Fisher's Exakter Test Rechner - Kostenloses Statistisches Tool
Berechnen Sie exakte p-Werte für 2×2 Kontingenztabellen mit dem Fisher-Exakt-Test. Perfekt für kleine Stichprobengrößen, wenn Chi-Quadrat-Annahmen nicht erfüllt sind. Kostenloser Online-Tool.
Dokumentation
Was ist der exakte Test nach Fisher?
Der exakte Test nach Fisher ist ein statistisches Verfahren, das anhand von Daten in einer 2×2-Tabelle prüft, ob zwei kategoriale Variablen zusammenhängen. Er berechnet eine exakte Wahrscheinlichkeit, den p-Wert, statt einer Näherung. Deshalb ist er bei kleinen Stichproben nützlich.
Der Test vergleicht Häufigkeiten in zwei Zeilen und zwei Spalten, etwa „behandelte“ gegenüber „unbehandelten“ Patienten, die genesen sind oder nicht. Eine 2×2-Tabelle hat vier Zellen, meist mit A, B, C und D bezeichnet, sowie Zeilen- und Spaltensummen.
Exakter Test nach Fisher im Vergleich zum Chi-Quadrat-Test
Auch der Chi-Quadrat-Test prüft, ob zwischen zwei kategorialen Variablen ein Zusammenhang besteht, stützt sich aber auf eine Näherung, die nur bei ausreichend großen Zellhäufigkeiten gut funktioniert. Eine gängige Faustregel: Liegt irgendeine erwartete Zellhäufigkeit in der Tabelle unter 5, wird die Chi-Quadrat-Näherung unzuverlässig, und der exakte Test nach Fisher ist die bessere Wahl. Der exakte Test nach Fisher funktioniert bei jeder Stichprobengröße, ist aber mathematisch exakt statt genähert, was sein Hauptvorteil bei kleinen Stichproben ist.
| Aspekt | Exakter Test nach Fisher | Chi-Quadrat-Test |
|---|---|---|
| Ergebnis | Exakte Wahrscheinlichkeit | Näherung |
| Am besten geeignet für | Kleine Stichproben, geringe Zellhäufigkeiten | Größere Stichproben, bei denen alle erwarteten Häufigkeiten ≥ 5 sind |
| Tabellengröße | Für 2×2-Tabellen gedacht (Erweiterungen für größere Tabellen existieren) | Beliebige Tabellengröße |
| Geschwindigkeit | Kann bei großen Stichproben langsamer sein | Schnell bei jeder Stichprobengröße |
So berechnet man den exakten Test nach Fisher
Der Test verwendet die hypergeometrische Verteilung, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, eine bestimmte Anzahl von Elementen aus einer Gruppe zu ziehen, ohne sie zurückzulegen. Bei gegebenen Zeilen- und Spaltensummen einer Tabelle liefert die hypergeometrische Verteilung die Wahrscheinlichkeit jeder bestimmten Anordnung der vier Zellhäufigkeiten.
Die Wahrscheinlichkeitsformel
Für eine Tabelle mit den Zellen A, B, C, D, den Zeilensummen r₁ = A + B und r₂ = C + D, den Spaltensummen c₁ = A + C und c₂ = B + D sowie dem Gesamtstichprobenumfang n = A + B + C + D lautet die Wahrscheinlichkeit genau dieser Tabelle:
Dabei steht „!“ für die Fakultät: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.
Einseitiger p-Wert
Ein einseitiger p-Wert addiert die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Tabelle plus die jeder anderen Tabelle mit denselben Zeilen- und Spaltensummen, die einen gleich starken oder stärkeren Zusammenhang in dieselbe Richtung zeigt. Die „Richtung“ wird bestimmt, indem man Zelle A mit dem Wert vergleicht, den sie hätte, wenn die beiden Variablen unabhängig wären, dem sogenannten Erwartungswert: E(A) = r₁c₁ / n.
- Ist A gleich oder größer als E(A), neigt der Zusammenhang ins Positive, und die Summe läuft über jeden möglichen Wert von Zelle A vom beobachteten Wert bis zu ihrem höchstmöglichen Wert.
- Ist A kleiner als E(A), neigt der Zusammenhang ins Negative, und die Summe läuft vom niedrigstmöglichen Wert von Zelle A bis zum beobachteten Wert.
Zweiseitiger p-Wert
Ein zweiseitiger p-Wert addiert die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Tabellen mit denselben Zeilen- und Spaltensummen, deren Wahrscheinlichkeit gleich oder kleiner als die der beobachteten Tabelle ist. Dadurch werden extreme Ergebnisse in beiden Richtungen berücksichtigt, sodass ein zweiseitiger p-Wert normalerweise größer ist als ein einseitiger p-Wert, der aus derselben Tabelle berechnet wurde.
Beispiel
Eine kleine Studie gibt 10 Patienten ein neues Medikament und 10 weiteren ein Placebo. Die Ergebnisse:
| Verbessert | Nicht verbessert | Gesamt | |
|---|---|---|---|
| Behandelt | 8 | 2 | 10 |
| Kontrolle | 3 | 7 | 10 |
| Gesamt | 11 | 9 | 20 |
Hier ist A = 8, B = 2, C = 3, D = 7 und n = 20. Der Erwartungswert von A bei Unabhängigkeit ist E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Da 8 über 5,5 liegt, neigt der Zusammenhang ins Positive, sodass die einseitige Summe von A = 8 bis zum höchstmöglichen Wert von A läuft, der 10 beträgt.
Die Berechnung der hypergeometrischen Wahrscheinlichkeiten für A = 8, 9 und 10 ergibt einen einseitigen p-Wert von etwa 0,0349. Addiert man die Wahrscheinlichkeiten aller Tabellen (in beiden Richtungen), deren Wahrscheinlichkeit höchstens so groß ist wie die der beobachteten Tabelle, ergibt sich ein zweiseitiger p-Wert von etwa 0,0698.
Bei der üblichen Schwelle von 0,05 gilt das einseitige Ergebnis als statistisch signifikant, das zweiseitige dagegen nicht. Das zeigt, warum die Wahl der Testart wichtig ist: Ein einseitiger Test ist nur angemessen, wenn die Richtung des Effekts (hier, dass das Medikament die Ergebnisse verbessert) vorhergesagt wurde, bevor man die Daten ansah.
Wann der exakte Test nach Fisher eingesetzt wird
Der exakte Test nach Fisher ist üblich in:
- Klinischen Studien mit einer kleinen Patientenzahl.
- Qualitätskontrollen, die Fehlerzahlen zwischen zwei Produktionschargen vergleichen.
- Genetikforschung, die Häufigkeiten eines Merkmals zwischen zwei kleinen Gruppen vergleicht.
- Jeder 2×2-Tabelle, bei der eine erwartete Zellhäufigkeit unter 5 liegt.
Häufig gestellte Fragen
Wofür wird der exakte Test nach Fisher verwendet? Er prüft anhand der Häufigkeiten einer 2×2-Tabelle, ob zwei kategoriale Variablen zusammenhängen. Er wird bei kleinen Stichproben oft dem Chi-Quadrat-Test vorgezogen.
Wann sollte der exakte Test nach Fisher statt des Chi-Quadrat-Tests verwendet werden? Wenn irgendeine erwartete Zellhäufigkeit in der Tabelle unter 5 liegt oder wenn unabhängig von der Stichprobengröße zusätzliche Sicherheit über die exakte Wahrscheinlichkeit gewünscht wird.
Was ist der Unterschied zwischen einseitigen und zweiseitigen Ergebnissen? Ein einseitiger p-Wert testet eine vorhergesagte Effektrichtung, die vor Kenntnis der Daten festgelegt wurde. Ein zweiseitiger p-Wert testet, ob überhaupt ein Zusammenhang besteht, in beliebiger Richtung. Ein zweiseitiger p-Wert aus derselben Tabelle ist in der Regel größer.
Gibt dieser Rechner ein Quotenverhältnis aus? Nein. Er gibt nur den exakten p-Wert aus. Ein Quotenverhältnis für dieselbe Tabelle lässt sich separat ermitteln, indem man A × D durch B × C teilt.
Kann der exakte Test nach Fisher bei Tabellen verwendet werden, die größer als 2×2 sind? Die hier beschriebene Version gilt für 2×2-Tabellen. Größere Tabellen erfordern ein verwandtes Verfahren, die Freeman-Halton-Erweiterung, die in den meisten Statistikprogrammen verfügbar ist.
Kann der exakte Test nach Fisher bei gepaarten Daten verwendet werden, etwa bei Vorher-nachher-Messungen an denselben Personen? Nein. Er setzt zwei unabhängige Gruppen voraus. Gepaarte kategoriale Daten erfordern stattdessen den McNemar-Test.
Referenzen
- Kim H-Y. Statistical notes for clinical researchers: Chi-squared test and Fisher's exact test. Restorative Dentistry & Endodontics, 2017. Kim 2017 (PMC) — Der exakte Test nach Fisher wird verwendet, wenn die erwarteten Zellhäufigkeiten unter 5 liegen, und wendet die hypergeometrische Verteilung auf die Zellen der Tabelle an.