Ruutvõrrandi Lahendaja - Arvuta Juured ax² + bx + c = 0

Mis on ruutvõrrand?

Ruutvõrrand on kujul $ax^2 + bx + c = 0$ võrrand, kus $a$, $b$ ja $c$ on arvud ning $a$ ei ole null. Selle lehe ruutvõrrandi lahendaja leiab $x$ väärtuse või väärtused, mille korral võrrand kehtib, kasutades kasutaja sisestatud kordajaid $a$, $b$ ja $c$.

Kui $a$ oleks null, kaoks liige $x^2$ ja võrrand muutuks ruutvõrrandi asemel lineaarvõrrandiks. Seetõttu nõuab kalkulaator, et $a \neq 0$, ning kuvab vea, kui $a = 0$.

Ruutvõrrandi lahendivalem

Iga kujul $ax^2 + bx + c = 0$ ruutvõrrandit saab lahendada ruutvõrrandi lahendivalemiga:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Märk $\pm$ tähistab kahte eraldi arvutust: ühes kasutatakse plussmärki ja teises miinusmärki. Seetõttu võib ruutvõrrandil olla kaks erinevat lahendit.

Ruutjuure all olevat avaldist $b^2 - 4ac$ nimetatakse diskriminandiks. Tavaliselt tähistatakse seda sümboliga $\Delta$ (kreeka täht delta). Ainuüksi diskriminant näitab, kui palju reaalarvulisi lahendeid võrrandil on, enne ülejäänud arvutuse tegemist.

Kuidas juuri arvutada

1. Kirjutage võrrand standardkujule $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Määrake kordajad $a$, $b$ ja $c$.
3. Arvutage diskriminant: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Kui $\Delta$ on positiivne, arvutage mõlemad juured valemiga $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Kui $\Delta$ on null, arvutage ainus juur valemiga $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Kui $\Delta$ on negatiivne, ei ole võrrandil reaalarvulisi juuri, sest negatiivsel arvul pole reaalarvulist ruutjuurt.

Selle lehe kalkulaator teeb need sammud automaatselt. See aktsepteerib kordajaid vahemikus $-10^{10}$ kuni $10^{10}$ ning ümardab tulemused valitud kümnendkohtade arvuni vahemikus 0 kuni 10.

Mida diskriminant tähendab

See kalkulaator teatab „reaalarvulisi juuri ei ole”, kui $\Delta$ on negatiivne. See ei arvuta kompleksarvulisi juuri ehk arve, milles sisaldub $i = \sqrt{-1}$.

Lahendatud näide

Lahendage $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Siin on $a = 1$, $b = 5$ ja $c = 6$.

Esmalt leidke diskriminant:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Kuna $\Delta$ on positiivne, on võrrandil kaks reaalarvulist juurt:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Seda saab kontrollida tegurdamisega: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, mis võrdub nulliga, kui $x = -2$ või $x = -3$.

Teine näide näitab negatiivset diskriminanti. Võrrandi $x^2 + x + 1 = 0$ korral on $a = 1$, $b = 1$ ja $c = 1$, seega $\Delta = 1 - 4 = -3$. Kuna $\Delta$ on negatiivne, ei ole võrrandil reaalarvulisi juuri.

Parabool, tipppunkt ja sümmeetriatelg

Funktsiooni $f(x) = ax^2 + bx + c$ graafik on kõver, mida nimetatakse parabooliks. Kui $a$ on positiivne, avaneb parabool ülespoole ja sellel on madalaim punkt. Kui $a$ on negatiivne, avaneb see allapoole ja sellel on kõrgeim punkt. Seda madalaimat või kõrgeimat punkti nimetatakse tipppunktiks.

Tipppunkt asub kohal:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Tipppunkti läbivat vertikaalset sirget $x = -\dfrac{b}{2a}$ nimetatakse sümmeetriateljeks, sest parabooli kaks poolt peegeldavad teineteist selle sirge suhtes. Võrrandi reaalarvulised juured on punktid, kus parabool lõikab x-telge, seega asuvad need sümmeetriatelje eri pooltel ja sellest võrdsel kaugusel.

Kalkulaator joonistab selle parabooli tulemuse kõrvale. See tähistab kõveral tipppunkti ja kõik reaalarvulised juured ning laiendab vajaduse korral joonistatavat vahemikku, et kõik juured jääksid nähtavale.

Kus ruutvõrrandeid kasutatakse

Ruutvõrrandid kirjeldavad paljusid tegeliku elu olukordi. Füüsikas järgib visatud keha kõrgus ajas võrrandit $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$ ning selle lahendamine $t$ suhtes annab aja, millal keha maandub. Tehnikas esinevad paraboolsed kujundid satelliitantennides ja sillatrossides, sest need koondavad või jaotavad jõudu. Arvutigraafikas lahendavad kiirte jälitamise programmid ruutvõrrandeid, et leida, kus sirge lõikab kera.

Lühike ajalugu

Babüloonia matemaatikud lahendasid konkreetseid ruutvõrrandiga seotud ülesandeid juba umbes 2000 eKr, kasutades algebra asemel geomeetrilisi meetodeid. Ka Kreeka matemaatikud, näiteks Eukleides, käsitlesid ruutvõrrandeid geomeetriliselt. Umbes 600 pKr esitas India matemaatik Brahmagupta juurte otsese valemi, mis hõlmas ka negatiivseid lahendeid. Umbes 800 pKr kirjeldas Pärsia matemaatik al-Khwarizmi süstemaatilisi meetodeid ruutvõrrandite lahendamiseks raamatus, mille pealkiri andis aluse sõnale „algebra”. Ruutvõrrandi lahendivalemi tänapäevane sümbolkuju sai standardiks hiljem, kui renessansi ajal arenes algebraline tähistus.

Korduma kippuvad küsimused

Mis juhtub, kui sisestan kordaja a väärtuseks 0? Kalkulaator kuvab vea, sest $a = 0$ muudab võrrandi lineaarvõrrandiks $bx + c = 0$, mida lahendatakse teisiti.

Miks ei ole võrrandil mõnikord reaalarvulisi juuri? See juhtub siis, kui diskriminant $b^2 - 4ac$ on negatiivne. Negatiivsel arvul pole reaalarvulist ruutjuurt, mistõttu ei saa valem anda $x$ reaalarvulist väärtust. Võrrandil on endiselt kaks kompleksarvulist juurt, kuid see kalkulaator neid ei arvuta.

Mis vahe on juurel ja lahendil? Mitte mingit. Mõlemad sõnad tähistavad $x$ väärtust, mille korral võrrand võrdub nulliga. „Juur” viitab kohale, kus graafik kohtub x-teljega; „lahend” viitab algebrale.

Mitut kümnendkohta saan valida? Vahemikus 0 kuni 10. Igapäevaste ülesannete jaoks piisab tavaliselt kahest või kolmest kümnendkohast.

Kas saan sisestada väga suuri kordajaid? Kordajad peavad jääma vahemikku $-10^{10}$ kuni $10^{10}$. Sellest vahemikust välja jäävad väärtused võivad põhjustada ümardusvigu ja lükatakse tagasi.

Kas see kalkulaator leiab kompleksarvulised juured? Ei. Kui diskriminant on negatiivne, teatab kalkulaator „reaalarvulisi juuri ei ole”, selle asemel et arvutada kompleksarve.

Viited

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. NISTi matemaatiliste funktsioonide digitaalne teek, §1.11, Algebra: ruutvõrrand