeneous Substances“.

Herleitung der Formel

In einem System mit C Komponenten, die über P Phasen verteilt sind, benötigt jede Phase C − 1 Zahlen zur Beschreibung ihrer Zusammensetzung; außerdem gelten Temperatur und Druck für das gesamte System. Das ergibt insgesamt P(C − 1) + 2 Variablen.

Im Gleichgewicht muss jede Komponente in jeder Phase, in der sie vorkommt, dasselbe chemische Potenzial haben, ein Maß für ihre Neigung, sich zu bewegen oder zu reagieren. Dadurch entstehen (P − 1) × C Gleichungen, die das System einschränken.

Wenn man die Einschränkungen von den Variablen abzieht, ergibt sich die Regel:

$F = [P(C - 1) + 2] - [(P - 1) \times C] = C - P + 2$

Freiheitsgrade berechnen

1. Zählen Sie die Komponenten. Dies ist die Anzahl der chemisch unabhängigen Stoffe im System. Reines Wasser zählt als eine Komponente, obwohl es Wasserstoff und Sauerstoff enthält, weil keine chemische Reaktion stattfindet.
2. Zählen Sie die Phasen. Dies ist die Anzahl der physikalisch getrennten, gleichförmigen Bereiche, etwa Eis, flüssiges Wasser und Wasserdampf, die gleichzeitig vorhanden sind.
3. Wenden Sie die Formel an: F = C − P + 2.
4. Lesen Sie das Ergebnis ab. Ein positives F ist die Anzahl der Variablen, die geändert werden können, während jede Phase weiterhin vorhanden bleibt. F = 0 bedeutet, dass das System nur bei einer einzigen exakten Temperatur und einem einzigen exakten Druck existiert. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass das System in der beschriebenen Form nicht im Gleichgewicht existieren kann; der Rechner gibt 0 aus und weist darauf hin.

Beispielrechnung

Wasser an seinem Tripelpunkt

Wasser ist eine Komponente (C = 1). Am Tripelpunkt existieren Eis, flüssiges Wasser und Wasserdampf gleichzeitig, daher gibt es drei Phasen (P = 3).

$F = 1 - 3 + 2 = 0$

Der Tripelpunkt kann nur bei einer einzigen exakten Temperatur und einem einzigen exakten Druck auftreten: bei Wasser etwa 0,01 °C und 611,657 Pascal.

Salzwasser mit festem Salz

Dieses System hat zwei Komponenten, Wasser und Salz (C = 2), sowie zwei Phasen: festes Salz und die Salzlösung (P = 2).

$F = 2 - 2 + 2 = 2$

Zwei Variablen, etwa Temperatur und Druck, können unabhängig voneinander geändert werden, während beide Phasen vorhanden bleiben.

Ein System mit drei Komponenten und vier Phasen

Bei drei Komponenten (C = 3) und vier Phasen (P = 4):

$F = 3 - 4 + 2 = 1$

Nur eine Variable, etwa die Temperatur, kann unabhängig geändert werden, bevor eine Phase verschwindet.

Negative Freiheitsgrade

Die Formel kann eine negative Zahl ergeben, wenn ein System mit mehr Phasen beschrieben wird, als seine Komponenten im Gleichgewicht tragen können. Eine Komponente mit vier Phasen ergibt beispielsweise:

$F = 1 - 4 + 2 = -1$

Eine negative Zahl hat keine physikalische Bedeutung, da ein System nicht weniger als null Freiheitsgrade für die Änderung von Bedingungen haben kann. Der Rechner zeigt in seiner Berechnungszeile dennoch die unveränderte Rechnung an; bei C = 1 und P = 4 wird „F = 1 - 4 + 2 = -1“ angezeigt. Das Ergebnis selbst wird auf 0 begrenzt, und darunter erscheint ein Warnhinweis: Ein System kann höchstens zwei Phasen mehr haben, als es Komponenten besitzt.

Die Grenze folgt aus der Regel selbst. Setzt man F = 0 in F = C − P + 2 ein, ergibt sich P = C + 2, die größte Anzahl von Phasen, die koexistieren können. Eine Komponente erlaubt drei Phasen, also den Tripelpunkt.

Anwendungen der Gibbs’schen Phasenregel

• Chemische Verfahrenstechnik: Planung von Destillations- und Kristallisationsverfahren, bei denen die Anzahl der Phasen bestimmt, wie viele Variablen ein Ingenieur kontrollieren muss.
• Materialwissenschaft und Metallurgie: Vorhersage des Verhaltens von Metalllegierungen während der Wärmebehandlung und Abkühlung.
• Geologie: Erklärung, welche Kombinationen von Mineralen sich bei einer bestimmten Temperatur und einem bestimmten Druck gemeinsam in einem Gestein bilden können.
• Pharmazeutische Wissenschaft: Sicherstellung der chemischen Stabilität von Arzneimittelformulierungen und Vorhersage des Verhaltens bei der Gefriertrocknung.

Geschichte der Gibbs’schen Phasenregel

Josiah Willard Gibbs (1839–1903) war ein amerikanischer mathematischer Physiker. Er entwickelte die Phasenregel im Rahmen einer umfassenderen Untersuchung des thermodynamischen Gleichgewichts, die in den Transactions of the Connecticut Academy of Sciences veröffentlicht wurde. Die Zeitschrift hatte eine geringe Verbreitung, daher wurde seine Arbeit in den Vereinigten Staaten zunächst übersehen.

Europäische Wissenschaftler erkannten ihre Bedeutung zuerst. Der Physiker James Clerk Maxwell erstellte auf Grundlage von Gibbs’ Ideen ein physikalisches Modell, und der Chemiker Wilhelm Ostwald übersetzte Gibbs’ Abhandlungen 1892 ins Deutsche. Der niederländische Chemiker H. W. Bakhuis Roozeboom wandte die Regel später auf reale experimentelle Systeme an und trug damit dazu bei, sie als Standardwerkzeug der physikalischen Chemie zu etablieren.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Gibbs’sche Phasenregel?

Sie ist eine Gleichung, F = C − P + 2, die die Anzahl der Variablen, etwa Temperatur, Druck oder Zusammensetzung, angibt, die in einem System im Gleichgewicht unabhängig voneinander geändert werden können, ohne die vorhandenen Phasen zu verändern.

Was bedeutet F = C − P + 2?

F bezeichnet die Freiheitsgrade, C die Anzahl der Komponenten und P die Anzahl der Phasen. Das „+2“ berücksichtigt Temperatur und Druck, die sich auf die meisten Systeme auswirken.

Was gilt als Phase?

Eine Phase ist ein physikalisch unterscheidbarer, gleichförmiger Teil eines Systems, etwa Eis, flüssiges Wasser oder Wasserdampf. Zwei nicht mischbare Flüssigkeiten wie Öl und Wasser zählen als zwei getrennte Phasen.

Was bedeutet ein negatives Ergebnis?

Es bedeutet, dass das System in der beschriebenen Form nicht im Gleichgewicht existieren kann, weil es mehr Phasen hat, als seine Komponenten tragen können. Der Rechner begrenzt das Ergebnis auf 0 und zeigt einen Warnhinweis an, während die Berechnungszeile weiterhin die unveränderte negative Rechnung enthält.

Gilt die Phasenregel für Systeme mit chemischen Reaktionen?

Die Grundform der Regel setzt voraus, dass keine Reaktionen stattfinden. Wenn unabhängige Reaktionen auftreten, verringert jede davon die effektive Anzahl der Komponenten um eins.

Wie hängt die Phasenregel mit einem Phasendiagramm zusammen?

In einem Druck-Temperatur-Diagramm eines Einkomponentensystems haben Einphasengebiete F = 2, Linien, die zwei Phasen voneinander trennen, haben F = 1, und der Tripelpunkt, an dem drei Phasen zusammentreffen, hat F = 0.

Referenzen

1. Gibbs, J. W. (1878). „On the Equilibrium of Heterogeneous Substances.“ Transactions of the Connecticut Academy of Arts and Sciences, 3, 108–248.
2. Atkins, P., & de Paula, J. (2014). Atkins' Physical Chemistry (10. Aufl.). Oxford University Press.
3. Smith, J. M., Van Ness, H. C. & Abbott, M. M. (2017). Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics (8. Aufl.). McGraw-Hill Education.