Kernladungsrechner | Berechnen von Zeff nach Slater-Regeln

Kernladungsrechner: Effektive Kernladung (Z_eff) mit den Slater-Regeln

Ein Kernladungsrechner ermittelt die effektive Kernladung (Z_eff), die ein Elektron in einem Atom spürt. Die effektive Kernladung ist die tatsächliche Anziehungskraft des Atomkerns auf ein Elektron, nachdem andere Elektronen einen Teil dieser Anziehung abschirmen. Dieses Werkzeug wendet die Slater-Regeln an, um Z_eff für ein s- oder p-Elektron in einer gewählten Schale eines beliebigen Elements von Wasserstoff (Ordnungszahl 1) bis Oganesson (Ordnungszahl 118) zu berechnen.

Was ist die effektive Kernladung?

Der Kern eines Atoms enthält Protonen, und jedes Proton trägt eine positive Ladung. Ein einzelnes Elektron, das allein kreist, würde die volle Anziehung aller dieser Protonen spüren. In einem echten Atom schirmen innere Elektronen die äußeren Elektronen teilweise von der Anziehung des Kerns ab. Die Ladung, die das äußere Elektron tatsächlich spürt, ist kleiner als die volle Kernladung. In der Chemie heißt sie effektive Kernladung.

Natrium besitzt 11 Protonen. Sein äußerstes Elektron erfährt keine Anziehung von +11. Die zehn kernnahen Elektronen schirmen den größten Teil dieser Ladung ab, sodass das äußere Elektron eine Anziehung erfährt, die eher +2 entspricht (der genaue Wert wird weiter unten berechnet). Diese schwache Anziehung erklärt, warum Natrium dieses Elektron bei chemischen Reaktionen so leicht abgibt.

Formel der effektiven Kernladung

$Z_{eff} = Z - S$

• Z_eff — effektive Kernladung, die das Elektron erfährt
• Z — Ordnungszahl (die Gesamtzahl der Protonen)
• S — Abschirmkonstante (der Betrag der Kernladung, der durch andere Elektronen abgeschirmt wird)

So wird die effektive Kernladung mit den Slater-Regeln berechnet

Der Physiker John C. Slater veröffentlichte 1930 in der Zeitschrift Physical Review einfache Regeln für atomare Abschirmungskonstanten. Sie umgehen die aufwendige Mathematik, die das direkte Lösen der Schrödinger-Gleichung erfordert, und beruhen stattdessen auf einer Reihe von Abzählregeln.

Schritt 1: Elektronen gruppieren

Die Slater-Regeln ordnen die Elektronen eines Atoms in Gruppen ein:

1. (1s)
2. (2s, 2p)
3. (3s, 3p)
4. (3d)
5. (4s, 4p)
6. (4d)
7. (4f)
8. (5s, 5p) und so weiter

Elektronen in den s- und p-Orbitalen derselben Schale bilden eine gemeinsame Gruppe. Elektronen in d- und f-Orbitalen bilden jeweils eigene, getrennte Gruppen.

Schritt 2: Abschirmbeiträge addieren

Um die Abschirmungskonstante S für ein s- oder p-Elektron zu bestimmen, addiert man die Beiträge aller anderen Elektronen. Der Beitrag hängt davon ab, wo sich das jeweils andere Elektron relativ zum untersuchten Elektron befindet:

• Elektronen in einer Gruppe weiter rechts in der obigen Liste, einschließlich der d- und f-Elektronen derselben Schale: tragen 0 bei
• Andere Elektronen in derselben Gruppe: tragen jeweils 0,35 bei (Elektronen in der 1s-Gruppe tragen stattdessen 0,30 bei)
• Elektronen, die eine Schale näher am Kern liegen (n − 1): tragen jeweils 0,85 bei
• Elektronen, die zwei oder mehr Schalen näher am Kern liegen (n − 2 oder weniger): tragen jeweils 1,00 bei

Man addiert diese Beiträge zu S und subtrahiert S dann von der Ordnungszahl, um Z_eff zu erhalten. Die Slater-Regeln verwenden für ein d- oder f-Elektron andere Gewichte; dieser Rechner berechnet sie nicht.

Beispiel: Effektive Kernladung des 2p-Elektrons von Kohlenstoff

Kohlenstoff besitzt die Ordnungszahl 6 und die Grundzustandskonfiguration 1s² 2s² 2p².

Für eines der 2p-Elektronen:

• Gleiche Gruppe (2s, 2p), ohne das Elektron selbst: 3 andere Elektronen × 0,35 = 1,05
• Eine Schale näher am Kern (1s): 2 Elektronen × 0,85 = 1,70

Abschirmungskonstante: S = 1,05 + 1,70 = 2,75

Effektive Kernladung: Z_eff = 6 − 2,75 = 3,25

Ein 2p-Elektron von Kohlenstoff erfährt eine Anziehung von etwa +3,25, also ungefähr die Hälfte der tatsächlichen Kernladung des Atoms von +6, weil die inneren 1s-Elektronen und die anderen 2s/2p-Elektronen einen großen Teil davon abschirmen.

Beispiel: Rumpf- und Valenzelektronen in Natrium

Natrium besitzt die Ordnungszahl 11 und die Konfiguration 1s² 2s² 2p⁶ 3s¹.

Für das 3s-Valenzelektron (n = 3):

• Gleiche Gruppe (3s, 3p), ohne das Elektron selbst: 0 andere Elektronen × 0,35 = 0
• Eine Schale näher am Kern (2s, 2p): 8 Elektronen × 0,85 = 6,80
• Zwei Schalen näher am Kern (1s): 2 Elektronen × 1,00 = 2,00

S = 0 + 6,80 + 2,00 = 8,80, also Z_eff = 11 − 8,80 = 2,20

Für ein 1s-Rumpfelektron (n = 1):

• Gleiche Gruppe (1s), ohne das Elektron selbst: 1 anderes Elektron × 0,30 = 0,30

S = 0,30, also Z_eff = 11 − 0,30 = 10,70

Das 1s-Elektron erfährt nahezu die vollständige Kernladung, während das 3s-Valenzelektron weniger als ein Fünftel davon erfährt. Dieser Unterschied erklärt, warum Natrium bei Reaktionen das äußere Elektron abgibt, während die inneren Elektronen an ihrem Platz bleiben.

Wie die effektive Kernladung Trends im Periodensystem erklärt

Z_eff hilft, mehrere Muster im Periodensystem vorherzusagen.

• Atomradius. Eine höhere Z_eff zieht die Elektronen näher an den Kern und verkleinert so das Atom. In Periode 2 spürt das Valenzelektron von Lithium Z_eff ≈ 1,30, das von Fluor dagegen Z_eff ≈ 5,20. Fluor ist das deutlich kleinere Atom.
• Ionisierungsenergie. Je stärker die Anziehung, desto mehr Energie braucht es, um ein Elektron zu entfernen. Die erste Ionisierungsenergie von Lithium beträgt 5,39 eV (etwa 520 kJ/mol); die von Neon beträgt 21,56 eV (etwa 2081 kJ/mol). Das passt zur deutlich höheren Z_eff von Neon (≈ 5,85) für dessen 2p-Elektronen.
• Elektronegativität. Atome mit höherer Z_eff ziehen gemeinsame Elektronen in einer Bindung stärker an. Die 3p-Elektronen von Chlor erfahren Z_eff ≈ 6,10, deutlich stärker als der Wert Z_eff von 1,0 für Wasserstoff. Das ist ein Grund dafür, dass die H–Cl-Bindung zum Chlor hin polarisiert ist.

Beim Absteigen innerhalb einer Gruppe verändert sich Z_eff für das Valenzelektron nur wenig. Jede neue Schale fügt sowohl ein Proton als auch ein inneres Elektron hinzu, das dieses abschirmt, sodass sich beide Effekte ungefähr aufheben.

Grenzen der Slater-Regeln

Die Slater-Regeln sind eine schnelle Näherung, keine exakte Berechnung. Am besten funktionieren sie für Hauptgruppenelemente; für Übergangsmetalle, Lanthanoide, Actinoide und sehr schwere Elemente sind sie weniger zuverlässig.

Dieser Rechner vereinfacht außerdem in zwei Punkten:

• Er bildet die Elektronenkonfiguration jedes Elements nach der üblichen Auffüllreihenfolge (Aufbau-Prinzip) und berücksichtigt bekannte Ausnahmen wie Chrom und Kupfer nicht.
• Er gibt Z_eff nur für die s- und p-Elektronen der gewählten Schale aus, auf zwei Dezimalstellen gerundet.

Genauere Werte liefern Hartree-Fock-Rechnungen (Methode des selbstkonsistenten Feldes) und Software für die Computerchemie.

Verwendung dieses Rechners

1. Geben Sie die Ordnungszahl (Z) von 1 bis 118 ein.
2. Wählen Sie eine Elektronenschale (n), also die Hauptquantenzahl der untersuchten Schale. Es werden nur die für das gewählte Element gültigen Schalen angezeigt.
3. Lesen Sie den berechneten Z_eff-Wert zusammen mit der Elektronenkonfiguration und dem Atomdiagramm ab.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die effektive Kernladung? Sie ist die positive Nettoladung, die ein Elektron in einem Atom mit mehreren Elektronen tatsächlich spürt, nachdem andere Elektronen einen Teil der Anziehung des Kerns abschirmen. Sie berechnet sich als Z_eff = Z − S.

Wie berechnet man die Abschirmungskonstante mit den Slater-Regeln? Man gruppiert die Elektronen des Atoms nach Schalen. Für das untersuchte Elektron addiert man 0,35 für jedes andere Elektron in derselben Gruppe (0,30, wenn es ein 1s-Elektron ist), 0,85 für jedes Elektron, das eine Schale näher am Kern liegt, und 1,00 für jedes Elektron, das zwei oder mehr Schalen näher am Kern liegt. Ein Stickstoff-2p-Elektron (Konfiguration 1s² 2s² 2p³) hat zum Beispiel 4 andere Elektronen in derselben Gruppe (4 × 0,35 = 1,40) und 2 Elektronen eine Schale näher am Kern (2 × 0,85 = 1,70). Daraus ergibt sich S = 3,10 und Z_eff = 7 − 3,10 = 3,90.

Warum ist die effektive Kernladung wichtig? Sie sagt Atomgröße, Ionisierungsenergie und Elektronegativität besser voraus als die reine Ordnungszahl, weil sie berücksichtigt, wie innere Elektronen äußere abschirmen.

Wie genau sind die Slater-Regeln? Für Hauptgruppenelemente liefern sie brauchbare Schätzwerte, die für Lehrveranstaltungen und schnelle Vergleiche ausreichen. Für Übergangsmetalle, Lanthanoide, Actinoide und sehr schwere Elemente sind sie weniger zuverlässig.

Kann die effektive Kernladung negativ oder null sein? Nach diesen Regeln nicht. Jedes andere Elektron trägt höchstens 1,00 zu S bei, und es gibt nur Z − 1 andere Elektronen. Daher bleibt S kleiner als Z, und Z_eff bleibt positiv. Elektronen in einem Atom werden netto immer vom Kern angezogen.

Warum unterscheiden sich die Z_eff-Werte von Rumpf- und Valenzelektronen so stark? Rumpfelektronen liegen nah am Kern und haben wenig zwischen sich und dem Kern, daher spüren sie fast die volle Kernladung. Valenzelektronen liegen außerhalb mehrerer Schichten innerer Elektronen, die den größten Teil der Ladung abschirmen. In Natrium spürt ein 1s-Rumpfelektron Z_eff ≈ 10,70, das 3s-Valenzelektron dagegen nur etwa 2,20.

Referenzen

1. Slater, J. C. Atomic Shielding Constants. Physical Review 36, 57 (1930). Slater 1930 Abstract (APS) — Originalveröffentlichung der Slater-Regeln.
2. University of Wisconsin–Madison, Department of Chemistry. Slater Shielding Constant (S). Handout der UW–Madison zu den Slater-Regeln — Gruppierung der Elektronen; Beiträge von 0,35 / 0,30 / 0,85 / 1,00; Z* = Z − S.
3. OpenStax. Chemistry 2e, 6.5 Periodic Variations in Element Properties. OpenStax Chemistry 2e §6,5 — Z_eff = Z − Abschirmung; innere Elektronen schirmen äußere ab; höhere Z_eff ergibt kleinere Radien.
4. NIST. Basic Atomic Spectroscopic Data: Lithium. NIST-Daten zu Lithium — erste Ionisierungsenergie 5,391719 eV.
5. NIST. Basic Atomic Spectroscopic Data: Neon. NIST-Daten zu Neon — erste Ionisierungsenergie 21,56454 eV.