Gamma-Verteilungs-Rechner - Statistisches Analysewerkzeug

Was ist ein Gamma-Verteilungsrechner?

Ein Gamma-Verteilungsrechner ermittelt aus zwei Eingaben – einem Formparameter und einem Skalenparameter – den Mittelwert, die Varianz, die Schiefe, die Kurtosis und den Modus einer Gamma-Verteilung. Außerdem zeichnet er die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Verteilung als Kurve.

Was ist eine Gamma-Verteilung?

Die Gamma-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung für positive Werte. Sie wird durch zwei Parameter definiert: einen Formparameter, meist als k geschrieben, und einen Skalenparameter, meist als θ (Theta) geschrieben. Beide müssen größer als null sein. Die Gamma-Verteilung wird verwendet, um Größen zu modellieren, die nicht negativ sein können, etwa Niederschlagsmengen, Schadenshöhen bei Versicherungen und die Zeit bis zum Ausfall eines Maschinenteils.

Formel der Gamma-Verteilung

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Gamma-Verteilung lautet:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Dabei ist x der Wert, an dem die Dichte gemessen wird, und Γ(k) die Gammafunktion, eine Verallgemeinerung der Fakultät auf nicht ganzzahlige Zahlen. Die Formel gilt nur für x > 0; überall sonst ist die Dichte null.

Eigenschaften der Gamma-Verteilung berechnen

Aus dem Formparameter k und dem Skalenparameter θ berechnet der Rechner:

• Mittelwert: k × θ
• Varianz: k × θ²
• Schiefe: 2 / √k
• Kurtosis: 3 + 6 / k
• Modus: (k − 1) × θ für k ≥ 1, andernfalls 0

Die Schiefe beschreibt, wie stark die Kurve auf einer Seite ausgedehnt ist. Ein kleineres k erzeugt einen längeren rechten Rand. Die Kurtosis beschreibt, wie schwer die Randbereiche im Vergleich zu einer Normalverteilung sind, deren Kurtosis 3 beträgt. Der Modus ist der x-Wert, an dem die Kurve ihren höchsten Punkt erreicht. Wenn k kleiner als 1 ist, steigt die Dichte weiter an, während sich x dem Wert 0 nähert. Daher gibt es keinen inneren Hochpunkt, und der Rechner gibt für den Modus den Wert 0 aus.

Durchgerechnetes Beispiel

Es gelten ein Formparameter k = 2 und ein Skalenparameter θ = 3.

• Mittelwert = 2 × 3 = 6
• Varianz = 2 × 3² = 18
• Schiefe = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Kurtosis = 3 + 6 / 2 = 6
• Modus = (2 − 1) × 3 = 3

Am Modus x = 3 ergibt sich für die Dichte f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Sobald beide Parameter eingegeben wurden, zeichnet der Rechner automatisch die vollständige Kurve.

Gamma-Verteilungsrechner verwenden

1. Geben Sie den Formparameter (k), eine positive Zahl, ein.
2. Geben Sie den Skalenparameter (θ), eine positive Zahl, ein.
3. Mittelwert, Varianz, Schiefe, Kurtosis und Modus erscheinen, sobald beide Felder gültige Zahlen enthalten. Es gibt keine separate Schaltfläche zum Berechnen; die Ergebnisse werden während der Eingabe aktualisiert.
4. Das Diagramm unter den Ergebnissen zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Es wird von einem Wert knapp über x = 0 bis zu dem größeren der beiden Werte gezeichnet: dem Dreifachen des Mittelwerts oder dem Fünffachen des Skalenparameters.

Beide Parameter müssen endliche Zahlen größer als 0 sein und dürfen jeweils nicht größer als 1.000 sein. Auch Werte kleiner als etwa 2 × 10⁻¹⁶ werden abgelehnt, da die zusammengefassten Kennzahlen bei dieser Größenordnung nicht mehr aussagekräftig sind. Ein Wert außerhalb des zulässigen Bereichs erzeugt statt der Ergebnisse eine Fehlermeldung.

Anwendungsbereiche der Gamma-Verteilung

Die Gamma-Verteilung modelliert viele reale Größen, die immer positiv und häufig rechtsschief sind:

• Versicherungen: Schadenshöhen und Auszahlungsbeträge
• Meteorologie: Niederschlagsmengen über einen festgelegten Zeitraum
• Ingenieurwesen: Zeit bis zum Ausfall eines Bauteils
• Warteschlangentheorie: Wartezeiten, die aus mehreren exponentiellen Schritten entstehen
• Biologie: Genexpressionswerte und Daten zu Artenzahlen

Verwandte Verteilungen

Zwei bekannte Verteilungen sind Spezialfälle der Gamma-Verteilung:

• Exponentialverteilung: eine Gamma-Verteilung mit k = 1
• Chi-Quadrat-Verteilung: eine Gamma-Verteilung mit k = n/2 und θ = 2, wobei n die Freiheitsgrade angibt

Die Weibull-Verteilung und die Lognormalverteilung sind verbreitete Alternativen zur Modellierung positiver, schiefer Daten.

Häufig gestellte Fragen

Wofür wird die Gamma-Verteilung verwendet?
Sie modelliert stetige, positive Größen wie Wartezeiten, Niederschlagsmengen und Versicherungsansprüche, insbesondere wenn die Daten zu größeren Werten hin tendieren.

Wie bestimmt man den Mittelwert einer Gamma-Verteilung?
Der Formparameter wird mit dem Skalenparameter multipliziert: Mittelwert = k × θ. Für k = 2 und θ = 3 beträgt der Mittelwert 6.

Was ist der Unterschied zwischen dem Form- und dem Skalenparameter?
Der Formparameter (k) bestimmt die Gestalt der Kurve, einschließlich ihrer Schiefe. Der Skalenparameter (θ) streckt oder staucht die Kurve entlang der x-Achse, ohne ihre grundlegende Form zu verändern.

Wie hängt die Gamma-Verteilung mit der Exponentialverteilung zusammen?
Die Exponentialverteilung ist eine Gamma-Verteilung mit dem Formparameter k = 1.

Kann die Gamma-Verteilung negative Werte annehmen?
Nein. Sie ist nur für x > 0 definiert. Für Daten, die negativ sein können, wird eine andere Verteilung benötigt, etwa die Normalverteilung.

Berechnet dieser Rechner die kumulative Verteilungsfunktion?
Nein. Er berechnet Mittelwert, Varianz, Schiefe, Kurtosis und Modus und zeichnet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Kumulative Wahrscheinlichkeitswerte werden nicht ausgegeben.

Quellen

1. „Gamma distribution.“ Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. John Wiley & Sons.