Calculadora de Prueba Z - Herramienta Gratuita de Significancia Estadística

¿Qué es una prueba z?

Una prueba z es un contraste estadístico que comprueba si la media de una muestra difiere significativamente de la media conocida de una población, cuando la desviación estándar de la población ya se conoce. Produce un único número, la puntuación z, que muestra a cuántas desviaciones estándar se encuentra la media de la muestra de la media de la población. Investigadores, inspectores de calidad y analistas la utilizan para determinar si una diferencia observada probablemente es real o se debe simplemente al azar.

Fórmula de la prueba z

La prueba z calcula una puntuación z con esta fórmula:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• $\bar{x}$ es la media de la muestra
• $\mu$ es la media de la población
• $\sigma$ es la desviación estándar de la población
• $n$ es el tamaño de la muestra

La parte inferior de la fórmula, $\sigma / \sqrt{n}$, se denomina error estándar. Mide cuánto se espera que varíen las medias de las muestras solo por efecto del muestreo aleatorio.

Cómo calcular una prueba z paso a paso

1. Calcular la media de la muestra ($\bar{x}$) a partir de los datos recopilados.
2. Identificar la media conocida de la población ($\mu$).
3. Identificar la desviación estándar conocida de la población ($\sigma$).
4. Contar el tamaño de la muestra ($n$).
5. Restar $\mu$ de $\bar{x}$.
6. Dividir $\sigma$ entre la raíz cuadrada de $n$ para obtener el error estándar.
7. Dividir el resultado del paso 5 entre el resultado del paso 6. La respuesta es la puntuación z.

Ejemplo resuelto

Una fábrica afirma que sus pernos tienen una longitud media de 10 cm, con una desviación estándar poblacional de 0,2 cm. Un inspector mide 100 pernos y obtiene una media muestral de 10,05 cm.

• $\bar{x} = 10,05$
• $\mu = 10$
• $\sigma = 0,2$
• $n = 100$

Error estándar: $0,2 / \sqrt{100} = 0,2 / 10 = 0,02$

Puntuación z: $(10,05 - 10) / 0,02 = 0,05 / 0,02 = 2,5$

La puntuación z es 2,5. La media de la muestra se encuentra 2,5 errores estándar por encima de la media de la población.

Cómo interpretar una puntuación z

Una puntuación z cercana a 0 significa que la media de la muestra está cerca de la media de la población. Una puntuación z positiva o negativa grande significa que la media de la muestra está lejos de la media de la población, lo que apunta a una diferencia real en lugar de una variación aleatoria.

Valores críticos habituales para una prueba de dos colas:

• α = 0,10 (90 % de confianza): z = ±1,645
• α = 0,05 (95 % de confianza): z = ±1,96
• α = 0,01 (99 % de confianza): z = ±2,58

Si la puntuación z calculada supera el valor crítico correspondiente al nivel de significación elegido, el resultado se considera estadísticamente significativo y se rechaza la hipótesis nula (que no existe ninguna diferencia).

En el ejemplo resuelto, z = 2,5 supera ±1,96, por lo que la diferencia es estadísticamente significativa en el nivel 0,05. El valor p de dos colas para z = 2,5 es aproximadamente del 1,24 %, lo que significa que hay una probabilidad aproximada de 1 entre 80 de observar una diferencia de este tamaño si la longitud media real de los pernos fuera efectivamente de 10 cm.

Cuándo utilizar una prueba z

Una prueba z es adecuada cuando:

• Se conoce la desviación estándar de la población.
• El tamaño de la muestra es razonablemente grande, normalmente superior a 30.
• Los datos proceden de un muestreo aleatorio.
• La población tiene una distribución normal o la muestra es lo bastante grande para que se aplique el teorema central del límite.

Si se desconoce la desviación estándar de la población o la muestra es pequeña, se utiliza una prueba t. La prueba t estima la variabilidad a partir de la propia muestra y tiene en cuenta la incertidumbre adicional que esto genera.

Prueba z frente a prueba t

Ambas pruebas miden a qué distancia se encuentra una media muestral de un valor esperado, en unidades de error estándar. La prueba z supone que se conoce la desviación estándar de la población. La prueba t estima ese valor a partir de la muestra y utiliza una distribución más amplia, dependiente del tamaño de la muestra, para tener en cuenta la incertidumbre adicional. En la práctica, la prueba t se utiliza con mucha más frecuencia, porque la verdadera desviación estándar de la población rara vez se conoce.

Usos de la prueba z en la práctica

• Control de calidad: comprobar si un lote de piezas fabricadas coincide con la especificación objetivo.
• Investigación médica: comparar el resultado medio de un grupo tratado con un valor poblacional conocido.
• Educación: comparar las calificaciones de una clase con una media nacional.
• Finanzas: comprobar si los rendimientos de un fondo difieren de la media de referencia.

Historia

La distribución normal en la que se basa la prueba z fue descrita por Abraham de Moivre en 1733 como una aproximación a la distribución binomial. Carl Friedrich Gauss y Pierre-Simon Laplace desarrollaron la teoría posteriormente, a principios de la década de 1800. Los métodos formales de contraste de hipótesis, incluido el uso de puntuaciones z y valores críticos para evaluar la significación estadística, se desarrollaron a principios del siglo 20 gracias a estadísticos como Ronald Fisher, Jerzy Neyman y Egon Pearson.

Qué muestra esta calculadora

La calculadora solicita cuatro números: la media de la muestra, la media de la población, la desviación estándar de la población y el tamaño de la muestra. Muestra la puntuación z redondeada a cuatro decimales. Debajo del resultado, dibuja la curva normal estándar y marca la puntuación z con una línea vertical, de modo que se pueda ver la posición del resultado en la distribución. La curva es la densidad normal estándar, $\varphi(x) = e^{-x^{2}/2} / \sqrt{2\pi}$.

Se aplican dos límites a los datos introducidos. El tamaño de la muestra debe ser mayor que 0. La desviación estándar de la población debe ser como mínimo de 0,0001; una dispersión menor hace que la puntuación z alcance un valor enorme que carece de utilidad práctica. La calculadora no muestra un valor p, por lo que se deben utilizar los valores críticos anteriores o una tabla de la distribución normal estándar para decidir si el resultado es significativo.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre una prueba z y una prueba t?

Una prueba z requiere conocer la desviación estándar de la población y funciona mejor con muestras grandes. Una prueba t se utiliza cuando se desconoce la desviación estándar de la población y debe estimarse a partir de la muestra; funciona tanto con muestras pequeñas como grandes.

¿Qué tamaño de muestra necesita una prueba z?

Un tamaño de muestra superior a 30 es la regla general habitual. Por debajo de ese valor, los resultados de una prueba z dejan de ser fiables y normalmente la prueba t es una opción más adecuada.

¿Qué significa una puntuación z de 2,5?

Una puntuación z de 2,5 significa que la media de la muestra está 2,5 errores estándar por encima de la media de la población. Esto supera el valor crítico de dos colas de ±1,96 para una confianza del 95 %, por lo que la diferencia es estadísticamente significativa en ese nivel. El valor p de dos colas para z = 2,5 es aproximadamente del 1,24 %.

¿Qué es un valor p en una prueba z?

El valor p es la probabilidad de obtener un resultado al menos tan extremo como el observado si realmente no hubiera ninguna diferencia con respecto a la media de la población. Un valor p más pequeño constituye una evidencia más sólida contra la hipótesis nula. Un valor p inferior a 0,05 suele considerarse estadísticamente significativo.

¿Cuál es la hipótesis nula en una prueba z?

La hipótesis nula afirma que no existe ninguna diferencia entre la media de la muestra y la media de la población. La prueba z mide cuánta evidencia aporta la muestra contra esa afirmación.

¿Se puede utilizar una prueba z con muestras pequeñas?

No se recomienda. Con una muestra pequeña o cuando se desconoce la desviación estándar de la población, una prueba t ofrece resultados más precisos porque tiene en cuenta la incertidumbre adicional que implica estimar la variabilidad a partir de datos limitados.