Fisherin eksakti testi - Ilmainen tilastollinen työkalu

Mikä on Fisherin eksakti testi?

Fisherin eksakti testi on tilastollinen menetelmä, jolla tarkistetaan, ovatko kaksi kategorista muuttujaa yhteydessä toisiinsa, kun aineisto on järjestetty 2×2-taulukoksi. Se laskee approksimaation sijaan eksaktin todennäköisyyden, jota kutsutaan p-arvoksi. Siksi testi soveltuu hyvin pienille otoksille.

Testissä verrataan lukumääriä kahdella rivillä ja kahdessa sarakkeessa, esimerkiksi hoidettujen ja hoitamattomien potilaiden toipuneiden ja toipumattomien määriä. 2×2-taulukossa on neljä solua, joiden merkinnät ovat yleensä A, B, C ja D, sekä rivien ja sarakkeiden summat.

Fisherin eksakti testi ja khiin neliö -testi

Myös khiin neliö -testillä tarkistetaan kahden kategorisen muuttujan välinen yhteys, mutta se perustuu approksimaatioon, joka toimii hyvin vain, kun solujen lukumäärät ovat riittävän suuria. Yleisen nyrkkisäännön mukaan khiin neliö -approksimaatio muuttuu epäluotettavaksi, jos jonkin taulukon solun odotettu lukumäärä on alle 5, jolloin Fisherin eksakti testi on parempi valinta. Fisherin eksakti testi toimii kaikenkokoisilla otoksilla, mutta se on matemaattisesti eksakti eikä approksimatiivinen. Tämä on sen tärkein etu pienissä otoksissa.

Fisherin eksaktin testin laskeminen

Testissä käytetään hypergeometrista jakaumaa, joka kuvaa todennäköisyyttä poimia ryhmästä tietty määrä kohteita palauttamatta niitä takaisin. Kun taulukon rivien ja sarakkeiden summat tunnetaan, hypergeometrinen jakauma antaa todennäköisyyden mille tahansa neljän soluluvun tietylle järjestykselle.

Todennäköisyyskaava

Taulukossa, jonka solut ovat A, B, C ja D, rivisummat r₁ = A + B ja r₂ = C + D, sarakesummat c₁ = A + C ja c₂ = B + D sekä otoksen kokonaiskoko n = A + B + C + D, kyseisen taulukon todennäköisyys on:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Tässä ”!” tarkoittaa kertomaa: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Yksisuuntainen p-arvo

Yksisuuntaisessa p-arvossa lasketaan yhteen havaitun taulukon todennäköisyys sekä kaikkien muiden taulukoiden todennäköisyydet, kun niillä on samat rivien ja sarakkeiden summat ja ne osoittavat samansuuntaista, yhtä voimakasta tai voimakkaampaa yhteyttä. ”Suunta” ratkaistaan vertaamalla solua A arvoon, joka sillä olisi, jos muuttujat eivät liittyisi toisiinsa. Tätä kutsutaan odotetuksi arvoksi: E(A) = r₁c₁ / n.

• Jos A on yhtä suuri tai suurempi kuin E(A), yhteys on positiivinen, ja summa lasketaan kaikista solun A mahdollisista arvoista havaitusta arvosta sen suurimpaan mahdolliseen arvoon.
• Jos A on pienempi kuin E(A), yhteys on negatiivinen, ja summa lasketaan solun A pienimmästä mahdollisesta arvosta havaittuun arvoon.

Kaksisuuntainen p-arvo

Kaksisuuntaisessa p-arvossa lasketaan yhteen kaikkien mahdollisten, samat rivien ja sarakkeiden summat sisältävien taulukoiden todennäköisyydet, kun niiden todennäköisyys on yhtä suuri tai pienempi kuin havaitun taulukon todennäköisyys. Tämä ottaa huomioon äärimmäiset tulokset molempiin suuntiin, joten samasta taulukosta laskettu kaksisuuntainen p-arvo on yleensä suurempi kuin yksisuuntainen p-arvo.

Laskuesimerkki

Pienessä tutkimuksessa uutta lääkettä annetaan 10 potilaalle ja lumelääkettä 10 muulle potilaalle. Tulokset:

Tässä A = 8, B = 2, C = 3, D = 7 ja n = 20. A:n odotusarvo riippumattomuuden vallitessa on E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Koska 8 on suurempi kuin 5,5, yhteys on positiivinen, joten yksisuuntainen summa lasketaan arvosta A = 8 A:n suurimpaan mahdolliseen arvoon, joka on 10.

Kun hypergeometriset todennäköisyydet lasketaan arvoille A = 8, 9 ja 10, yksisuuntaiseksi p-arvoksi saadaan noin 0,0349. Kun yhteen lasketaan kaikkien niiden taulukoiden todennäköisyydet molempiin suuntiin, joiden todennäköisyys on enintään havaitun taulukon todennäköisyys, kaksisuuntaiseksi p-arvoksi saadaan noin 0,0698.

Yleisesti käytetyllä 0,05:n raja-arvolla yksisuuntainen tulos on tilastollisesti merkitsevä, mutta kaksisuuntainen tulos ei ole. Tämä osoittaa, miksi testityypin valinta on tärkeä: yksisuuntainen testi soveltuu vain, kun vaikutuksen suunta (tässä lääkkeen tuloksia parantava vaikutus) ennustettiin ennen aineiston tarkastelua.

Milloin Fisherin eksaktia testiä käytetään?

Fisherin eksaktia testiä käytetään yleisesti seuraavissa tilanteissa:

• Kliinisissä tutkimuksissa, joissa potilaita on vähän.
• Laadunvalvonnassa, kun viallisten tuotteiden määriä verrataan kahden tuotantoerän välillä.
• Genetiikan tutkimuksessa, kun ominaisuuden esiintymismääriä verrataan kahdessa pienessä ryhmässä.
• Missä tahansa 2×2-taulukossa, jossa jonkin solun odotettu lukumäärä on alle 5.

Usein kysyttyä

Mihin Fisherin eksaktia testiä käytetään? Sillä testataan, liittyvätkö kaksi kategorista muuttujaa toisiinsa, käyttämällä 2×2-taulukon lukumääriä. Se valitaan usein khiin neliö -testin sijaan, kun otos on pieni.

Milloin Fisherin eksaktia testiä pitäisi käyttää khiin neliö -testin sijaan? Kun jonkin taulukon solun odotettu lukumäärä on alle 5 tai kun eksaktin todennäköisyyden tarkka arvo halutaan tietää otoksen koosta riippumatta.

Mikä ero on yksi- ja kaksisuuntaisilla tuloksilla? Yksisuuntaisella p-arvolla testataan etukäteen, ennen aineiston näkemistä, ennustettua vaikutuksen suuntaa. Kaksisuuntaisella p-arvolla testataan, esiintyykö yhteyttä kumpaan tahansa suuntaan. Samasta taulukosta laskettu kaksisuuntainen p-arvo on yleensä suurempi.

Ilmoittaako tämä laskin vetosuhteen? Ei. Se ilmoittaa vain eksaktin p-arvon. Saman taulukon vetosuhde voidaan laskea erikseen jakamalla A × D luvulla B × C.

Voidaanko Fisherin eksaktia testiä käyttää suurempiin kuin 2×2-taulukoihin? Tässä kuvattu versio on tarkoitettu 2×2-taulukoille. Tätä suurempiin taulukoihin tarvitaan siihen liittyvä menetelmä, Freemanin–Haltonin laajennus, joka on saatavilla useimmissa tilasto-ohjelmistoissa.

Voidaanko Fisherin eksaktia testiä käyttää parittaisiin aineistoihin, kuten samoilla henkilöillä ennen ja jälkeen tehtyihin mittauksiin? Ei. Se olettaa kaksi toisistaan riippumatonta ryhmää. Parittaisille kategorisille aineistoille tarvitaan sen sijaan McNemarin testi.

Lähteet

1. Fisher, R. A. (1922). ”On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P.” Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G. H. & Halton, J. H. (1951). ”Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance.” Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3. painos). Wiley.