Calculateur du cercle trigonométrique : valeurs exactes
Saisissez un angle en degrés ou en radians pour obtenir son point sur le cercle trigonométrique, ainsi que le sinus, le cosinus, la tangente, l’angle de référence et le quadrant. Valeurs exactes des angles usuels.
Unit Circle Calculator
Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.
Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)
Sine, cosine and tangent
cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.
Where it lands
Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad
The angle
Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Calculateur de chargement...
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Documentation
Calculateur du cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 tracé autour de l’origine d’un graphique. Un calculateur de cercle trigonométrique prend un angle et indique où cet angle rencontre le cercle : le point (x, y), le sinus, le cosinus et la tangente, l’angle de référence et le quadrant. Cette page lit un angle en degrés ou en radians et fournit des valeurs exactes telles que √3/2 pour les seize angles usuels.
Fonctionnement du calculateur
L’utilisateur saisit un angle et choisit les degrés ou les radians. La page renvoie :
- le point (x, y) où l’angle coupe le cercle
- cos θ, sin θ et tan θ
- l’angle de référence, en degrés et en radians
- le quadrant, ou l’axe lorsque l’angle tombe sur l’un d’eux
- l’angle dans les deux unités, ainsi que le même angle ramené à un tour
Pour les seize angles usuels, les réponses sont imprimées sous forme exacte, avec les décimales affichées en dessous. Tout autre angle est affiché avec huit chiffres significatifs. Seul l’affichage est arrondi.
La formule du cercle trigonométrique
Les angles sont mesurés dans le sens antihoraire à partir de l’axe des x positif. Un rayon tracé selon l’angle θ coupe le cercle en un point, dont les deux coordonnées sont le cosinus et le sinus :
où est la coordonnée horizontale, la coordonnée verticale et l’angle.
Le rayon vaut 1, de sorte que les coordonnées et les deux valeurs des fonctions représentent la même paire de nombres sous deux noms différents. C’est pourquoi le cercle est tracé avec un rayon de 1 plutôt qu’avec une autre taille. La tangente est construite à partir de la même paire :
Tout point du cercle vérifie également le théorème de Pythagore, appliqué au triangle rectangle dont les côtés mesurent et et dont l’hypoténuse mesure 1 :
Degrés et radians
La page accepte l’une ou l’autre unité et indique les deux. Elles sont liées par le fait qu’un demi-tour correspond à π radians :
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ où $\theta_{\mathrm{deg}}$ est l'angle en degrés et $\theta_{\mathrm{rad}}$ est ce même angle en radians. ### Ramener à un tour Un angle peut être négatif et dépasser un tour complet. Le point sur le cercle se répète tous les 360°, de sorte que la page ramène d’abord l’angle dans l’intervalle allant de 0° à, sans l’atteindre, 360° : $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ où $\theta$ est l’angle saisi, en degrés, et $\theta_0$ la même direction exprimée sur un seul tour. 750° est ramené à 30°, et −30° à 330°. La réduction s’effectue en degrés, avec un reste exact. ### Angle de référence et quadrant L’angle de référence est l’angle aigu entre le rayon et l’axe des x. Il ne dépasse jamais 90° : $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{sinon} \end{cases}$$ où $\theta_0$ est l’angle ramené, en degrés. La valeur absolue du sinus, du cosinus et de la tangente dépend uniquement de l’angle de référence. Le quadrant fournit les signes. | Quadrant | Angle ramené | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | de 0° à 90° | + | + | + | | II | de 90° à 180° | − | + | − | | III | de 180° à 270° | − | − | + | | IV | de 270° à 360° | + | − | − | Les angles 0°, 90°, 180° et 270° se trouvent sur un axe. Un quadrant est la région ouverte située entre deux axes ; aucun de ces quatre angles n’est donc à l’intérieur d’un quadrant, et la page nomme l’axe au lieu de choisir un quadrant voisin. ### Les seize angles usuels Cinq angles de référence ont des formes exactes. | Angle de référence | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | non définie | En reflétant ces lignes dans les trois autres quadrants, on obtient seize angles : 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 et 330 degrés. La page les génère en faisant tourner les points du premier quadrant d’un quart de tour à la fois, plutôt que de recopier le tableau quatre fois, car c’est lors d’une transcription qu’un signe erroné peut s’introduire. 15°, 75° et 105° ont également des formes exactes, mais à deux termes, comme 2 − √3. Ils ne font pas partie de cette famille et sont donnés sous forme décimale. Pour 15°, on obtient cos 0,96592583, sin 0,25881905 et tan 0,26794919. ### Exemple : 210 degrés 210° est supérieur à 180° et inférieur à 270°, il se situe donc dans le quadrant III. En retirant 180, il reste un angle de référence de 30°. Pour un angle de référence de 30°, les trois valeurs absolues sont √3/2, 1/2 et √3/3. Le quadrant III rend les deux coordonnées négatives, donc le point est (−√3/2, −1/2). La tangente est un nombre négatif divisé par un nombre négatif ; elle reste donc positive et vaut √3/3. En radians, l’angle vaut 7π/6 et l’angle de référence vaut π/6. En décimales, la page affiche cos −0,8660254, sin −0,5 et tan 0,57735027. 570° et −150° donnent les mêmes réponses, car ils sont tous deux ramenés à 210°. ### Quelles constantes sont exactes | Constante | Valeur | Exacte ? | Source | |---|---|---|---| | Degrés sur un tour | 360 | exacte par définition | ISO 80000-3 | | Radians sur un tour | 2π | exacte par définition | ISO 80000-3 ; Brochure SI | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | exacte | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | exacte | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | exacte | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | aucune valeur | exacte, un pôle | NIST DLMF §4,15 | π est irrationnel, il n’a donc aucune forme décimale ou binaire exacte et toute valeur stockée de π est arrondie. La page empêche cet arrondi d’affecter ses réponses de deux façons. La réduction s’effectue en degrés, où 360 est divisible sans reste. Et les angles usuels sont lus dans le tableau des formes exactes ci-dessus, jamais à partir d’un sinus en virgule flottante. ### Lire un angle saisi en radians Une valeur en radians est déjà une décimale arrondie. π/2 est saisi comme 1,5707963267948966, et sa conversion inverse donne un angle éloigné d’environ un dix-milliardième de degré de 90, plutôt qu’exactement 90. La page considère donc tout angle situé à moins d’un millionième de degré d’un angle usuel comme cet angle. La tolérance détermine la table utilisée ; elle n’élargit jamais une réponse. 30,001° ne devient pas 30°. Les angles supérieurs à un milliard de degrés sont refusés. Il s’agit d’une limite de l’arithmétique, et non de la géométrie : l’écart entre les nombres qu’un ordinateur peut stocker augmente avec leur taille et, au-delà d’environ quatre milliards et demi de degrés, cet écart est supérieur à la tolérance d’un millionième de degré ; la réduction ne conserve alors plus assez de précision pour identifier un angle. Un milliard laisse une marge en dessous de cette limite. ### Foire aux questions **À quoi sert le cercle trigonométrique ?** Il transforme le sinus et le cosinus en coordonnées. La lecture d’un seul point sur le cercle donne les deux valeurs à la fois, et la figure montre pourquoi elles se répètent à chaque tour complet et pourquoi leurs signes changent d’un quadrant à l’autre. **Quelle est la valeur exacte de sin 30° ?** Un demi. cos 30° vaut √3/2, soit environ 0,8660254, et tan 30° vaut √3/3, soit environ 0,57735027. **Pourquoi tan 90° est-elle indéfinie ?** La tangente est le sinus divisé par le cosinus, et cos 90° vaut 0. Une division par zéro n’a pas de résultat. La page repère le pôle en nommant l’angle, plutôt qu’en vérifiant si une tangente calculée est devenue grande, car une tangente très pentue juste avant 90° reste un nombre ordinaire. **Qu’est-ce qu’un angle de référence ?** C’est l’angle aigu entre le rayon et l’axe des x ; il est donc toujours compris entre 0° et 90°. 150°, 210° et 330° ont tous un angle de référence de 30°, ce qui explique pourquoi leur sinus et leur cosinus ont les mêmes trois valeurs absolues et ne diffèrent que par leur signe. **Un angle négatif fonctionne-t-il ?** Oui. Un angle négatif tourne dans le sens horaire. −30° pointe dans la même direction que 330° ; la page renvoie donc le point (√3/2, −1/2) et le quadrant IV. **Pourquoi la page affiche-t-elle l’angle deux fois ?** 750° et 30° coupent le cercle au même point, mais ils ne correspondent pas à la même rotation. La page reprend l’angle tel qu’il a été saisi, le convertit dans l’autre unité et affiche à côté l’angle ramené.