Laplace-Verteilungs-Rechner - Kostenfreies PDF & Visualisierungstool

Was ist die Laplace-Verteilung?

Die Laplace-Verteilung, auch als doppelte Exponentialverteilung bezeichnet, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie zwei an ihrem Maximum Rücken an Rücken verbundene Exponentialkurven geformt ist. Sie ist symmetrisch um einen zentralen Wert und hat schwerere Randbereiche als die Normalverteilung, weist extremen Werten also eine höhere Wahrscheinlichkeit zu. Der Laplace-Verteilungsrechner auf dieser Seite ermittelt die maximale Wahrscheinlichkeitsdichte der Verteilung aus einem Lageparameter und einem Skalenparameter und zeichnet die vollständige Dichtekurve.

Die Verteilung ist nach Pierre-Simon Laplace benannt, dem französischen Mathematiker, der sie erstmals in 1774 beschrieb.

Formel der Laplace-Verteilung

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Laplace-Verteilung lautet:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x ist ein beliebiger Punkt auf der Zahlengeraden.
• μ (My), der Lageparameter, ist das Zentrum der Verteilung. Er entspricht auch dem Mittelwert und dem Median.
• b, der Skalenparameter, bestimmt, wie stark die Verteilung gestreut ist. Er muss größer als 0 sein.
• |x − μ| ist der Abstand zwischen x und dem Zentrum, unabhängig von der Richtung.

Die Kurve erreicht ihren höchsten Punkt genau bei x = μ. An diesem Punkt vereinfacht sich die Formel, da |μ − μ| = 0 und exp(0) = 1 gilt, sodass übrig bleibt:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Dieser Höchstwert, 1/(2b), ist die Zahl, die der Rechner ausgibt.

So verwenden Sie den Laplace-Verteilungsrechner

1. Geben Sie den Lageparameter (μ) ein. Dadurch wird festgelegt, wo das Zentrum der Verteilung liegt.
2. Geben Sie den Skalenparameter (b) ein. Dieser muss positiv sein; je größer der Wert ist, desto flacher und breiter gestreut ist die Kurve.
3. Der Rechner zeigt die maximale Dichte, 1/(2b), an und zeichnet die Dichtekurve f(x) von μ − 4b bis μ + 4b. Die vertikale Achse des Diagramms stellt die Wahrscheinlichkeitsdichte dar, und die Kurve kann als Tabelle mit x- und f(x)-Werten heruntergeladen werden.

Der Rechner verwendet keinen separaten x-Wert. Er gibt stets die Dichte am eigenen Maximum der Verteilung aus, x = μ, da dies die nützlichste einzelne Kennzahl zum Vergleich von Verteilungen mit unterschiedlichen Skalen ist. Um die Dichte an einem anderen Punkt zu bestimmen, verwenden Sie die obige Formel mit dem gewünschten x-Wert oder lesen Sie die Höhe aus dem Diagramm ab.

Durchgerechnetes Beispiel

Nehmen wir einen Lageparameter von μ = 4 und einen Skalenparameter von b = 2.

1. Prüfen Sie, dass b positiv ist: 2 > 0; die Eingaben sind daher gültig.
2. Das Maximum liegt bei x = μ = 4, wobei |x − μ| = 0 gilt.
3. Berechnen Sie die maximale Dichte: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Der Rechner zeigt 0,250000 an. Die gezeichnete Kurve erreicht ihr Maximum bei (4, 0,25) und fällt auf beiden Seiten symmetrisch ab; sie erstreckt sich von μ − 4b bis μ + 4b, in diesem Fall also von −4 bis 12.

Da die Formel für die maximale Dichte, 1/(2b), μ nicht enthält, verschiebt eine Änderung der Lage die Kurve lediglich nach links oder rechts. Ihre Höhe ändert sich nicht. Nur der Skalenparameter verändert die Höhe.

Weitere Beispiele

Mittelwert, Varianz und Standardabweichung

Für eine Laplace-Verteilung mit Lageparameter μ und Skalenparameter b gilt:

• Mittelwert = μ
• Median = μ
• Varianz = 2b²
• Standardabweichung = b√2

Laplace-Verteilung im Vergleich zur Normalverteilung

Beide Verteilungen sind symmetrisch und glockenförmig, und beide werden vollständig durch ein Zentrum und einen Streuungsparameter beschrieben. Der Unterschied liegt in den Randbereichen. Bei der Normalverteilung nimmt die Dichte mit dem Quadrat des Abstands vom Mittelwert ab, sodass extreme Werte sehr schnell verschwindend selten werden. Bei der Laplace-Verteilung nimmt sie mit dem einfachen Abstand ab, sodass extreme Werte vergleichsweise wahrscheinlicher bleiben. Dadurch eignet sich die Laplace-Verteilung, wenn reale Daten mehr Ausreißer aufweisen, als eine Normalverteilung vorhersagen würde.

Häufige Anwendungen

• Signal- und Bildverarbeitung: Modellierung von Rauschen und Komprimierung von Bildern, da sich Pixel- oder Signaldifferenzen häufig nahe null häufen und gelegentlich große Sprünge auftreten.
• Differentielle Privatsphäre: Der Laplace-Mechanismus fügt Abfrageergebnissen Laplace-verteiltes Rauschen hinzu, um individuelle Daten zu schützen und zugleich die allgemeine Genauigkeit zu bewahren.
• Robuste Statistik und Regression: Bei der Lasso-Regression wird eine Laplace-Verteilung als Prior verwendet, die Lösungen begünstigt, bei denen viele Koeffizienten exakt null sind.
• Finanzwesen: Modellierung von Anlagerenditen, die tendenziell schwerere Randbereiche aufweisen, als eine Normalverteilung vermuten lässt.
• Seismologie: Die Verteilung tritt in Modellen von Mustern der Erdbebenstärken im Zusammenhang mit dem Gutenberg-Richter-Gesetz auf.

Häufig gestellte Fragen

Was bedeutet das Ergebnis des Rechners?

Es handelt sich um den Höchst- oder Maximalwert der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, gleich 1/(2b). Dies ist die Höhe der Kurve in ihrem Zentrum, x = μ.

Warum fragt der Rechner nicht nach einem x-Wert?

Die maximale Dichte, 1/(2b), ist bei jedem x-Wert gleich μ, daher ist keine separate x-Eingabe erforderlich, um sie zu bestimmen. Sie ist die standardmäßige Einzelzahl zum Vergleich, wie hoch und schmal oder niedrig und breit zwei Laplace-Verteilungen sind. Die vollständige Kurve mit der Dichte für jedes x ist im Diagramm verfügbar.

Wie bestimme ich die Dichte an einem anderen Punkt als dem Maximum?

Verwenden Sie die Formel $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ mit dem gewünschten x-Wert oder lesen Sie die Höhe direkt aus der gezeichneten Kurve ab.

Wie unterscheidet sich die Laplace-Verteilung von der Exponentialverteilung?

Die Laplace-Verteilung kann aus zwei Exponentialverteilungen gebildet werden. Wenn X und Y unabhängige exponentialverteilte Zufallsvariablen mit derselben Rate sind, folgt X − Y einer Laplace-Verteilung mit dem Zentrum 0.

Wofür wird die Laplace-Verteilung typischerweise verwendet?

Sie wird in der Signalverarbeitung, der Bildkomprimierung, der differentiellen Privatsphäre, der robusten Statistik, der Lasso-Regression sowie zur Modellierung von Finanzrenditen und Erdbebenmagnituden verwendet, wenn reale Daten mehr extreme Werte zeigen, als eine Normalverteilung vorhersagt.

Kann die Laplace-Verteilung negativ sein, oder gilt sie nur für positive Werte?

Sie ist für alle reellen Zahlen definiert, sowohl für positive als auch für negative, im Gegensatz zur Exponentialverteilung, die nur nichtnegative Werte annimmt.

Referenzen

1. Kotz, S., Kozubowski, T. & Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution