Gamma-Verteilungsrechner

Einführung

Die Gamma-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft, Technik und Finanzen weit verbreitet ist. Sie wird durch zwei Parameter charakterisiert: den Formparameter (k oder α) und den Maßstabparameter (θ oder β). Dieser Rechner ermöglicht es Ihnen, verschiedene Eigenschaften der Gamma-Verteilung basierend auf diesen Eingabeparametern zu berechnen.

Formel

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Gamma-Verteilung wird gegeben durch:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Wo:

• x > 0 ist die Zufallsvariable
• k > 0 ist der Formparameter
• θ > 0 ist der Maßstabparameter
• Γ(k) ist die Gamma-Funktion

Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) ist:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Wo γ(k, x/θ) die untere unvollständige Gamma-Funktion ist.

Wichtige Eigenschaften der Gamma-Verteilung umfassen:

1. Erwartungswert: $E[X] = k\theta$
2. Varianz: $Var[X] = k\theta^2$
3. Schiefe: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$

Verwendung dieses Rechners

1. Geben Sie den Formparameter (k oder α) ein
2. Geben Sie den Maßstabparameter (θ oder β) ein
3. Klicken Sie auf "Berechnen", um verschiedene Eigenschaften der Gamma-Verteilung zu berechnen
4. Die Ergebnisse zeigen den Erwartungswert, die Varianz, die Schiefe, die Kurtosis und andere relevante Informationen an
5. Eine Visualisierung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird angezeigt

Berechnung

Der Rechner verwendet die oben genannten Formeln, um verschiedene Eigenschaften der Gamma-Verteilung zu berechnen. Hier ist eine schrittweise Erklärung:

1. Validieren Sie die Eingabeparameter (sowohl k als auch θ müssen positiv sein)
2. Berechnen Sie den Erwartungswert: $k\theta$
3. Berechnen Sie die Varianz: $k\theta^2$
4. Berechnen Sie die Schiefe: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Berechnen Sie die Kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$
6. Berechnen Sie den Modus: $(k-1)\theta$ für k ≥ 1, andernfalls 0
7. Generieren Sie Punkte für die PDF-Kurve unter Verwendung der oben angegebenen Formel
8. Zeichnen Sie die PDF-Kurve

Numerische Überlegungen

Bei der Implementierung der Berechnungen zur Gamma-Verteilung sollten mehrere numerische Überlegungen angestellt werden:

1. Bei sehr kleinen Formparametern (k < 1) kann die PDF gegen unendlich gehen, wenn x gegen 0 geht, was zu numerischer Instabilität führen kann.
2. Bei großen Formparametern kann die Gamma-Funktion Γ(k) sehr groß werden, was zu Überläufen führen kann. In solchen Fällen ist es ratsam, mit dem Logarithmus der Gamma-Funktion zu arbeiten.
3. Bei der Berechnung der CDF ist es oft numerisch stabiler, spezialisierte Algorithmen für die unvollständige Gamma-Funktion zu verwenden, anstatt die PDF direkt zu integrieren.
4. Bei extremen Parameterwerten kann es notwendig sein, erweiterte Präzisionsarithmetik zu verwenden, um die Genauigkeit zu gewährleisten.

Anwendungsfälle

Die Gamma-Verteilung hat zahlreiche Anwendungen in verschiedenen Bereichen:

1. Finanzen: Modellierung von Einkommensverteilungen, Versicherungsansprüchen und Vermögensrenditen
2. Meteorologie: Analyse von Niederschlagsmustern und anderen wetterbezogenen Phänomenen
3. Ingenieurwesen: Zuverlässigkeitsanalyse und Modellierung von Ausfallzeiten
4. Physik: Beschreibung von Wartezeiten zwischen radioaktiven Zerfallsereignissen
5. Biologie: Modellierung der Artenhäufigkeit und der Genexpressionsniveaus
6. Operations Research: Warteschlangentheorie und Bestandsmanagement

Alternativen

Obwohl die Gamma-Verteilung vielseitig ist, gibt es verwandte Verteilungen, die in bestimmten Situationen geeigneter sein könnten:

1. Exponentialverteilung: Ein Spezialfall der Gamma-Verteilung, wenn k = 1
2. Chi-Quadrat-Verteilung: Ein Spezialfall der Gamma-Verteilung mit k = n/2 und θ = 2
3. Weibull-Verteilung: Oft als Alternative in der Zuverlässigkeitsanalyse verwendet
4. Log-normalverteilung: Eine weitere gängige Wahl zur Modellierung schiefer, positiver Daten

Parameterschätzung

Bei der Arbeit mit realen Daten ist es oft notwendig, die Parameter der Gamma-Verteilung zu schätzen. Häufige Methoden umfassen:

1. Methode der Momente: Gleichsetzen der Stichprobenmomente mit den theoretischen Momenten
2. Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE): Finden von Parametern, die die Wahrscheinlichkeit der Beobachtung der Daten maximieren
3. Bayessche Schätzung: Einbeziehung von Vorwissen über Parameter

Hypothesentests

Die Gamma-Verteilung kann in verschiedenen Hypothesentests verwendet werden, einschließlich:

1. Goodness-of-Fit-Tests, um zu bestimmen, ob Daten einer Gamma-Verteilung folgen
2. Tests zur Gleichheit der Maßstabparameter zwischen zwei Gamma-Verteilungen
3. Tests zur Gleichheit der Formparameter zwischen zwei Gamma-Verteilungen

Geschichte

Die Gamma-Verteilung hat eine reiche Geschichte in der Mathematik und Statistik:

• 18. Jahrhundert: Leonhard Euler führte die Gamma-Funktion ein, die eng mit der Gamma-Verteilung verbunden ist
• 1836: Siméon Denis Poisson verwendete einen Spezialfall der Gamma-Verteilung in seiner Arbeit zur Wahrscheinlichkeitstheorie
• 1920er Jahre: Ronald Fisher popularisierte die Verwendung der Gamma-Verteilung in der statistischen Analyse
• Mitte des 20. Jahrhunderts: Die Gamma-Verteilung wurde in der Zuverlässigkeitsingenieurwissenschaft und Lebensdauerprüfung weit verbreitet
• Späte 20. Jahrhundert bis heute: Fortschritte in der Rechenleistung haben es einfacher gemacht, mit Gamma-Verteilungen in verschiedenen Anwendungen zu arbeiten

Beispiele

Hier sind einige Codebeispiele zur Berechnung von Eigenschaften der Gamma-Verteilung:

1' Excel VBA-Funktion für die Gamma-Verteilung PDF
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Verwendung:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma-Verteilung (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Wahrscheinlichkeitsdichte')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Beispielverwendung:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Berechnen von Eigenschaften
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Erwartungswert: {mean}")
29print(f"Varianz: {variance}")
30print(f"Schiefe: {skewness}")
31print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Erwartungswert: ${mean}`);
19    console.log(`Varianz: ${variance}`);
20    console.log(`Schiefe: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Beispielverwendung:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// PDF zeichnen (unter Verwendung einer hypothetischen Plotbibliothek)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Diese Beispiele zeigen, wie man Eigenschaften der Gamma-Verteilung berechnet und ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit verschiedenen Programmiersprachen visualisiert. Sie können diese Funktionen an Ihre spezifischen Bedürfnisse anpassen oder in größere statistische Analysesysteme integrieren.

Referenzen

1. "Gamma-Verteilung." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://de.wikipedia.org/wiki/Gamma-Verteilung. Abgerufen am 2. Aug. 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). Eine Anmerkung zur Gamma-Verteilung. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). Eine Verallgemeinerung der Gamma-Verteilung. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.