Convertisseur d’unités d’angle : degrés, radians
Convertissez un angle entre degrés, radians, grades (gon) et tours, les quatre à la fois. Un tour correspond exactement à 360 degrés et 400 gon, soit 2π radians.
Angle Converter
Type an angle in one unit and read it in turns, degrees, gradians and radians at once.
Converted angle
Documentation
Convertisseur d’unités d’angle
Un angle mesure l’écart de rotation d’une direction par rapport à une autre. Un convertisseur d’unités d’angle réécrit un angle d’une unité dans une autre, par exemple des degrés en radians. Cette page convertit les tours, les degrés, les grades (également appelés gon) et les radians, et affiche les quatre valeurs simultanément.
Fonctionnement du convertisseur
L’utilisateur saisit un nombre et choisit l’unité dans laquelle ce nombre est exprimé. La page renvoie le même angle dans les quatre unités.
- Les résultats sont affichés avec huit chiffres significatifs. Seul l’affichage est arrondi. La conversion s’effectue sur le nombre saisi.
- Un résultat inférieur à 0,0001, ou supérieur ou égal à un milliard, est affiché en notation scientifique. Zéro est affiché comme 0 sans notation scientifique.
- Les angles négatifs sont convertis, car une rotation a un sens.
- Les angles ne sont pas ramenés à une seule révolution. 720 degrés donnent 2 tours, et non 0.
- Une case vide affiche une invite plutôt qu’un nombre. Un lien contenant une unité que cette page ne propose pas affiche un message plutôt qu’une conversion.
Les quatre unités
| Unité | Symbole | Tours dans une unité | Exact par définition |
|---|---|---|---|
| Tour | tour | 1 | Oui, une révolution complète |
| Degré | ° | 1/360 | Oui |
| Grade (gon) | gon | 1/400 | Oui |
| Radian | rad | 1/(2π) | Oui sous forme de fraction, non sous forme décimale |
Un tour correspond à une révolution complète, qui ramène à la direction de départ. Le degré divise cette révolution en 360 parties, une pratique héritée de la numération babylonienne en base soixante. Le grade la divise en 400 parties, ce qui fait qu’un angle droit vaut exactement 100 grades. Le radian est l’angle dont l’arc le long d’un cercle a la même longueur que le rayon de ce cercle, et 2π radians tiennent dans un tour.
Formule de conversion des angles
Chaque unité correspond à un nombre fixe de tours ; une conversion consiste donc en une multiplication suivie d’une division. L’angle est d’abord converti en tours, puis reconverti dans l’unité souhaitée :
où est l’angle saisi, le nombre de tours dans une unité de l’unité choisie, le nombre de tours dans une unité de l’unité souhaitée, et le résultat.
Rien n’est ajouté ni retiré en cours de route. Les quatre échelles commencent à compter au même endroit ; seule la taille du pas change. La température est le cas où cette règle ne s’applique pas : les échelles Celsius et Fahrenheit commencent à des points différents, de sorte qu’un convertisseur qui effectuerait seulement une multiplication afficherait 0 °C comme 0 °F au lieu de 32 °F.
L'insertion des facteurs de conversion des degrés et des radians dans cette formule donne le couple que les lecteurs recherchent le plus souvent :
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ où $\theta_{\mathrm{deg}}$ est l'angle en degrés et $\theta_{\mathrm{rad}}$ est ce même angle en radians. ### Pourquoi la page compte à partir des tours plutôt qu'à partir des radians Le tour est l'unité par rapport à laquelle les trois autres sont mesurées. Ce choix n'est pas purement esthétique. Les degrés, les grades et les tours sont des fractions entières les uns des autres ; un ordinateur peut donc représenter leurs valeurs sans erreur et renvoyer des résultats qui correspondent exactement au nombre rond attendu par le lecteur. Les radians ne le permettent pas, car π n'a pas d'écriture décimale exacte. Si le radian était l'unité de base, chaque degré et chaque grade devrait passer par π, puis en revenir. Un angle droit saisi comme 90 degrés renverrait alors 99,99999999999999 gon au lieu de 100, et 200 gon renverrait 180,00000000000003 degrés. Compter à partir du tour maintient π dans la seule ligne qui en a réellement besoin. ### Exemple détaillé : 100 degrés 100 degrés est l'angle de départ de la page. Un degré représente 1/360 d'un tour ; la page multiplie donc 100 par 1/360 et obtient 0,2777777777777778 tour. Elle l'affiche sous la forme 0,27777778. Les deux autres résultats s'obtiennent en divisant cette valeur par leurs propres facteurs. Diviser par 1/400 revient à multiplier par 400, ce qui donne 111,11111111111111 gon, affiché comme 111,11111. Diviser par 1/(2π) donne 1,7453292519943295 rad, affiché comme 1,7453293. Un angle droit est plus simple. 90 degrés représentent un quart de tour ; la page renvoie donc 0,25 tour, exactement 100 gon et 1,5707963 rad. ### Conversions courantes des angles Chaque ligne indique ce que donne une valeur dans les quatre unités, avec huit chiffres significatifs. | Entrée | tour | degrés | gon | radians | |---|---|---|---|---| | 1 tour | 1 | 360 | 400 | 6,2831853 | | 1 degré | 0,0027777778 | 1 | 1,1111111 | 0,017453293 | | 1 gon | 0,0025 | 0,9 | 1 | 0,015707963 | | 1 radian | 0,15915494 | 57,29578 | 63,661977 | 1 | | 90 degrés | 0,25 | 90 | 100 | 1,5707963 | | 180 degrés | 0,5 | 180 | 200 | 3,1415927 | ### Quelles valeurs sont exactes et lesquelles sont arrondies Trois des quatre facteurs sont des fractions exactes ; une conversion entre tours, degrés et grades ne dépend donc que de l’arithmétique, jamais des constantes. - Un tour vaut exactement 360 degrés. Le degré n'est pas une unité du SI, mais le Bureau international des poids et mesures le répertorie dans la Brochure sur le SI parmi les unités hors SI acceptées pour une utilisation avec le SI, avec un degré égal à π/180 radians. - Un tour vaut exactement 400 grades. La norme ISO 80000-3, qui porte sur les grandeurs et les unités d'espace et de temps, définit un gon comme π/200 radians, soit un quatre-centième de tour. - Un tour vaut 2π radians. Le radian est l'unité cohérente du SI pour l'angle plan, définie comme le rapport de la longueur d'un arc à celle du rayon ; cette relation est donc également une définition. π est toutefois irrationnel : son écriture décimale ne se termine jamais et ne se répète jamais, de sorte qu'aucune écriture décimale de π ne constitue le nombre entier. - Le facteur du radian est donc arrondi en pratique. La page le calcule à partir de la valeur de π conservée par un ordinateur, 3,141592653589793, qui est la valeur la plus proche qu'un nombre en double précision puisse atteindre. Les résultats en radians héritent de cet arrondi. Ce n'est pas le cas des trois autres unités. L'arrondi effectivement visible par le lecteur vient de l'affichage plutôt que des constantes. Huit chiffres significatifs suffisent pour afficher entièrement une valeur définie et sont assez peu nombreux pour masquer les derniers chiffres des calculs de l'ordinateur, qui contiennent du bruit d'arrondi plutôt que de l'information. ### Foire aux questions **Combien de degrés vaut un radian ?** 57,29578 degrés avec huit chiffres significatifs, généralement arrondis à 57,3. Sous forme exacte, cela donne 180/π degrés, et π n'a pas d'écriture décimale exacte. **Combien de radians représentent 90 degrés ?** 1,5707963 rad avec huit chiffres significatifs. Sous forme exacte, cela donne π/2 radians. **Pourquoi un angle droit vaut-il 100 gon ?** Parce qu'un tour complet compte 400 grades et qu'un angle droit représente un quart de tour. Le grade a été conçu à cette fin, afin que les géomètres puissent travailler dans un système décimal plutôt qu'en 90 parties. **1 gon équivaut-il à 0,9 degré ?** Oui, exactement. Un tour vaut 400 gon et également 360 degrés ; un gon vaut donc 360/400 degré. **La page ramène-t-elle 720 degrés à 0 ?** Non. Elle convertit le nombre fourni ; ainsi, 720 degrés donnent 2 tours, 800 gon et 12,566371 rad. Ramener les angles à une seule révolution ferait perdre le nombre de tours effectués. **Un angle négatif peut-il être converti ?** Oui. Une valeur négative signifie que la rotation s'effectue dans l'autre sens ; elle se convertit donc comme n'importe quel autre nombre. La saisie de -45 degrés renvoie -0,125 tour, -50 gon et -0,78539816 rad.