Kernladungsrechner | Berechnen von Zeff nach Slater-Regeln

Rechner für Kernladung: Effektive Kernladung (Z_eff) mit den Slater-Regeln

Ein Rechner für die Kernladung ermittelt die effektive Kernladung (Z_eff), die ein Elektron in einem Atom erfährt. Die effektive Kernladung ist die tatsächliche Anziehung des Atomkerns auf ein Elektron, nachdem andere Elektronen einen Teil dieser Anziehung abschirmen. Dieses Werkzeug wendet die Slater-Regeln an, um Z_eff für jedes Element von Wasserstoff (Ordnungszahl 1) bis Oganesson (Ordnungszahl 118) zu berechnen.

Was ist die effektive Kernladung?

Der Atomkern eines Atoms enthält Protonen, und jedes Proton trägt eine positive Ladung. Ein einzelnes Elektron, das sich allein um den Kern bewegt, würde die vollständige Anziehung aller dieser Protonen erfahren. In einem realen Atom befinden sich andere Elektronen zwischen dem Kern und einem äußeren Elektron und schirmen einen Teil dieser Anziehung ab. Die Ladung, die das äußere Elektron tatsächlich erfährt, ist kleiner als die vollständige Kernladung. Chemiker nennen sie effektive Kernladung.

Natrium besitzt 11 Protonen. Sein äußerstes Elektron erfährt keine Anziehung von +11. Die zehn kernnahen Elektronen schirmen den größten Teil dieser Ladung ab, sodass das äußere Elektron eine Anziehung erfährt, die eher +2 entspricht (der genaue Wert wird weiter unten berechnet). Diese schwache Anziehung erklärt, warum Natrium dieses Elektron bei chemischen Reaktionen so leicht abgibt.

Formel der effektiven Kernladung

$Z_{eff} = Z - S$

• Z_eff — effektive Kernladung, die das Elektron erfährt
• Z — Ordnungszahl (die Gesamtzahl der Protonen)
• S — Abschirmkonstante (der Betrag der Kernladung, der durch andere Elektronen abgeschirmt wird)

So wird die effektive Kernladung mit den Slater-Regeln berechnet

Der Physiker John C. Slater veröffentlichte 1930 eine Methode zur Schätzung der Abschirmkonstante. Sie vermeidet die aufwendige direkte Lösung der Schrödinger-Gleichung und verwendet stattdessen eine Reihe von Zählregeln.

Schritt 1: Elektronen gruppieren

Die Slater-Regeln ordnen die Elektronen eines Atoms nach Schalen in Gruppen:

1. (1s)
2. (2s, 2p)
3. (3s, 3p)
4. (3d)
5. (4s, 4p)
6. (4d)
7. (4f)
8. (5s, 5p) und so weiter

Elektronen in den s- und p-Orbitalen derselben Schale werden zusammengefasst, weil sie den Kern in ähnlicher Weise abschirmen. Elektronen in d- und f-Orbitalen derselben Schale bilden getrennte Gruppen, weil sie sich weiter außen befinden und weniger wirksam abschirmen.

Schritt 2: Abschirmbeiträge addieren

Um die Abschirmkonstante S für ein Elektron zu bestimmen, werden die Beiträge aller anderen Elektronen im Atom addiert. Maßgeblich ist, wo sich das jeweilige andere Elektron im Verhältnis zum untersuchten Elektron befindet:

• Elektronen in einer höheren Schale (weiter vom Kern entfernt): Sie tragen 0 bei. Elektronen in der d- oder f-Gruppe derselben Schale tragen bei einem s- oder p-Elektron ebenfalls 0 bei, weil diese Gruppen weiter außen liegen.
• Andere Elektronen in derselben Gruppe: Jedes trägt 0,35 bei (Elektronen in der 1s-Gruppe verwenden stattdessen 0,30).
• Elektronen in der um eine Schale kernnäheren Schale (n − 1): Jedes trägt 0,85 bei.
• Elektronen in zwei oder mehr kernnäheren Schalen (n − 2 oder kleiner): Jedes trägt 1,00 bei.

Diese Beiträge werden zu S addiert. Anschließend wird S von der Ordnungszahl subtrahiert, um Z_eff zu erhalten.

Dieser Rechner fragt nach einer Schalennummer und gibt daher den Wert für die s- und p-Elektronen dieser Schale, also für die Gruppe (ns, np), aus. Für Eisen mit der Schale 3 gibt er den Wert für 3s/3p und nicht für 3d zurück. Außerdem verwendet er die Lehrbuch-Reihenfolge der Besetzung, sodass bekannte Ausnahmen wie Chrom und Kupfer nicht modelliert werden.

Beispiel: Effektive Kernladung des 2p-Elektrons von Kohlenstoff

Kohlenstoff besitzt die Ordnungszahl 6 und die Grundzustandskonfiguration 1s² 2s² 2p².

Für eines der 2p-Elektronen:

• Gleiche Gruppe (2s, 2p), ohne das betrachtete Elektron: 3 andere Elektronen × 0,35 = 1,05
• Eine Schale näher am Kern (1s): 2 Elektronen × 0,85 = 1,70

Abschirmkonstante: S = 1,05 + 1,70 = 2,75

Effektive Kernladung: Z_eff = 6 − 2,75 = 3,25

Ein 2p-Elektron von Kohlenstoff erfährt eine Anziehung von etwa +3,25, also ungefähr die Hälfte der tatsächlichen Kernladung des Atoms von +6, weil die inneren 1s-Elektronen und die anderen 2s/2p-Elektronen einen großen Teil davon abschirmen.

Beispiel: Kern- und Valenzelektronen in Natrium

Natrium besitzt die Ordnungszahl 11 und die Konfiguration 1s² 2s² 2p⁶ 3s¹.

Für das 3s-Valenzelektron (n = 3):

• Gleiche Gruppe (3s, 3p), ohne das betrachtete Elektron: 0 andere Elektronen × 0,35 = 0
• Eine Schale näher am Kern (2s, 2p): 8 Elektronen × 0,85 = 6,80
• Zwei Schalen näher am Kern (1s): 2 Elektronen × 1,00 = 2,00

S = 0 + 6,80 + 2,00 = 8,80, daher Z_eff = 11 − 8,80 = 2,20

Für ein 1s-Kernelektron (n = 1):

• Gleiche Gruppe (1s), ohne das betrachtete Elektron: 1 anderes Elektron × 0,30 = 0,30

S = 0,30, daher Z_eff = 11 − 0,30 = 10,70

Das 1s-Elektron erfährt nahezu die vollständige Kernladung, während das 3s-Valenzelektron weniger als ein Fünftel davon erfährt. Dieser Unterschied erklärt, warum Natrium bei Reaktionen das äußere Elektron abgibt, während die inneren Elektronen an ihrem Platz bleiben.

Wie die effektive Kernladung Trends im Periodensystem erklärt

Z_eff hilft, mehrere Muster im Periodensystem vorherzusagen.

• Atomradius. Eine höhere Z_eff zieht Elektronen stärker zum Kern und verkleinert dadurch das Atom. In der Periode 2 erfährt das Valenzelektron von Lithium Z_eff ≈ 1,30, während das von Fluor Z_eff ≈ 5,20 erfährt. Fluor ist das deutlich kleinere Atom.
• Ionisierungsenergie. Eine stärkere Anziehung erfordert mehr Energie, um ein Elektron zu entfernen. Die erste Ionisierungsenergie von Lithium beträgt etwa 520 kJ/mol, die von Neon etwa 2081 kJ/mol. Das entspricht der deutlich höheren Z_eff von Neon (≈ 5,85) für seine 2p-Elektronen.
• Elektronegativität. Atome mit höherem Z_eff ziehen gemeinsame Elektronen in einer Bindung stärker an. Die 3p-Elektronen von Chlor erfahren Z_eff ≈ 6,10, deutlich stärker als der Wert Z_eff von 1,0 für Wasserstoff. Das ist ein Grund dafür, dass die H–Cl-Bindung zum Chlor hin polarisiert ist.

Beim Absteigen innerhalb einer Gruppe verändert sich Z_eff für das Valenzelektron nur wenig. Jede neue Schale fügt sowohl ein Proton als auch ein inneres Elektron hinzu, das dieses abschirmt, sodass sich beide Effekte ungefähr aufheben.

Grenzen der Slater-Regeln

Die Slater-Regeln liefern für die meisten Hauptgruppenelemente (Gruppen 1, 2 und 13–18) eine gute Näherung, sind aber weniger genau für:

• Übergangsmetalle, bei denen d-Elektronen nicht so gleichmäßig abschirmen, wie die Regeln annehmen
• Lanthanoide und Actinoide, bei denen sich f-Elektronen ungewöhnlich verhalten
• Schwere Elemente (oberhalb von etwa der Ordnungszahl 70), bei denen relativistische Effekte das Verhalten der Elektronen verändern

Genauere Werte stammen aus den Clementi-Raimondi-Tabellen, die 1963 auf Grundlage von Hartree-Fock-Berechnungen veröffentlicht wurden, oder aus moderner Software für computergestützte Chemie. Dieser Rechner verwendet die Standardform der Slater-Regeln und berücksichtigt diese Korrekturen nicht.

Verwendung dieses Rechners

1. Geben Sie die Ordnungszahl (Z) von 1 bis 118 ein.
2. Geben Sie eine Elektronenschale (n) ein, also die Hauptquantenzahl der untersuchten Schale. Eine Schale oberhalb der äußersten Schale des Elements gibt statt einer Zahl eine Fehlermeldung zurück.
3. Lesen Sie den auf zwei Dezimalstellen gerundeten Z_eff-Wert neben dem Atomschaubild ab.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die effektive Kernladung? Sie ist die positive Nettoladung, die ein Elektron in einem Mehrelektronenatom tatsächlich erfährt, nachdem andere Elektronen einen Teil der Anziehung des Kerns abschirmen. Sie wird als Z_eff = Z − S berechnet.

Wie wird die Abschirmkonstante mit den Slater-Regeln berechnet? Gruppieren Sie die Elektronen des Atoms nach Schalen. Für das untersuchte Elektron addieren Sie 0,35 für jedes andere Elektron in derselben Gruppe (0,30, wenn es sich um ein 1s-Elektron handelt), 0,85 für jedes Elektron in der um eine Schale kernnäheren Schale und 1,00 für jedes Elektron in zwei oder mehr kernnäheren Schalen. Ein 2p-Elektron von Stickstoff (Konfiguration 1s² 2s² 2p³) besitzt beispielsweise 4 andere Elektronen in derselben Gruppe (4 × 0,35 = 1,40) sowie 2 Elektronen in der um eine Schale kernnäheren Schale (2 × 0,85 = 1,70). Daraus ergeben sich S = 3,10 und Z_eff = 7 − 3,10 = 3,90.

Warum ist die effektive Kernladung wichtig? Sie sagt Atomgröße, Ionisierungsenergie und Elektronegativität besser voraus als die reine Ordnungszahl, weil sie berücksichtigt, wie innere Elektronen die äußeren abschirmen.

Wie genau sind die Slater-Regeln? Für Hauptgruppenelemente liegen sie typischerweise innerhalb von etwa 10–15% der Werte aus fortgeschritteneren Methoden und sind damit für Lehrveranstaltungen und schnelle Schätzungen ausreichend genau. Für Übergangsmetalle, Lanthanoide, Actinoide und sehr schwere Elemente sind sie weniger zuverlässig.

Kann die effektive Kernladung negativ oder null sein? Nein. Die Abschirmkonstante S kann die Ordnungszahl Z niemals überschreiten, daher bleibt Z_eff immer positiv. Elektronen in einem Atom werden netto stets vom Kern angezogen.

Warum haben Kern- und Valenzelektronen so unterschiedliche Z_eff-Werte? Kernelektronen befinden sich nahe am Kern, sodass sich nur wenige Elektronen zwischen ihnen und dem Kern befinden; deshalb erfahren sie nahezu die vollständige Kernladung. Valenzelektronen befinden sich außerhalb von Schichten innerer Elektronen, die den größten Teil der Ladung abschirmen. In Natrium erfährt ein 1s-Kernelektron Z_eff ≈ 10,70, während das 3s-Valenzelektron nur etwa 2,20 erfährt.

Referenzen

1. Slater, J.C. (1930). "Atomic Shielding Constants." Physical Review, 36(1), 57–64.
2. Clementi, E.; Raimondi, D.L. (1963). "Atomic Screening Constants from SCF Functions." The Journal of Chemical Physics, 38(11), 2686–2689.
3. Atkins, P.; de Paula, J. (2014). Atkins' Physical Chemistry (10. Auflage). Oxford University Press. ISBN 978-0199697403.