Vapaan pudotuksen laskuri - Nopeus, etäisyys ja aika

Vapaapudotuslaskuri: nopeus, etäisyys ja aika

Vapaapudotuslaskuri selvittää painovoiman vaikutuksesta putoavan kappaleen nopeuden, kuljetun matkan ja korkeuden maanpinnasta. Syötä alkukorkeus, alkunopeus ja kulunut aika, niin laskuri antaa loppunopeuden, siirtymän alaspäin ja loppukorkeuden.

Mitä vapaapudotus on?

Vapaapudotus on pelkästään painovoiman aiheuttamaa liikettä. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Maanpinnan lähellä kaikki putoavat kappaleet kiihtyvät samalla nopeudella niiden massasta riippumatta. Yhdessä pudotettu kolikko ja vasara osuvat maahan samanaikaisesti, kunhan ilmanvastus on niin vähäinen, että sen voi jättää huomiotta.

Galileo Galilei osoitti tämän kokeellisesti varhaisella 1600-luvulla kumoten vanhemman käsityksen, jonka mukaan raskaammat kappaleet putoavat nopeammin. Vuonna 1971 Apollo 15 -astronautti David Scott pudotti vasaran ja sulan Kuussa, jossa ilma ei hidasta sulkaa. Molemmat osuivat maahan samanaikaisesti, ja tapahtuma kuvattiin.

Tämän kiihtyvyyden arvoa kutsutaan normaaliksi putoamiskiihtyvyydeksi, ja se merkitään g. Sen määritelty arvo on täsmälleen 9,80665 metriä sekunnissa toiseen (m/s²), ja se vahvistettiin kansainvälisellä sopimuksella vuonna 1901. Imperiaalisissa yksiköissä sama kiihtyvyys on 32,17405 jalkaa sekunnissa toiseen (ft/s²). Tämä arvo saadaan jakamalla 9,80665 0,3048:lla, joka on yhden jalan tarkka pituus metreinä, ja pyöristämällä tulos viiden desimaalin tarkkuuteen. Monissa oppikirjaesimerkeissä metrijärjestelmän arvo pyöristetään muotoon 9,81 m/s² laskutoimitusten helpottamiseksi.

Vapaapudotuksen kaava

Kolme yhtälöä kattavat kaikki vapaapudotustehtävät. Alaspäin katsotaan positiiviseksi suunnaksi, joten positiivinen nopeus osoittaa kohti maata ja negatiivinen nopeus ylöspäin.

Nopeuskaava

$v = v_0 + gt$

• $v$ = loppunopeus
• $v_0$ = alkunopeus (0, jos kappale pudotetaan levosta; negatiivinen, jos se heitetään ylöspäin)
• $g$ = putoamiskiihtyvyys, tässä laskurissa 9,80665 m/s² tai 32,17405 jalkaa/s²
• $t$ = kulunut aika sekunteina

Etäisyyskaava

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$

Tässä $d$ on siirtymä eli matka, jonka kappale on liikkunut alaspäin. Levosta pudotetulle kappaleelle ($v_0 = 0$) yhtälö yksinkertaistuu muotoon $d = \frac{1}{2}gt^2$. Jos kappale heitettiin ylöspäin ja se on yhä vapautumiskohtansa yläpuolella, $d$ saa negatiivisen arvon.

Nopeuden ja etäisyyden välinen kaava

Kun aika ei ole tiedossa, tämä yhtälö yhdistää nopeuden ja etäisyyden suoraan:

$v^2 = v_0^2 + 2gd$

Levosta pudotetulle kappaleelle tämä yksinkertaistuu muotoon $v = \sqrt{2gd}$. Kaavaa käytetään törmäysnopeuden määrittämiseen tunnetusta putoamiskorkeudesta tai putoamiskorkeuden määrittämiseen tunnetusta törmäysnopeudesta.

Vapaapudotuksen laskeminen tällä laskurilla

Laskuriin syötetään neljä asetusta, ja se antaa kolme tulosta.

1. Valitse yksikköjärjestelmä. Metrijärjestelmä käyttää metrejä ja metrejä sekunnissa. Imperiaalinen järjestelmä käyttää jalkoja ja jalkoja sekunnissa.
2. Syötä alkukorkeus, eli korkeus, jolla kappale on maanpinnan yläpuolella alussa. Se ei voi olla negatiivinen.
3. Syötä alkunopeus. Käytä arvoa 0, jos kappale pudotetaan levosta, positiivista lukua, jos kappale heitetään alaspäin, tai negatiivista lukua, jos se heitetään ylöspäin.
4. Syötä kulunut aika kappaleen vapauttamisesta. Sen on oltava suurempi kuin nolla.

Tulokset ovat loppunopeus, siirtymä ja loppukorkeus (alkukorkeus vähennettynä siirtymällä). Aika on tässä syötearvo, ei tulos: laskuri ei ratkaise aikaa takautuvasti tavoitenopeuden tai -etäisyyden perusteella.

Jos syötetty aika on niin pitkä, että kappale olisi jo osunut maahan, laskuri ilmoittaa tämän negatiivisen loppukorkeuden sijaan.

Esimerkki: oletusasetukset

Kappale pudotetaan levosta 100 metrin korkeudelta. Missä se on 3 sekunnin kuluttua?

Nopeus 3 sekunnin kuluttua:

$v = 0 + 9.80665 \times 3 = 29.41995 \approx 29.42 \text{ m/s}$

Siirtymä noiden 3 sekunnin aikana:

$d = \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 3^2 = 44.129925 \approx 44.13 \text{ m}$

Loppukorkeus:

$100 - 44.129925 = 55.870075 \approx 55.87 \text{ m}$

Kappale siis putoaa nopeudella noin 29,42 m/s, on pudonnut noin 44,13 m ja on yhä noin 55,87 m maanpinnan yläpuolella.

Esimerkki: aika ja nopeus tunnetusta korkeudesta

Jakoavain pudotetaan rakennustelineiltä 20 metrin korkeudesta. Kuinka kauan kestää, että se osuu maahan, ja kuinka nopeasti se liikkuu törmäyshetkellä?

Käyttäen yhtälöä $d = \frac{1}{2}gt^2$, kun $d = 20$ m ja $g = 9.81$ m/s²:

$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.81}} \approx 2.02 \text{ sekuntia}$

$v = gt = 9.81 \times 2.02 \approx 19.8 \text{ m/s (noin 71 km/h)}$

Esimerkki: korkeus törmäysnopeudesta

Kappale osuu maahan nopeudella 25 m/s pudottuaan levosta. Miltä korkeudelta se putosi?

Käyttäen yhtälöä $v^2 = 2gd$:

$d = \frac{v^2}{2g} = \frac{25^2}{2 \times 9.81} = \frac{625}{19.62} \approx 31.9 \text{ metrit}$

Se vastaa suunnilleen kymmenkerroksisen rakennuksen korkeutta.

Miten painovoima muuttuu

Normaalipainovoima, 9,80665 m/s², on keskimääräinen vertailuarvo. Todellinen painovoima vaihtelee hieman eri puolilla maapallon pintaa. Se on heikompi päiväntasaajalla (noin 9,78 m/s²) kuin navoilla (noin 9,83 m/s²), koska Maa pullistuu päiväntasaajalla ja pyörii siellä nopeimmin. Painovoima heikkenee hieman myös korkeuden kasvaessa: 10 000 metrin korkeudessa se pienenee noin arvoon 9,78 m/s².

Muilla taivaankappaleilla painovoima on hyvin erilainen, joten samat kaavat antavat hyvin erilaisia tuloksia:

Kuun painovoima on noin kuudesosa Maan painovoimasta, joten siellä pudotettu kappale kulkee samassa ajassa noin kuudesosan yhtä pitkän matkan.

Vapaapudotus ja ilmanvastus

Nämä kaavat olettavat tyhjiön, jossa ilma ei vastusta kappaleen liikettä. Todellinen ilmanvastus kasvaa nopeuden neliönä, joten sen vaikutus on suurempi suurilla nopeuksilla. Se vaikuttaa vain vähän tiheään ja pienikokoiseen kappaleeseen, kuten lyhyen matkan putoavaan jakoavaimeen tai kiveen. Kevyisiin tai laaja-alaisiin kappaleisiin, kuten sulkaan, paperiarkkiin tai laskuvarjoon, sen vaikutus on suuri.

Kun ilmanvastus kasvaa riittävän suureksi vastaamaan painovoiman vetovoimaa, kappaleen kiihtyminen lakkaa ja se putoaa vakionopeudella, jota kutsutaan loppunopeudeksi. Vatsallaan putoava laskuvarjohyppääjä saavuttaa tyypillisesti noin 53 metrin sekuntinopeuden, eli noin 190 km/h tai 120 mailia tunnissa, ennen laskuvarjon avaamista.

Usein kysyttyä

Mitä vapaapudotus on fysiikassa?

Vapaapudotus on kappaleen liikettä, johon vaikuttaa vain painovoima, kun ilmanvastus jätetään huomiotta. Kaikki Maan pinnan lähellä putoavat kappaleet kiihtyvät alaspäin samalla nopeudella, noin 9,81 m/s², niiden massasta riippumatta.

Miksi kaikki kappaleet putoavat samalla nopeudella?

Painovoima vetää raskaampaa kappaletta voimakkaammin, mutta raskaampi kappale vastustaa myös liikkeen muutosta voimakkaammin, koska sillä on enemmän hitautta. Nämä kaksi vaikutusta kumoavat toisensa täsmälleen, joten massa ei vaikuta vapaapudotuksen kiihtyvyyteen.

Mikä on vapaapudotuksen nopeuskaava?

$v = v_0 + gt$, missä $v_0$ on alkunopeus, $g$ putoamiskiihtyvyys ja $t$ aika. Levosta pudotetulle kappaleelle tämä on yksinkertaisesti $v = gt$.

Mikä on vapaapudotuksen etäisyyskaava?

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$. Levosta pudotetulle kappaleelle tämä yksinkertaistuu muotoon $d = \frac{1}{2}gt^2$.

Miksi siirtymä on joskus negatiivinen?

Tässä laskurissa alaspäin lasketaan positiiviseksi suunnaksi. Negatiivinen siirtymä tarkoittaa, että kappale on vapautuskohtansa yläpuolella. Näin käy, kun kappale heitetään ylöspäin eikä se ole vielä pudonnut takaisin. Heitä pallo ylöspäin nopeudella 10 m/s ja tarkista sen sijainti 1 sekunnin kuluttua: $d = -10 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 1^2 = -5.10$ m, joten se on 5,10 m lähtökohtaansa korkeammalla.

Kuinka kauan kappaleella kestää pudota tietty matka?

Ratkaisemalla aika etäisyyskaavasta saadaan levosta pudotetulle kappaleelle $t = \sqrt{2d/g}$. 20 metriä pudotus kestää noin 2,02 sekuntia.

Miksi tämä laskuri käyttää arvoa 9,80665 m/s² eikä arvoa 9,8?

9,80665 m/s² on vuonna 1901 käyttöön otettu, kansainvälisesti määritelty normaalipainovoiman tarkka arvo. Sen pyöristäminen arvoon 9,8 tai 9,81 on oppikirjoissa yleistä ja riittävän tarkkaa useimpiin tarkoituksiin. Laskuri käyttää määriteltyä arvoa, jotta metrijärjestelmän ja imperiaalisen järjestelmän tulokset kuvaavat samaa fyysistä putoamista, mikä ei päde pyöristettyihin arvoihin 9,8 m/s² ja 32,2 jalkaa/s².

Ottaako tämä laskuri ilmanvastuksen huomioon?

Ei. Se olettaa ideaalisen vapaapudotuksen tyhjiössä. Tulokset ovat tarkkoja tiheille ja pienikokoisille kappaleille, jotka putoavat kohtuullisen matkan, mutta nopeus ja matka yliarvioidaan kevyiden tai laaja-alaisten kappaleiden tapauksessa sekä hyvin pitkissä pudotuksissa, joissa ilmanvastuksesta tulee merkittävä.