Laplace'i jaotuse kalkulaator - Tasuta PDF ja visualiseerimise tööriist

Mis on Laplace’i jaotus?

Laplace’i jaotus, mida nimetatakse ka kahekordseks eksponentjaotuseks, on pidev tõenäosusjaotus, mis meenutab kahte tipust tagakuti ühendatud eksponentkõverat. See on keskväärtuse suhtes sümmeetriline ja selle sabad on normaaljaotuse omadest raskemad, mistõttu annab see äärmuslikele väärtustele suurema tõenäosuse. Selle lehe Laplace’i jaotuse kalkulaator leiab jaotuse tõenäosustiheduse tipu asukoha- ja skaalaparameetri põhjal ning joonistab kogu tiheduskõvera.

Jaotus on nime saanud prantsuse matemaatiku Pierre-Simon Laplace’i järgi, kes kirjeldas seda esimesena aastal 1774.

Laplace’i jaotuse valem

Laplace’i jaotuse tõenäosustihedusfunktsioon (PDF) on järgmine:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x on arvjoone suvaline punkt.
• μ (müü) ehk asukohaparameeter on jaotuse keskpunkt. See on ühtlasi keskväärtus ja mediaan.
• b ehk skaalaparameeter määrab, kui laiali jaotus paikneb. See peab olema suurem kui 0.
• |x − μ| on x-i ja keskpunkti vaheline kaugus suunast sõltumata.

Kõver saavutab oma kõrgeima punkti täpselt kohal x = μ. Selles punktis lihtsustub valem, sest |μ − μ| = 0 ja exp(0) = 1, nii et tulemuseks jääb:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

See tipuväärtus 1/(2b) on arv, mille kalkulaator esitab.

Kuidas kasutada Laplace’i jaotuse kalkulaatorit

1. Sisestage asukohaparameeter (μ). See määrab, kus jaotus paikneb.
2. Sisestage skaalaparameeter (b). See peab olema positiivne arv; mida suurem on väärtus, seda lamedam ja laialivalguvam on kõver.
3. Kalkulaator näitab tiputihedust 1/(2b) ja joonistab tiheduskõvera f(x) vahemikus μ − 4b kuni μ + 4b. Graafiku püsttelg näitab tõenäosustihedust ning kõvera saab alla laadida x-i ja f(x)-i väärtuste tabelina.

Kalkulaator ei võta eraldi x-i väärtust. See esitab alati tiheduse jaotuse enda tipus, x = μ, sest see on eri skaaladega jaotuste võrdlemiseks kõige kasulikum üksik kokkuvõttearv. Tiheduse leidmiseks mõnes muus punktis kasutage ülaltoodud valemit koos huvipakkuva x-i väärtusega või lugege kõrgus graafikult.

Näidisarvutus

Võtame asukohaks μ = 4 ja skaalaks b = 2.

1. Kontrollige, et b on positiivne: 2 > 0, seega on sisendväärtused sobivad.
2. Tipp asub kohal x = μ = 4, kus |x − μ| = 0.
3. Arvutage tiputihedus: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Kalkulaator kuvab 0,250000. Joonistatud kõvera tipp on punktis (4, 0,25) ja kõver langeb mõlemal pool sümmeetriliselt, ulatudes μ − 4b-st kuni μ + 4b-ni ehk siinsel juhul −4-st kuni 12-ni.

Kuna tiputiheduse valem 1/(2b) ei sisalda μ-d, nihutab asukoha muutmine kõverat ainult vasakule või paremale. See ei muuda kõvera kõrgust. Kõrgust muudab ainult skaalaparameeter.

Veel näiteid

Keskväärtus, dispersioon ja standardhälve

Laplace’i jaotuse korral, mille asukoht on μ ja skaala b:

• Keskväärtus = μ
• Mediaan = μ
• Dispersioon = 2b²
• Standardhälve = b√2

Laplace’i jaotus ja normaaljaotus

Mõlemad jaotused on sümmeetrilised ja kellakujulised ning neid kirjeldavad täielikult keskpunkt ja hajuvusparameeter. Erinevus seisneb sabades. Normaaljaotuse korral kahaneb tihedus koos kauguse ruuduga keskväärtusest, mistõttu muutuvad äärmuslikud väärtused väga kiiresti ülivähe tõenäoliseks. Laplace’i jaotuse korral kahaneb tihedus koos lihtsa kaugusega, mistõttu jäävad äärmuslikud väärtused suhteliselt tõenäolisemaks. Seetõttu on Laplace’i jaotus kasulik, kui tegelikes andmetes esineb rohkem erindeid, kui normaaljaotus ennustaks.

Levinud kasutusalad

• Signaali- ja pilditöötlus: müra modelleerimine ja piltide tihendamine, sest piksli- või signaalierinevused koonduvad sageli nulli lähedale, kuid esineb ka üksikuid suuri hüppeid.
• Diferentsiaalne privaatsus: Laplace’i mehhanism lisab päringutulemustele Laplace’i jaotusega müra, et kaitsta üksikisikute andmeid ja säilitada samal ajal üldine täpsus.
• Robustne statistika ja regressioon: Lasso-regressioon kasutab Laplace’i kujuga eeljaotust, mis eelistab lahendeid, kus paljud kordajad on täpselt nullid.
• Rahandus: varade tootluse modelleerimine, mille sabad on tavaliselt normaaljaotuse põhjal eeldatust raskemad.
• Seismoloogia: seda kasutatakse Gutenbergi-Richteri seadusega seotud maavärinate magnituudimustrite mudelites.

Korduma kippuvad küsimused

Mida kalkulaatori tulemus tähendab?

See on tõenäosustiheduse funktsiooni tipu- ehk maksimumväärtus, mis võrdub 1/(2b). See on kõvera kõrgus selle keskpunktis x = μ.

Miks kalkulaator x-i väärtust ei küsi?

Tiputihedus 1/(2b) on kõigil x-i väärtustel, mis on võrdsed μ-ga, sama, mistõttu pole selle leidmiseks eraldi x-i sisendit vaja. See on tavapärane üksikarv, mille abil võrreldakse, kui kõrged ja kitsad või madalad ja laiad on kaks Laplace’i jaotust. Kogu kõver, mis näitab tihedust iga x-i väärtuse korral, on graafikul saadaval.

Kuidas leida tihedus tipus mitteasuvas punktis?

Kasutage valemit $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ koos huvipakkuva x-i väärtusega või lugege kõrgus otse joonistatud kõveralt.

Mille poolest erineb Laplace’i jaotus eksponentjaotusest?

Laplace’i jaotuse saab moodustada kahest eksponentjaotusest. Kui X ja Y on sama intensiivsusega sõltumatud eksponentsiaalsed juhuslikud suurused, siis X − Y järgib keskmega 0 Laplace’i jaotust.

Milleks Laplace’i jaotust tavaliselt kasutatakse?

Seda kasutatakse signaalitöötluses, piltide tihendamisel, diferentsiaalses privaatsuses, robustses statistikas, Lasso-regressioonis ning finantstootluse ja maavärinate magnituudi modelleerimisel, kui tegelikes andmetes esineb rohkem äärmuslikke väärtusi, kui normaaljaotus ennustaks.

Kas Laplace’i jaotus võib olla negatiivne või on see mõeldud ainult positiivsetele väärtustele?

See on määratletud kõigi reaalarvude, nii positiivsete kui ka negatiivsete korral, erinevalt eksponentjaotusest, mille väärtused on ainult mittenegatiivsed.

Viited

1. Kotz, S., Kozubowski, T. ja Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution