Fisher's Exakter Test Rechner - Kostenloses Statistisches Tool

Was ist der Fisher-Exakt-Test?

Der Fisher-Exakt-Test ist ein statistisches Verfahren, mit dem geprüft wird, ob zwei kategoriale Variablen miteinander zusammenhängen. Dazu werden die Daten in einer 2×2-Tabelle angeordnet. Der Test berechnet eine exakte Wahrscheinlichkeit, den sogenannten p-Wert, statt einer Näherung. Dadurch eignet er sich besonders für kleine Stichproben.

Der Test vergleicht Häufigkeiten in zwei Zeilen und zwei Spalten, etwa „behandelte“ und „unbehandelte“ Patienten, die sich entweder erholt haben oder nicht. Eine 2×2-Tabelle hat vier Zellen, die üblicherweise mit A, B, C und D bezeichnet werden, sowie Zeilen- und Spaltensummen.

Fisher-Exakt-Test im Vergleich zum Chi-Quadrat-Test

Auch der Chi-Quadrat-Test prüft, ob zwei kategoriale Variablen zusammenhängen. Er beruht jedoch auf einer Näherung, die nur dann gut funktioniert, wenn die Zellhäufigkeiten ausreichend groß sind. Als Faustregel gilt: Wenn die erwartete Häufigkeit in einer beliebigen Zelle der Tabelle unter 5 liegt, wird die Chi-Quadrat-Näherung unzuverlässig, und der Fisher-Exakt-Test ist die bessere Wahl. Der Fisher-Exakt-Test funktioniert bei jeder Stichprobengröße. Er ist mathematisch exakt und nicht nur eine Näherung, was bei kleinen Stichproben sein wichtigster Vorteil ist.

Fisher-Exakt-Test berechnen

Der Test verwendet die hypergeometrische Verteilung. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Elementen aus einer Gruppe zu ziehen, ohne sie zurückzulegen. Ausgehend von den Zeilen- und Spaltensummen einer Tabelle liefert die hypergeometrische Verteilung die Wahrscheinlichkeit jeder bestimmten Anordnung der vier Zellhäufigkeiten.

Formel für die Wahrscheinlichkeit

Für eine Tabelle mit den Zellen A, B, C und D, den Zeilensummen r₁ = A + B und r₂ = C + D, den Spaltensummen c₁ = A + C und c₂ = B + D sowie dem Stichprobenumfang n = A + B + C + D lautet die Wahrscheinlichkeit genau dieser Tabelle:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Dabei bezeichnet „Fakultät“ das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu dieser Zahl: 5 Fakultät = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Einseitiger p-Wert

Ein einseitiger p-Wert summiert die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Tabelle und jeder anderen Tabelle mit denselben Zeilen- und Spaltensummen, die einen gleich starken oder stärkeren Zusammenhang in derselben Richtung zeigt. Die „Richtung“ wird bestimmt, indem Zelle A mit dem Wert verglichen wird, den sie bei Unabhängigkeit der beiden Variablen hätte. Dieser Wert wird als erwarteter Wert bezeichnet: E(A) = r₁c₁ / n.

• Wenn A gleich E(A) oder größer als E(A) ist, weist der Zusammenhang in eine positive Richtung. Die Summe umfasst dann jeden möglichen Wert der Zelle A vom beobachteten Wert bis zu ihrem höchsten möglichen Wert.
• Wenn A kleiner als E(A) ist, weist der Zusammenhang in eine negative Richtung. Die Summe reicht dann vom niedrigsten möglichen Wert der Zelle A bis zum beobachteten Wert.

Zweiseitiger p-Wert

Ein zweiseitiger p-Wert summiert die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Tabellen mit denselben Zeilen- und Spaltensummen, deren Wahrscheinlichkeit gleich der Wahrscheinlichkeit der beobachteten Tabelle oder kleiner ist. Dadurch werden extreme Ergebnisse in beide Richtungen berücksichtigt. Ein zweiseitiger p-Wert ist daher normalerweise größer als ein einseitiger p-Wert, der aus derselben Tabelle berechnet wurde.

Rechenbeispiel

In einer kleinen Studie erhalten 10 Patienten ein neues Medikament und 10 weitere ein Placebo. Die Ergebnisse:

Hier gilt A = 8, B = 2, C = 3, D = 7 und n = 20. Der erwartete Wert von A unter der Annahme der Unabhängigkeit ist E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Da 8 über 5,5 liegt, weist der Zusammenhang in eine positive Richtung. Die einseitige Summe reicht daher von A = 8 bis zum höchsten möglichen Wert von A, also 10.

Die Berechnung der hypergeometrischen Wahrscheinlichkeiten für A = 8, 9 und 10 ergibt einen einseitigen p-Wert von ungefähr 0,0349. Die Addition der Wahrscheinlichkeiten jeder Tabelle in beide Richtungen, deren Wahrscheinlichkeit höchstens so groß ist wie die der beobachteten Tabelle, ergibt einen zweiseitigen p-Wert von ungefähr 0,0698.

Beim üblichen Schwellenwert 0,05 gilt das einseitige Ergebnis als statistisch signifikant, das zweiseitige Ergebnis dagegen nicht. Dies zeigt, warum die Wahl der Testart wichtig ist: Ein einseitiger Test ist nur dann angemessen, wenn die Richtung des Effekts, hier eine Verbesserung der Ergebnisse durch das Medikament, bereits vor der Betrachtung der Daten vorhergesagt wurde.

Wann der Fisher-Exakt-Test verwendet wird

Der Fisher-Exakt-Test wird häufig eingesetzt bei:

• Klinischen Studien mit einer kleinen Anzahl von Patienten.
• Qualitätskontrollen, bei denen die Fehleranzahl zweier Produktionschargen verglichen wird.
• Genetischen Untersuchungen, bei denen die Häufigkeit eines Merkmals in zwei kleinen Gruppen verglichen wird.
• Jeder 2×2-Tabelle, bei der die erwartete Häufigkeit einer Zelle unter 5 liegt.

Häufig gestellte Fragen

Wofür wird der Fisher-Exakt-Test verwendet?
Er prüft anhand der Häufigkeiten in einer 2×2-Tabelle, ob zwei kategoriale Variablen miteinander zusammenhängen. Bei kleinen Stichproben wird er häufig dem Chi-Quadrat-Test vorgezogen.

Wann sollte der Fisher-Exakt-Test anstelle des Chi-Quadrat-Tests verwendet werden?
Wenn die erwartete Häufigkeit in einer beliebigen Zelle der Tabelle unter 5 liegt oder wenn unabhängig von der Stichprobengröße eine höhere Sicherheit über die exakte Wahrscheinlichkeit erforderlich ist.

Was ist der Unterschied zwischen einseitigen und zweiseitigen Ergebnissen?
Ein einseitiger p-Wert prüft eine vorhergesagte Richtung des Effekts, die vor der Betrachtung der Daten festgelegt wurde. Ein zweiseitiger p-Wert prüft, ob in irgendeiner Richtung ein Zusammenhang besteht. Ein zweiseitiger p-Wert aus derselben Tabelle ist normalerweise größer.

Gibt dieser Rechner ein Chancenverhältnis aus?
Nein. Er gibt nur den exakten p-Wert aus. Ein Chancenverhältnis für dieselbe Tabelle lässt sich separat berechnen, indem A × D durch B × C geteilt wird.

Kann der Fisher-Exakt-Test auf Tabellen mit mehr als 2×2 Zellen angewendet werden?
Die hier beschriebene Version ist für 2×2-Tabellen vorgesehen. Für größere Tabellen wird eine verwandte Methode namens Freeman-Halton-Erweiterung benötigt, die in den meisten Statistikprogrammen verfügbar ist.

Kann der Fisher-Exakt-Test auf verbundene Daten angewendet werden, etwa auf Messungen vor und nach einer Behandlung bei denselben Personen?
Nein. Der Test setzt zwei unabhängige Gruppen voraus. Für verbundene kategoriale Daten wird stattdessen der McNemar-Test benötigt.

Quellen

1. Fisher, R.A. (1922). „On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P.“ Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G.H. & Halton, J.H. (1951). „Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance.“ Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3rd ed.). Wiley.