Gamma-Verteilungs-Rechner - Statistisches Analysewerkzeug

Was ist ein Gammaverteilungsrechner?

Ein Gammaverteilungsrechner ermittelt Mittelwert, Varianz, Schiefe, Wölbung und Modus einer Gammaverteilung aus zwei Eingaben: einem Formparameter und einem Skalenparameter. Außerdem zeichnet er die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Verteilung als Kurve.

Was ist eine Gammaverteilung?

Die Gammaverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung für positive Werte. Sie wird durch zwei Parameter bestimmt: einen Formparameter, meist als k geschrieben, und einen Skalenparameter, meist als θ (Theta) geschrieben. Beide müssen größer als null sein. Die Gammaverteilung dient dazu, Größen zu modellieren, die nicht negativ werden können, etwa Niederschlagssummen, die Höhe von Versicherungsschäden und die Zeit bis zum Ausfall eines Maschinenteils.

Formel der Gammaverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Gammaverteilung lautet:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Dabei ist x der Wert, an dem die Dichte gemessen wird, und Γ(k) ist die Gammafunktion, eine Verallgemeinerung der Fakultät auf nicht ganze Zahlen. Die Formel gilt nur für x > 0; überall sonst ist die Dichte null.

So berechnen Sie die Eigenschaften der Gammaverteilung

Aus dem Formparameter k und dem Skalenparameter θ ermittelt der Rechner:

• Mittelwert: k × θ
• Varianz: k × θ²
• Schiefe: 2 / √k
• Wölbung: 3 + 6 / k
• Modus: (k − 1) × θ für k ≥ 1, sonst 0

Die Schiefe misst, wie asymmetrisch die Kurve ist. Ein kleineres k erzeugt einen längeren rechten Ausläufer. Die Wölbung misst, wie schwer die Ausläufer im Vergleich zu einer Normalverteilung sind, deren Wölbung 3 beträgt. Der Modus ist der x-Wert, an dem die Kurve ihren Gipfel erreicht. Liegt k unter 1, steigt die Dichte weiter an, wenn sich x dem Wert 0 nähert. Es gibt dann keinen inneren Gipfel, und der Rechner gibt als Modus 0 an.

Beispiel

Angenommen, der Formparameter ist k = 2 und der Skalenparameter ist θ = 3.

• Mittelwert = 2 × 3 = 6
• Varianz = 2 × 3² = 18
• Schiefe = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Wölbung = 3 + 6 / 2 = 6
• Modus = (2 − 1) × 3 = 3

Am Modus, x = 3, ergibt sich die Dichte f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Der Rechner zeichnet die vollständige Kurve automatisch, sobald beide Parameter eingegeben sind.

So verwenden Sie den Gammaverteilungsrechner

1. Geben Sie den Formparameter (k) ein, eine positive Zahl.
2. Geben Sie den Skalenparameter (θ) ein, eine positive Zahl.
3. Mittelwert, Varianz, Schiefe, Wölbung und Modus erscheinen, sobald beide Felder gültige Zahlen enthalten. Es gibt keine eigene Schaltfläche zum Berechnen; die Ergebnisse werden bei der Eingabe der Zahlen aktualisiert.
4. Das Diagramm unter den Ergebnissen zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion über einen Bereich von x-Werten.

Beide Parameter müssen positive, endliche Zahlen sein. Das Werkzeug akzeptiert für jeden Parameter Werte bis zu 1000.

Wo die Gammaverteilung eingesetzt wird

Die Gammaverteilung modelliert viele reale Größen, die stets positiv und oft rechtsschief sind:

• Versicherungen: Schadenhöhen und Auszahlungsbeträge
• Meteorologie: Niederschlagssummen über einen festen Zeitraum
• Technik: Zeit bis zum Ausfall eines Bauteils
• Warteschlangentheorie: Wartezeiten, die sich aus mehreren exponentiellen Schritten zusammensetzen
• Biologie: Genexpressionsniveaus und Daten zur Artenzahl

Verwandte Verteilungen

Zwei bekannte Verteilungen sind Sonderfälle der Gammaverteilung:

• Exponentialverteilung: eine Gammaverteilung mit k = 1
• Chi-Quadrat-Verteilung: eine Gammaverteilung mit k = n/2 und θ = 2, wobei n die Zahl der Freiheitsgrade ist

Die Weibull-Verteilung und die logarithmische Normalverteilung sind gängige Alternativen zur Modellierung positiver, schiefer Daten.

Häufig gestellte Fragen

Wofür wird die Gammaverteilung verwendet? Sie modelliert stetige, positive Größen wie Wartezeiten, Niederschlagsmengen und Versicherungsschäden, besonders wenn die Daten zu großen Werten neigen.

Wie bestimmt man den Mittelwert einer Gammaverteilung? Man multipliziert den Formparameter mit dem Skalenparameter: Mittelwert = k × θ. Für k = 2 und θ = 3 beträgt der Mittelwert 6.

Was ist der Unterschied zwischen Form- und Skalenparameter? Der Formparameter (k) bestimmt die Gestalt der Kurve, einschließlich ihrer Schiefe. Der Skalenparameter (θ) streckt oder staucht die Kurve entlang der x-Achse, ohne ihre Grundform zu verändern.

Wie hängt die Gammaverteilung mit der Exponentialverteilung zusammen? Die Exponentialverteilung ist die Gammaverteilung mit dem Formparameter k = 1.

Kann die Gammaverteilung negative Werte annehmen? Nein. Sie ist nur für x > 0 definiert. Daten, die negativ sein können, erfordern eine andere Verteilung, etwa die Normalverteilung.

Berechnet dieser Rechner die kumulative Verteilungsfunktion? Nein. Er berechnet Mittelwert, Varianz, Schiefe, Wölbung und Modus und zeichnet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Kumulative Wahrscheinlichkeitswerte gibt er nicht aus.

Referenzen

1. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.11 Gamma Distribution. Gammaverteilung – die Gamma-PDF, Schiefe 2/√γ, Wölbung 3 + 6/γ und Modus γ − 1 für γ ≥ 1 (Standardform).