Miller-Indizes-Rechner - Umwandlung von Kristallebenen-Schnittpunkten in (hkl)

Was sind Miller-Indizes?

Miller-Indizes sind eine Gruppe aus drei ganzen Zahlen, geschrieben als (h,k,l), die eine Ebene in einem Kristallgitter kennzeichnen. Ein Kristallgitter ist die sich wiederholende, regelmäßige Anordnung von Atomen in einem festen Stoff. Miller-Indizes geben genau an, welchen Schnitt durch dieses Gitter eine Ebene darstellt, ohne dass ihre Geometrie in Worten beschrieben werden muss. Sie wurden vom britischen Mineralogen William Hallowes Miller im Jahr 1839 eingeführt und sind bis heute die Standardnotation in der Kristallographie.

Dieser Rechner wandelt die Achsenabschnitte einer Ebene auf den kristallographischen x-, y- und z-Achsen in ihre Miller-Indizes (h,k,l) um.

Formel für Miller-Indizes

Miller-Indizes ergeben sich aus den Kehrwerten der Achsenabschnitte einer Ebene. Schneidet eine Ebene die x-, y- und z-Achse in den Abständen a, b und c vom Ursprung, erfüllen die Indizes folgende Beziehung:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Miller-Indizes aus Achsenabschnitten berechnen

1. Bestimmen Sie, wo die Ebene jede Achse schneidet, gemessen in Einheiten der Kantenlänge der Elementarzelle. Bezeichnen Sie diese Achsenabschnitte mit a, b und c.
2. Bilden Sie den Kehrwert jedes Achsenabschnitts: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Multiplizieren Sie alle drei Kehrwerte mit derselben Zahl, sodass jeder eine ganze Zahl wird.
4. Teilen Sie die drei ganzen Zahlen durch ihren größten gemeinsamen Teiler, sodass sie nicht weiter gekürzt werden können.

Die drei daraus resultierenden ganzen Zahlen sind h, k und l. Eine Ebene, die eine Achse nie schneidet, wird so behandelt, als schneide sie diese im Unendlichen, und 1 geteilt durch unendlich ist 0; daher erhält diese Achse den Miller-Index 0.

Durchgerechnetes Beispiel

Eine Ebene schneidet die x-Achse bei 2, die y-Achse bei 3 und die z-Achse bei 6.

1. Achsenabschnitte: (2, 3, 6)
2. Kehrwerte: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Multiplikation mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, 6: (3, 2, 1)
4. Der größte gemeinsame Teiler von 3, 2 und 1 ist 1; daher können die Zahlen nicht weiter gekürzt werden.

Die Miller-Indizes sind (321).

Weitere Beispiele

• Eine Ebene durch (1, ∞, 2) – parallel zur y-Achse – hat die Kehrwerte (1, 0, 1/2). Die Multiplikation mit 2 ergibt (2, 0, 1). Die 0 zeigt, dass die Ebene die y-Achse nie schneidet.
• Eine Ebene durch (-1, 2, 3) hat die Kehrwerte (-1, 1/2, 1/3). Die Multiplikation mit 6 ergibt (-6, 3, 2), üblicherweise geschrieben als (6̄32) mit einem Überstrich über dem negativen Index.
• Eine Ebene durch (1, ∞, ∞) hat die Kehrwerte (1, 0, 0), woraus (100) entsteht. Dies ist eine der sechs Flächen eines Würfels.

Sonderfälle

Eine Ebene parallel zu einer Achse schneidet diese nie; daher wird der Achsenabschnitt als unendlich betrachtet und ihr Miller-Index ist 0. Eine Ebene, die eine Achse auf der negativen Seite des Ursprungs schneidet, erhält einen negativen Index, der in der formalen Notation mit einem Überstrich über der Zahl oder im Klartext mit einem Minuszeichen geschrieben wird. Für eine Ebene durch den Ursprung selbst sind keine Miller-Indizes definiert, da jede Schar paralleler Ebenen in einem Gitter vom Ursprung versetzt sein muss, um indiziert werden zu können; der Ursprung muss verschoben werden, bevor eine solche Ebene beschrieben werden kann. Bruchteilswerte der Achsenabschnitte werden genauso behandelt wie ganzzahlige: Von jedem wird der Kehrwert gebildet, anschließend werden die Brüche beseitigt.

Die Indizes werden stets auf die kleinstmöglichen ganzen Zahlen gekürzt. (622) und (311) beschreiben dieselbe Ebenenschar, Kristallographen schreiben jedoch immer (311).

So verwenden Sie diesen Rechner

Geben Sie die Achsenabschnitte der Ebene auf der x-, y- und z-Achse ein.

• Verwenden Sie für einen Achsenabschnitt auf der positiven Seite des Ursprungs eine positive Zahl und für die negative Seite eine negative Zahl.
• Geben Sie für eine Ebene, die parallel zu einer Achse verläuft, „infinity“, „inf“ oder „∞“ ein.
• Ein Achsenabschnitt von null wird nicht akzeptiert, da einer Ebene durch den Ursprung mit dieser Methode keine Miller-Indizes zugeordnet werden können.

Der Rechner berechnet die Indizes sofort und zeigt ein Diagramm der Ebene innerhalb der Elementarzelle an.

Anwendungen der Miller-Indizes

Röntgenbeugung. Jeder Fleck oder Peak in einem Röntgenbeugungsdiagramm entspricht einer Schar von Gitterebenen mit einem bestimmten (hkl). Das Bragg-Gesetz verknüpft den Abstand dieser Ebenen mit dem Beugungswinkel:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Dabei ist d_hkl der Abstand zwischen den Ebenen (h,k,l), λ die Röntgenwellenlänge und θ der Beugungswinkel. Die Zuordnung beobachteter Peaks zu (hkl)-Werten, ein als Indizierung bezeichneter Vorgang, ist ein grundlegender Schritt bei der Bestimmung einer unbekannten Kristallstruktur.

Materialwissenschaft. Verschiedene Kristallebenen legen unterschiedliche Atomanordnungen frei und haben daher unterschiedliche Oberflächenenergien, unterschiedliche Reaktionsgeschwindigkeiten bei chemischen Reaktionen und unterschiedliche Rollen bei der Verformung eines Metalls. In kubisch-flächenzentrierten Metallen wie Aluminium gleiten Atomebenen am leichtesten entlang von {111}-Ebenen aneinander vorbei. Siliziumwafer für Computerchips werden gewöhnlich entlang der (100)- oder (111)-Ebene geschnitten, da die Wahl beeinflusst, wie sich spätere Fertigungsschritte verhalten.

Mineralogie. Die ebenen Flächen an einem natürlichen Kristall und die Richtungen, entlang derer ein Mineral sauber spaltet (seine Spaltbarkeit), entsprechen jeweils bestimmten Ebenen mit niedrigen Indizes. Halit (Kochsalz) spaltet entlang von {100}-Ebenen, Fluorit entlang von {111}-Ebenen.

Miller-Bravais-Indizes für hexagonale Kristalle

Hexagonale Kristalle wie Magnesium, Zink und Titan werden gewöhnlich mit einem Vier-Index-System (hkil) statt mit drei Indizes beschrieben. Der zusätzliche Index i ist nicht unabhängig; er ist immer i = -(h+k). Diese Form macht leichter erkennbar, dass zwei Ebenen derselben symmetrieäquivalenten Familie angehören, was in einem hexagonalen Gitter allein aus der dreigliedrigen Miller-Notation nicht immer ersichtlich ist.

Geschichte

Miller-Indizes wurden von William Hallowes Miller in seinem Buch A Treatise on Crystallography aus dem Jahr 1839 eingeführt. Frühere Systeme zur Kennzeichnung von Kristallflächen existierten bereits, doch Millers Methode, die Kehrwerte der Achsenabschnitte zu verwenden, erleichterte den Umgang mit Ebenen parallel zu einer Achse, da ihr Achsenabschnitt unendlich und sein Kehrwert einfach 0 ist. Nachdem Max von Laue im Jahr 1912 die Röntgenbeugung an Kristallen entdeckt hatte, zeigten William Henry Bragg und William Lawrence Bragg, dass Miller-Indizes genau die für Beugungspeaks verantwortlichen Ebenen beschreiben. Für diese Arbeit teilten sie sich den 1915-Nobelpreis für Physik.

Häufig gestellte Fragen

Wofür werden Miller-Indizes verwendet? Sie kennzeichnen bestimmte Ebenen in einem Kristallgitter. Sie werden zur Indizierung von Röntgen- und Elektronenbeugungspeaks, zur Beschreibung von Gleitebenen in Metallen, zur Angabe der Orientierung von Halbleiterwafern sowie zur Kennzeichnung von Kristallflächen und Spaltflächen in Mineralen verwendet.

Was bedeutet eine Null in einem Miller-Index? Sie bedeutet, dass die Ebene parallel zu dieser Achse verläuft und sie nie schneidet. Beispielsweise ist (201) parallel zur y-Achse.

Was bedeuten negative Miller-Indizes? Sie bedeuten, dass die Ebene die betreffende Achse auf der negativen Seite des Ursprungs schneidet. Ein negativer Index wird mit einem Überstrich über der Zahl geschrieben, etwa (2̄11), oder mit einem Minuszeichen, etwa (-2,1,1).

Warum kann eine Ebene durch den Ursprung keine Miller-Indizes haben? Miller-Indizes ergeben sich aus dem Kehrwert eines Achsenabschnitts. Eine Ebene durch den Ursprung schneidet jede Achse bei 0, und 1/0 ist undefiniert; daher kann die Methode keine Indizes zuweisen, solange die Ebene nicht verschoben wird.

Was ist der Unterschied zwischen Miller- und Miller-Bravais-Indizes? Miller-Indizes (hkl) verwenden drei Zahlen und gelten für jedes Kristallsystem. Miller-Bravais-Indizes (hkil) fügen einen abhängigen vierten Index hinzu und werden hauptsächlich für hexagonale Kristalle verwendet, bei denen sie das Erkennen symmetrieäquivalenter Ebenen erleichtern.

Wie hängt der Ebenenabstand mit den Miller-Indizes zusammen? In einem kubischen Kristall mit der Kantenlänge a beträgt der Abstand zwischen benachbarten (hkl)-Ebenen d = a / √(h² + k² + l²). Ebenen mit höheren Indizes liegen dichter beieinander. Für andere Kristallsysteme gilt eine ähnliche, jedoch komplexere Formel, die ungleiche Achsenlängen und nicht-90°-Winkel berücksichtigt.

Referenzen

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. Auflage). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. Auflage). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.