Calculadora de Prueba Z - Herramienta Gratuita de Significancia Estadística

¿Qué es una prueba z?

Una prueba z es una prueba estadística que comprueba si la media de una muestra difiere de forma significativa de una media poblacional conocida, cuando ya se conoce la desviación estándar de la población. Produce un único número, la puntuación z, que indica a cuántas desviaciones estándar de la media poblacional se encuentra la media muestral. Investigadores, inspectores de calidad y analistas la usan para juzgar si una diferencia observada es probablemente real o solo fruto del azar.

Fórmula de la prueba Z

La prueba z calcula una puntuación z con esta fórmula, el estadístico de contraste para el caso en que se conoce la desviación estándar que figura en el NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• $\bar{x}$ es la media muestral
• $\mu$ es la media poblacional
• $\sigma$ es la desviación estándar poblacional
• $n$ es el tamaño de la muestra

La parte inferior de la fórmula, $\sigma / \sqrt{n}$, se llama error estándar. Mide cuánto se espera que varíen las medias muestrales solo por el muestreo aleatorio.

Cómo calcular una prueba z paso a paso

1. Hallar la media muestral ($\bar{x}$) a partir de los datos recogidos.
2. Identificar la media poblacional conocida ($\mu$).
3. Identificar la desviación estándar poblacional conocida ($\sigma$).
4. Contar el tamaño de la muestra ($n$).
5. Restar $\mu$ de $\bar{x}$.
6. Dividir $\sigma$ entre la raíz cuadrada de $n$ para obtener el error estándar.
7. Dividir el resultado del paso 5 entre el resultado del paso 6. La respuesta es la puntuación z.

Ejemplo práctico

Una fábrica afirma que sus tornillos miden en promedio 10 cm de largo, con una desviación estándar poblacional de 0,2 cm. Un inspector mide 100 tornillos y obtiene una media muestral de 10,05 cm.

• $\bar{x} = 10.05$
• $\mu = 10$
• $\sigma = 0.2$
• $n = 100$

Error estándar: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Puntuación z: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

La puntuación z es 2,5. La media muestral está 2,5 errores estándar por encima de la media poblacional.

Cómo interpretar una puntuación z

Una puntuación z cercana a 0 significa que la media muestral está próxima a la media poblacional. Una puntuación z grande, positiva o negativa, significa que la media muestral está lejos de la media poblacional, lo que apunta a una diferencia real y no al azar.

Estos son valores críticos habituales de la distribución normal, para una prueba bilateral:

• α = 0,10 (confianza del 90 %): z = ±1,645
• α = 0,05 (confianza del 95 %): z = ±1,96
• α = 0,01 (confianza del 99 %): z = ±2,576

Si la puntuación z calculada supera el valor crítico del nivel de significación elegido, el resultado se considera estadísticamente significativo y se rechaza la hipótesis nula (la que afirma que no hay diferencia).

En el ejemplo resuelto, z = 2,5 supera ±1,96, por lo que la diferencia es estadísticamente significativa al nivel de 0,05. El valor p bilateral para z = 2,5 es de alrededor del 1,24 %, es decir, hay aproximadamente una probabilidad de 1 entre 80 de observar una diferencia tan grande si la longitud media real de los tornillos fuera de 10 cm.

Cuándo usar una prueba z

Una prueba z es adecuada cuando:

• Se conoce la desviación estándar poblacional.
• El tamaño de la muestra es razonablemente grande, normalmente mayor que 30.
• Los datos proceden de un muestreo aleatorio.
• La población sigue una distribución normal, o la muestra es lo bastante grande para que se aplique el teorema central del límite.

Si se desconoce la desviación estándar poblacional o la muestra es pequeña, se usa en su lugar una prueba t. La prueba t estima la variabilidad a partir de la propia muestra y tiene en cuenta la incertidumbre adicional que esto supone.

Prueba z frente a prueba t

Ambas pruebas miden a qué distancia está la media muestral de un valor esperado, en unidades de error estándar. La prueba z supone que se conoce la desviación estándar poblacional. La prueba t estima ese valor a partir de la muestra y usa una distribución más ancha, que depende del tamaño de la muestra, para tener en cuenta la incertidumbre adicional. En la práctica, la prueba t se usa con más frecuencia. El NIST describe como el caso más típico aquel en que la desviación estándar debe estimarse a partir de los datos.

Usos reales de la prueba z

• Control de calidad: comprobar si un lote de piezas fabricadas se ajusta a la especificación objetivo.
• Investigación médica: comparar el resultado medio de un grupo de tratamiento con un valor poblacional conocido.
• Educación: comparar las notas de una clase con la media nacional.
• Finanzas: comprobar si la rentabilidad de un fondo difiere de un promedio de referencia.

Historia

La distribución normal en la que se basa la prueba z fue descrita por Abraham de Moivre, quien la usó en 1733 como aproximación a la distribución binomial. Carl Friedrich Gauss y Pierre-Simon Laplace desarrollaron la teoría a principios del siglo XIX, en torno a 1800. Los métodos formales de contraste de hipótesis, incluido el uso de puntuaciones z y valores críticos para juzgar la significación estadística, fueron desarrollados a comienzos del siglo 20 por estadísticos como Ronald Fisher, Jerzy Neyman y Egon Pearson.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre una prueba z y una prueba t?

Una prueba z requiere conocer la desviación estándar poblacional y funciona mejor con muestras grandes. Una prueba t se usa cuando se desconoce la desviación estándar poblacional y hay que estimarla a partir de la muestra; sirve tanto para muestras pequeñas como grandes.

¿Qué tamaño de muestra necesita una prueba z?

Un tamaño de muestra superior a 30 es la regla práctica habitual. Por debajo de eso, los resultados de una prueba z dejan de ser fiables y suele ser mejor una prueba t.

¿Qué significa una puntuación z de 2,5?

Una puntuación z de 2,5 significa que la media muestral está 2,5 errores estándar por encima de la media poblacional. Eso supera el valor crítico bilateral de ±1,96 para una confianza del 95 %, por lo que la diferencia es estadísticamente significativa a ese nivel. El valor p bilateral para z = 2,5 es de alrededor del 1,24 %.

¿Qué es un valor p en una prueba z?

El valor p es la probabilidad de obtener un resultado al menos tan extremo como el observado si realmente no hubiera diferencia con la media poblacional. Un valor p menor es una prueba más sólida contra la hipótesis nula. Un valor p inferior a 0,05 suele considerarse estadísticamente significativo.

¿Qué es la hipótesis nula en una prueba z?

La hipótesis nula establece que no hay diferencia entre la media muestral y la media poblacional. La prueba z mide cuánta evidencia aporta la muestra en contra de esa afirmación.

¿Se puede usar una prueba z con muestras pequeñas?

No se recomienda. Con una muestra pequeña, o cuando se desconoce la desviación estándar poblacional, una prueba t da resultados más exactos porque tiene en cuenta la incertidumbre adicional de estimar la variabilidad con pocos datos.

Referencias

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, sección 7.2.2 "Are the data consistent with the assumed process mean?". NIST e-Handbook 7.2.2 — z = (Ȳ − μ₀)/(σ/√N) cuando se conoce la desviación estándar; estimarla a partir de los datos es el caso más típico.
2. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, sección 1.3.6.7.1 "Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution". NIST e-Handbook 1.3.6.7.1 — valores críticos 1,282, 1,645, 1,960, 2,326 y 2,576; el área de 0 a 2,5 es 0,49379.
3. MacTutor History of Mathematics, Universidad de St Andrews. Abraham de Moivre. MacTutor: Abraham de Moivre — de Moivre dedujo la curva normal en 1733 como aproximación a la binomial.