Young-Laplace'i võrrandi lahendaja | Liidese rõhk

Mis on Youngi-Laplace'i võrrand?

Youngi-Laplace'i võrrand on vedelikumehaanika valem, mis annab rõhkude erinevuse kahe vedeliku vahelise kõvera piirpinna eri külgedel, näiteks veetilga või seebimulli pinnal. See näitab, et rõhkude erinevus sõltub vedeliku pindpinevusest ja sellest, kui järsult piirpind kõverdub. Võrrand selgitab, miks tilkades ja mullides rõhk suureneb ning miks väiksemates on siserõhk suurem kui suuremates.

Võrrand on nime saanud Thomas Youngi ja Pierre-Simon Laplace'i järgi, kes kirjeldasid seda seost kumbki 1800. aastatel.

Youngi-Laplace'i võrrandi valem

Võrrandi üldkuju on järgmine:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ on rõhkude erinevus piirpinna eri külgedel paskalites (Pa)
• $\gamma$ (gamma) on vedeliku pindpinevus njuutonites meetri kohta (N/m)
• $R_1$ ja $R_2$ on pinna kõveruse kaks peamist kõverusraadiust meetrites (m)

Pind kõverdub eri suundades erinevalt. $R_1$ ja $R_2$ kirjeldavad kõverust kahes teineteisega risti olevas suunas. Kera, näiteks tilga või mulli korral, on $R_1$ võrdne $R_2$-ga, mistõttu valem lihtsustub kujule:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Märgikonventsioon

Rõhk on kõvera piirpinna nõgusal küljel alati suurem ehk sellel küljel, millest pind eemale kummub. Tilga või mulli korral tähendab see, et siserõhk on välisrõhust suurem. Kõverusraadius loetakse positiivseks, kui selle kõveruskese asub suurema rõhuga poolel. Kui pind kõverdub ühes suunas vastupidi, loetakse see raadius negatiivseks. Sadulakujulisel piirpinnal, näiteks kahe kokkupuutuva tera vahelisel vedelikukitsusel, on üks raadius positiivne ja teine negatiivne ning need kaks liiget tühistavad teineteist osaliselt.

See kalkulaator kasutab ainult positiivseid kõverusraadiusi.

Erijuhud

• Tasane pind: kui raadius kasvab lõpmatuse suunas, kahaneb selle liige valemis nulli suunas. Täiesti tasasel piirpinnal rõhkude erinevust ei ole.
• Silinder: pikk silindriline pind, näiteks düüsist väljuv vedelikujuga, kõverdub ainult ühes suunas. Üks raadius on silindri raadius ja teine on selle pikkuse suunas lõpmatu, mistõttu taandub valem kujule $\Delta P = \gamma / R$. See on pool sama raadiusega kera rõhkude erinevusest.
• Väga väikesed mõõtkavad: ligikaudu 10 kuni 20 nanomeetrist väiksematel mõõtmetel muutuvad oluliseks lisamõjud, näiteks joonepinge, ning lihtne võrrand kaotab täpsuse.

Kuidas arvutada Youngi-Laplace'i võrrandiga rõhkude erinevust

1. Leidke vedeliku pindpinevus teile huvipakkuval temperatuuril ühikutes N/m. Pindpinevus temperatuuri tõustes väheneb.
2. Mõõtke või hinnake esimest peamist kõverusraadiust $R_1$ meetrites.
3. Mõõtke või hinnake teist peamist kõverusraadiust $R_2$ meetrites. Kera korral kasutage sama väärtust nagu $R_1$ puhul. Silindri korral kasutage lõpmatuse asemel väga suurt arvu.
4. Korrutage pindpinevus $1/R_1$ ja $1/R_2$ summa läbi. Tulemuseks on rõhkude erinevus paskalites.

Hoidke kõik väärtused SI-ühikutes. Näiteks millimeetrite ja meetrite segamine muudab tulemuse tuhandekordselt ebatäpseks.

Näidisarvutus

Vaatleme kerakujulist veetilka raadiusega 1 millimeeter (0,001 m) ja pindpinevusega 0,072 N/m, mis on toatemperatuuri lähedal oleva vee tüüpiline väärtus.

Kuna tilk on kera, siis $R_1 = R_2 = R$, seega:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Tilga sisemine rõhk on ümbritseva õhu rõhust 144 Pa võrra suurem. See on tavalise atmosfäärirõhuga (umbes 101 325 Pa) võrreldes väike, kuid tilga kahanedes suureneb mõju kiiresti. Kümnendiku võrra väiksema raadiusega tilgas, mille raadius on 0,1 mm, on rõhkude erinevus kümme korda suurem: 1 440 Pa. Tilgas raadiusega 0,01 mm ulatub see 14 400 paskalini, mis moodustab üle 14% atmosfäärirõhust.

Kus võrrandit rakendatakse

• Tilkades ja mullides: väikeste tilkade suurem siserõhk põhjustab Ostwaldi küpsemist ehk protsessi, mille käigus emulsiooni väikesed tilgad kahanevad ja suuremad kasvavad, sest nende sisu difundeerub suurema rõhuga piirkonnast väiksema rõhuga piirkonda.
• Kapillaarnähtus: kitsas torus olev kõver pind tõmbab vedelikku ülespoole. Seetõttu tõuseb vesi paberrätikus ja kitsastes klaastorudes.
• Hingamine: kopsude väikesed õhukotikesed ehk alveoolid käituvad nagu väikesed mullid. Kopsusurfaktandiks nimetatav kate vähendab pindpinevust, nii et väikesed alveoolid ei lange võrrandi ennustatava rõhu all kokku. Enneaegsetel imikutel, kellel ei ole piisavalt surfaktanti, võivad sel põhjusel tekkida hingamisprobleemid.
• Tindiprintimine: printeri düüsid moodustavad kümnete mikromeetrite suuruseid tilku, mille kõverusest tulenev rõhk on piisavalt suur, et mõjutada tindi düüsist väljumise kuju.
• Materjaliteadus: vedelike pinna märguvust ja õhukeste katete käitumist mõõtvad seadmed kasutavad võrrandit tilga kuju seostamiseks selle pindenergiaga.

Ajalugu

Inimesed täheldasid vedelike tõusu kitsastes torudes ammu enne selle põhjuse selgitamist. 1700. aastate alguses näitas Francis Hauksbee katsetega, et kitsamad torud põhjustavad suurema kapillaartõusu, ning 1718 kirjeldas James Jurin tõusu pöördvõrdelisena toru läbimõõduga.

Thomas Young selgitas aluseks olevat füüsikat 1805. aasta artiklis, käsitledes pindpinevust vedeliku omadusena ja seostades selle rõhuga kõverate pindade eri külgedel, kuigi tema käsitlus oli peamiselt kirjeldav. 1806. aastal tuletas Pierre-Simon Laplace matemaatilise kuju diferentsiaalarvutuse abil ning jõudis sõltumatult sama seoseni. Nende ühine töö sai Youngi-Laplace'i võrrandiks. Hilisemad teadlased, sealhulgas Carl Friedrich Gauss ja Joseph Plateau, kontrollisid teooriat ja arendasid seda edasi 1800. aastatel.

Korduma kippuvad küsimused

Mida Youngi-Laplace'i võrrand arvutab? See arvutab kahe vedeliku vahelise kõvera piirpinna rõhkude erinevuse vedeliku pindpinevuse ja piirpinna kõveruse põhjal.

Miks on väiksema tilga sees rõhk suurem? Pindpinevus tõmbab piki tilga serva ning see tõmbejõud kasvab võrdeliselt raadiusega. Pindala, millele rõhk peab mõjuma, kasvab raadiuse ruuduga. Nende tasakaalustamisel saadakse $\Delta P = 2\gamma/R$, seega on rõhkude erinevus raadiusega pöördvõrdeline: kui raadius poolitada, rõhkude erinevus kahekordistub.

Kuidas mõjutab temperatuur võrrandit? Temperatuur muudab pindpinevuse väärtust ning temperatuuri tõustes pindpinevus väheneb. Vee korral langeb pindpinevus ligikaudu väärtuselt 0,073 N/m temperatuuril 20 °C väärtusele umbes 0,063 N/m temperatuuril 80 °C, vähenedes ligikaudu 0,17 mN/m iga Celsiuse kraadi kohta. Toatemperatuuril on pindpinevus suurem kui kuumas vees, seega ülehindab kuuma süsteemi korral toatemperatuuri väärtuse kasutamine rõhkude erinevust.

Kas võrrand kehtib ka muude kujude kui kerade korral? Jah. Kahe eraldi raadiusega üldkuju $R_1$ ja $R_2$ hõlmab kõiki kõveraid pindu, sealhulgas ellipsoide ja sadulakujulisi piirpindu. Ainult lihtsustatud kuju $2\gamma/R$ kehtib üksnes kerade korral.

Mille poolest erineb Youngi-Laplace'i võrrand Youngi võrrandist? Youngi-Laplace'i võrrand annab kõvera piirpinna põhjustatud rõhkude erinevuse. Youngi võrrand, samuti Thomas Youngi esitatud eraldiseisev seos, annab kontaktinurga, mille all tilk puutub kokku tahke pinnaga, lähtudes kolme asjaomase materjali pindenergiatest. Need kirjeldavad eri nähtusi ja neid kasutatakse mõnikord koos, et analüüsida pinnal lebavat tilka.

Kui väike võib tilk olla, enne kui võrrand enam ei kehti? Võrrand on täpne ligikaudu 1 mikromeetrini. Umbes 10 kuni 20 nanomeetrist väiksematel mõõtmetel muutuvad võrrandis arvestamata lisajõud, sealhulgas joonepinge ja pindadevahelised molekulaarmõõtmelised jõud, piisavalt suureks, et neid tuleb arvestada, ning vaja on üksikasjalikumaid mudeleid.

Viited

1. Young, T. (1805). „An Essay on the Cohesion of Fluids.” Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, raamatu 10 lisa.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F. ja Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W. ja Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6. väljaanne). Wiley-Interscience.